--PAGE_BREAK--
Найдем значения аргумента, при которых , для чего решим уравнения и . Имеем следующую совокупность решений
Отрезку принадлежит только три решения уравнения .
Действительно, длина заданного в условии задачи отрезка меньше , то есть меньше разности каждой из трех арифметических прогрессий, записанной выше совокупности решений, поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждого семейства.
Так как функция возрастает на своей области определения, то , то есть , откуда следует, что . То есть отрезку принадлежат и .
Находя значения и сравнив их, находим, что на отрезке функции имеет наибольшее значение , а наименьшее значение
§2. Применение общей схемы к исследованию функций
Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.
В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:
1) находят ее область определения;
2) выясняют, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической;
3) точки пересечения графика с осями координат;
4) промежутки знакопостоянства;
5) промежутки возрастания и убывания;
6) точки экстремума и значения в этих точках;
7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ;
На основании такого исследования строится график функции.
Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.
Пример 1.Исследуем функцию и построим ее график.
Проведем исследование по указанной схеме.
1) , так как — многочлен.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной
3) График пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.
4) Найдем производную функции :
, поэтому критических точек, для которых не существует, нет.
Заметим, что , если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.
Составляем таблицу:
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции. Критическая точка равная 0 функции не является точкой экстремума [2].
Строим график функции (рис.1). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.
Пример 2.Исследовать функцию
1)
2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке .
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение . Пусть тогда уравнение примет вид: или , т.е. или , не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке .
4) Найдем производную функции
5) Найдем критические точки функции:
а) , если , , или , или
б) определена на всей
6) Определим знак производной на промежутках, найдем значения в точках -1, 0, 1. Полученные данные занесем в таблицу и построим график [2].
−
+
−
+
Min
max
min
Построим график данной функции (рис. 2):
Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1)
2)
3)
4)
5)
После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.
Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»
I вариант
1. Дана функция . Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Постройте график функции .
3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
II вариант
1. Дана функция . Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Постройте график функции .
3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [10].
§3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций
При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной.
а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).
Таблица 1
+
−
+
−
Max
min
max
Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)
На каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках, производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой ; на рисунках 4 и 5 – в точках с абсциссами ; на рисунке 6 – в точках с абсциссами .
Правильный график функции показан на рисунке 7.
б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки.
Исследовать функцию на монотонность.
Часто учащиеся поступают так: ; находят точки, в которых производная равна нулю: ; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой на два промежутка находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков.
Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка: . Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.
Ответ должен быть записан в следующем виде:
на промежутке функция возрастает;
на промежутке функция убывает;
на промежутке функция возрастает.
По поводу записи ответа отметим следующее: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так: .
в) Ряд ошибок связан с решением текстовых задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки.
Очень часто учащиеся в процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок.
На рисунке 9 показан график такой функции, которая на промежутке имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является
наибольшим; наибольшее значение функция достигает в точке .
Учащиеся были бы почти правы, если бы они записали вывод в таком виде: «Функция на промежутке имеет один экстремум, который максимум, тогда максимальное значение будет и наибольшим на данном промежутке». Этому утверждению соответствует рисунок 10.
Но и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при .
Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке».
Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки [5].
продолжение
--PAGE_BREAK--