Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Россия. г. Пенза
Е. И. Терёшкин.
Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной />. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е. />
/>
Чертеж 1.
/>
Чертеж 2.
Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
По теореме Пифагора находим />. Из точки />радиусом />опишем окружность. Из точки />через точку />проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку />. />, />.
/>.
/>— диаметры большого круга. Проводим линию />, она пересекает малый круг в точке />. Из точки />, через точку />проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку />. Соединяем точки />и />.
/>.
/>
/>.
Рассмотрим треугольник />чертеж 2. />. По теореме косинусов />. Проведем линию />до пересечения с />. />
/>
По теореме Пифагора />Из точки />проводим линию />. />подобен />, значит
/>
Рассмотрим />, т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а />в этом треугольнике будет средняя линия, а значит />По теореме косинусов />, значит />но />, значит линия />проходит через точку />, т.е. через центр квадрата.
Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки />. Из точек />любым радиусом описываем окружность.
/>
Чертеж 3. Чертеж 4.
Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов ( чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки /> и />. Из точек /> радиусом /> описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек /> через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки />. Соединяем точки М с точками />. В местах пересечений линий М/> и />F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. />Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.
Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А/> ставим точку />. Треугольники АМ/> и А/>N равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. /> а АС – общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.
/>--PAGE_BREAK--
Чертеж 5.
На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.
Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,
Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.
Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.
Треугольники АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах />, а />и фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.
Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. />а />значит />или />
В обоих чертежах />равны фигурам АЕND.
/>.
В результате получается:
/>
или
/>
Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.
/>
или
/>
следовательно
/>
или />Но где находятся точки Е и F пока не известно.
/>
Чертеж 6.
/>
Чертеж 7.
На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.
Так как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, />а />, значит точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих линий. Иными словами />и />, если таковые углы существуют, то эти углы равны между собой. Если />меньше />то />больше />на 2/>И наоборот если />больше/>то />меньше />на 2/>
На чертеже 6 (а, б) рассмотрим />(вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.
/>
или
/>
На чертеже 7 (а, б) рассмотрим /> и ромб АВСD.
/>
/>
Получится, что
/>
/>
/>
Но /> и /> могут быть равны каким-либо углам, если />.
Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и />.
Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.