Курсова робота
Межапослідовності. Теорема Штольца
Зміст
Введення
1.Межа послідовності
2.Властивості збіжних послідовностей
3.Приклади знаходження межпослідовності
4.Теорема «Штольца»
5.Приклади на застосування теоремиШтольца
Висновок
Список літератури
Введення
Одним з основнихрозділів курсу математичного аналізу є розділ, що вивчає теорію межіпослідовності й межі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьохінших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.
Метою даноїкурсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступніаспекти: поняття межі послідовності, характерні приклади обчислення межпослідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца й приклади їїзастосування.
Тема даної курсовоїроботи «Межа послідовності. Теорема Штольца». Для того щоб поглибитися увивчення даного питання, для початку, згадаємо деякі визначення, твердження йтеореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул дотичні основнийпроблеми порушеної в курсовій роботі.
У фізику й вінших науках про природу зустрічалася множина різних величин: час,довжина, об'єм, вага й т.п. Кожна з них, залежно від обставин, то приймаларізні значення, те лише одне.
У математику,однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячисьлише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову здобуваєважливість, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для насзмінна величина (або коротше – змінна) є відверненою або числовою змінною. Їїпозначають яким-небудь символом (буквою, наприклад, х), якому приписуютьчислові значення.
Змінна вважається заданої, якщо вказанамножина Х={х} Постійну величину (коротше – постійну) зручнорозглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенню, що множина Х={х}складається з одного елемента.
Перейдемо довстановлення поняття числової послідовності.
Визначення: якщокожному n є N, поставлено у відповідність xn є N, теговорять, що
/> (1)
утворять числовупослідовність.
/> – члени послідовності
/> – загальний членпослідовності
Уведеневизначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність повинна бутинескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.
Числовапослідовність уважається заданої, якщо зазначено закон, по якому можназнайти будь-який член послідовності.
Члени абоелементи послідовності (1) занумеровані всіма натуральними числами впорядку зростання номерів. При n+1 > n-1 член />треба за членом />(/>передує />), незалежно від того,чи буде саме число />більше, менше або навіть дорівнюєчислу />.
Визначення:Змінну x, що приймає деяку послідовність (1) значень, ми – випливаючиМере (Ch. Meray) – будемо називати варіантою.
У шкільному курсіматематики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.
Наприклад,послідовність виду
/>
(арифметична) абовиду
/>
(геометричнапрогресія)
Змінний член тієїабо іншої прогресії є варіанта.
У зв'язку звизначенням довжини окружності звичайно розглядається периметр правильноговписаного в окружність багатокутника, одержуваного із шестикутника послідовнимподвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанта приймає послідовністьзначень:
/>
/>
Згадаємо ще продесяткове наближення (по недоліку) до />, із всі зростаючою точністю. Воноприймає послідовність значень:
/>
і такожпредставляє варіанту.
Змінну x, щопробігає послідовність (1), часто позначають через />, ототожнюючи її зі змінним(«загальним») членом цієї послідовності.
Іноді варіанта xпзадається тим, що вказує безпосередньо вираження для xп; так, увипадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, xп=а+(n-1) d або xп =aqn-1. Користуючись цим вираженням,можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номері,не обчислюючи попередніх значень.
Для периметраправильного вписаного багатокутника таке загальне вираження можливо лише, якщоввести число π; взагалі периметр рm правильного вписаногоm-косинця дається формулою
/>
1.Межапослідовності
Визначення 1:Числова послідовність {хп} називається обмеженої зверху (знизу),якщо існує таке число М (т), що для будь-якого елемента цієїпослідовності має місце нерівність />, при цьому число М (т) називають верхньою (нижньої) гранню.
Визначення 2: Числова послідовність {хп} називається обмеженої,якщо вона обмежена й зверху, і знизу, тобто існують М, т, що для будь-якого />
Позначимо А = max {|M|, |m|}, тоді очевидно, щочислова послідовність буде обмежена, якщо для кожного /> виконується рівність |xn|≤А,остання нерівність є умова обмеженості числової послідовності.
Визначення 3: числова послідовність /> називається нескінченновеликою послідовністю, якщо для будь-якого А>0, можна вказати такийномер N, що для всіх n>N виконується |/> |>A.
/>
Визначення 4: числова послідовність {αn}називається нескінченно малою послідовністю, якщо для кожного напередзаданого ε > 0, можна вказати такий номер N(ε), що для будь-якогоn > N(ε) буде виконуватися нерівність | αn |
/>
Визначення 5:числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існуєтаке число а, що послідовність {хп – а} є нескінченно малоюпослідовністю. При цьому саме а – межа вихідної числової послідовності.
Із цьоговизначення треба, що все безконечно малі послідовності є збіжними й межу цихпослідовностей = 0.
У зв'язку з тим,що поняття збіжної послідовності вв'язано з поняттям нескінченно малоїпослідовності, то визначення збіжної послідовності можна дати в іншій формі:
Визначення 6:числова послідовність {хп} називається збіжної до числа а,якщо для будь-якого як завгодно малого /> найдеться такий />, що для всіх n > N виконуєтьсянерівність />
/>/> при />,
/>
а — межапослідовності
Так як />рівносильне />, а це означає приналежність інтервалу хnє (a – ε; a+ ?) або, що т же саме, належить? — околиці крапки а. Тоді миможемо дати ще одне визначення збіжної числової послідовності.
Визначення 7:числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існуєтака крапка а, що в будь-який досить малої ε — околиці цієї крапкиперебуває як завгодно елементів цієї послідовності, починаючи з деякого номераN.
Зауваження:відповідно до визначень (5) і (6), якщо а – межа послідовності {хп},те xп – а є елементом нескінченно малої послідовності, тобто xп– а = αn, де αn – елемент нескінченно малоїпослідовності. Отже, xп = а +αn, і тоді ми в правізатверджувати, що якщо числова послідовність {хп} сходиться, то їїзавжди можна представити у вигляді суми своєї межі й елемента нескінченно малоїпослідовності.
Вірно й зворотнетвердження: якщо будь-який елемент послідовності {хп} можнапредставити у вигляді суми постійного числа й елемента нескінченно малоїпослідовності, те це постійна і є межа даної послідовності.
2.Властивостізбіжних послідовностей
Теорема 1:
Усяка збіжнапослідовність має тільки одну межу.
Доказ:
Припустимо, щопослідовність {xn} має дві межі (а ≠ b)
xn →a, отже xn = a + αn, де αn елементнескінченно малої послідовності;
xn →b, отже xn = b + βn, де βn елементнескінченно малої послідовності;
Оцінимо різницюданих рівностей 0 = a – b + (αn — βn),
позначимо αn — βn = γn, γn – елементнескінченно малої послідовності,
отже, γn= b – a,
а це означає, щовсі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b — a, ітоді b — a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,
отже, b = a,
отже,послідовність не може мати двох різних меж.
Теорема 2:
Якщо всі елементипослідовності {xn} рівні З (постійної), то межа послідовності {xn},теж дорівнює С.
Доказ:
З визначеннямежі, треба, З = З + 0.
Теорема 3:
Якщопослідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність{xn + уn} також сходиться і її межа дорівнює сумі її щоскладаються (меж).
Доказ:
xn →a, отже xn = a + αn
уn →b, отже уn = b + βn
xn + уn= а + b + (αn + βn)
позначимо αn — βn = γn, отже xn + уn= а + b + γn, γn елемент нескінченно малоїпослідовності;
отже,
/>
Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей єпослідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.
Теорема 4:
Якщопослідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність{xn * уn} також сходиться і її межа дорівнює добутку їїмножників (меж).
Доказ:
xn →a, отже xn = a + αn
уn →b, отже уn = b + βn
xn * уn= (а + αn)*(b + βn)=аb+(а βn +bαn + αn βn)
позначимо γn= а βn + bαn + αn βn,де γn елемент нескінченно малої послідовності, виходить
xn * уn= ab+ γn,
отже,
/>
Теорема 5:
Якщопослідовності {xn} і {уn} сходяться до чисел а й bвідповідно, і якщо b ≠ 0, межа частки /> існує,кінцевий і дорівнює частці меж.
Доказ:
Так як послідовність {уn} сходиться до b, те по визначенню збіжноїпослідовності, для будь-якого ε > 0, найдеться N(ε), такий що длявсіх n > N, буде виконаються нерівність |b – yn|
Тоді поклавши />, бачимо, що
/>,
звідки треба
/>
отже
/>.
Так як, відповідно до умови b ≠ 0, то з останньої нерівності треба, що для всіхn > N елементи послідовності {уn} не рівні 0, значить саме ізцього номера N можна визначити послідовність />
xn = a+ αn
уn = b+ βn, отже
/>
позначимо γn= αпb – aβn, γn елементнескінченно малої послідовності.
/>,
а тоді з останньої рівності, треба
/>,
звідки
/>
3.Прикладизнаходження меж послідовності
Числовапослідовність задана загальним членом xп, розглянемо його:
/>
/>
/>
/>
/>/>
при знаходженні такої межі говорять, що будеморозкривати невизначеність виду />.
/>признаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду />.
Для розкриття невизначеності /> ділимо чисельник ізнаменник на найбільший ступінь n.
/>
/>
/>
Таким чином, має місце правило:
Межа відносини двох багаточленів дорівнюєнескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщоступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів пристарших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.
Для спрощення задачі знаходження межі послідовності,вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.
4.Теорема Штольца
Для визначеннямеж невизначених виражень />типу />часто буває корисна наступнатеорема, що належить Штольцу (O. Stolz).
Теорема: Нехайваріанта />, причому – хоча б починаючи здеякого місця – зі зростанням п і уп зростає: тобто уп+1> yn. Тоді
/>
якщо тількиіснує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).
Доказ: Допустимо спочатку, що ця межадорівнює кінцевому числу L:
/>
Тоді побудь-якому заданому />найдеться такий номер N, що для n> N буде
/>
або
/>.
Виходить, яке б n> N не взяти, всього дробу
/>
лежать між цимиграницями. Тому що знаменники їх, через зростання уп разом з номеромп, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб
/>
чисельник якої єсума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник — сума всіхзнаменників. Отже, при n > N
/>
запишемототожність
/>
звідки
/>.
Другий доданокправоруч, як ми бачили вище, при n > N стає .
Перший жедоданок, через те, що, також буде , скажемо, для n > N’.Якщо при цьому взяти N’ > N, то для n > N’ очевидно
/>,
що й доводитьнаше твердження.
Випадокнескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,
/>
Звідси,насамперед, випливає, що (для досить більших n)
/>
отже, разом з уnі />,причому варіанта хп зростає зі зростанням номера п. У такомувипадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення />:
/>
(тому що тут межавже кінцева), звідки й треба, що
/>,
що й булопотрібно довести.
5. Приклади назастосування теореми «Штольца»
1. Обчислити />
Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як.Бернуллі):
якщо п — натуральне число, більше одиниці, і ?>1,те
/> (*)
Дійсно, поклавши? =1+?, де? > 0, по формуліБінома Ньютона будемо мати:
/>
тому що ненаписані члени позитивні, те
/>,
що рівносильне нерівності (*).
так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що?> 0, маємо по формулі Бінома Ньютона
/>.
Тому що для n > 2, мабуть, />, те остаточно,
/>
При k = 1, одержуємо відразу
/>
так що
/>
Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1,те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)
/>
так що
/> (а> 1).
Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тимбільш буде вірний і для k
Цей результат за допомогою теореми Штольца виходитьвідразу
/>
2. Застосуємо теорему Штольца додоказу наступної цікавої пропозиції (Коші):
Якщо варіанта апмає межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта
/>
(«середнєарифметичне» перших п значень варіанти ап).
Дійсно, думаючипо теоремі Штольца
/>
маємо:
/>
Наприклад, якщоми знаємо, що />, те й
/>
3. Розглянемо тепер варіанту(уважаючи до — натурального)
/>,
яка представляєневизначеність виду />.
Думаючи в теореміШтольца
/>
будемо мати
/>
АЛЕ />
так що />
використовуючинаступне твердження
/>
/>,
/>
Другий множниктут має кінцева межа />. Якщо ступеня багаточленів рівніk = l, то межа відносини багаточленів дорівнює межі відносини коефіцієнтів пристарших ступенях багаточленів.
Якщо k
Якщо k> l, то розглянуте відношення прагне до />
у підсумку миодержуємо
/>
Висновок
У даній роботі мирозглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті прикладипоказують, що дана теорема в достатній мері полегшує процес знаходження межневизначених виражень />, допомагаючи обчислити шукану межу, не прибігаючи до допоміжнихнерівностей.
Список літератури
1. Г.М. Фихтенгольц. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К.,2004
2. Б.П. Демидович. Збірник задач і вправ по математичному аналізі. — К., 2001
3. Л.Д.Кудрявцев. Курс математичного аналізу, т. 1. — К., 1998.