Содержание
Введение. 3
§1.Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5
§2.Основные теоремы операционного исчисления. 8
2.1 Свертка оригиналов. 8
2.1 Свойство линейности. 9
2.2 Теорема подобия. 9
2.3 Теорема запаздывания. 10
2.4 Теорема смещения. 10
2.5 Теорема упреждения. 11
2.6Умножение оригиналов. 11
2.7Дифференцирование оригинала. 11
2.8Дифференцирование изображения. 12
2.9Интегрирование оригинала. 12
2.10Интегрирование изображения. 13
§3.Изображения простейших функций. 13
§4.Отыскание оригинала по изображению… 15
4.1 Разложение на простейшие дроби. 15
4.2. Первая теорема разложения. 16
§5Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами. 18
Приложение. 24
Введение
Операционное исчисление внастоящее время стало одной из важнейших глав практического математическогоанализа. Операционный метод непосредственно используется при решенииобыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можноиспользовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателямисимволического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко– Захарченко и А. В. Летникова.
Операционное исчислениеобратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд,используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Нонедоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи,Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установилисвязи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.
Идея решениядифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что отдифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно ужеалгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая егоотносительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу,находят искомое решение данного дифференциального уравнения.
Операционный методрешения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различныхвыражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисленияведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к заменеумножения более простой операцией – сложением.
Так же как и прилогарифмировании, при использовании операционного метода нужны:
1) таблицаоригиналов и соответствующих им изображений;
2) знание правилвыполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимымнад оригиналом.
§1. Оригиналы иизображения функций по Лапласу
Определение1.Будем действительную функциюдействительного аргумента f(t) называть оригиналом, еслиона удовлетворяет трем требованиям:
1) f(t) 0 , при t 0
2) f(t) возрастает небыстрее некоторой показательной функции />,при t0, где M 0,s0 0 — некоторые действительные постоянные, sназывают показателем роста функции f(t).
3) Налюбом конечном отрезке a, bположительнойполуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле,т.е.
a)ограничена,
b)либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,
c)имеет конечное число экстремумов.
Функции,удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемымипо Лапласу или оригиналами.
Простейшиморигиналом является единичная функция Хевисайда
/>
Если функция /> удовлетворяетусловию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение/> будет удовлетворять и условию 1,т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что всерассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.
Интегралом Лапласа для оригинала f(t)называется несобственный интеграл вида
/>,
где /> – комплексный параметр.
Теорема.
ИнтегралЛапласа абсолютно сходится в полуплоскости />(то естьизображение F(p) заведомо определено при />), где s– показательроста f (t).
∆При />получаем:
/> , но по свойству модулей />.
Заметим, что поопределению оригинала />
/>.
Вычислим этот интеграл:
/>
То есть получаем что F(p) существует при />
▲
Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:
/>
при />
Определение2. Изображениемпо Лапласу функцииf (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ,определяемая соотношением
/> (1)
Тотфакт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t),символически это записывается так:
/> или /> (2)
§2. Основные теоремыоперационного исчисления 2.1Свертка оригиналов.
Сверткой оригиналов /> и/> называется функция
/>.
Функции f (t) и g(t) называются компонентамисвертки.
Найдем для примерасвертку произвольного оригинала /> иединичной функции /> Имеем />.
Так как /> при /> то
/>. (2.1.1)
Теорема 1. Если /> и/>, то
/>.
∆
Действительно, поопределению интеграла Лапласа имеем
/>
Воспользуемсяопределением свертки:
/>
/>
Изменивпорядок интегрирования в двойном интеграле, получим
/>.
Введем вместо tновую переменную />. Тогда
/>
что и требовалосьдоказать. ▲Свойство линейности.
Длялюбых комплексных постоянных и :
/>
∆
Этосвойство вытекает из свойства линейности интеграла.
/>
Домножимравенство /> на α: />
Таккак />, то />, то есть
/>
2.2 Теорема подобия.
Длялюбого постоянного a>0:
/>
Умножениеаргумента оригинала на положительное число приводит к делениюизображения и его аргумента на это число .
Положимαt=u. Тогда />.
Такимобразом, при t=0 получаем u=0, при /> получаем/> и
/>
/> 2.3 Теорема запаздывания.
/> для t>τ>0
Такимобразом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводитк умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.2.4 Теорема смещения.
Для a>0 имеет место соотношение:
/>
∆
Изопределения изображения имеем:
/> 2.5 Теорема упреждения.
При а> 0 имеет место соотношение:
/> 2.6 Умножение оригиналов
/>2.7 Дифференцирование оригинала
/>
/>
Если />и /> – оригиналы и />, то
/> (2.7.1)
В самом деле, исходя изформулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь
/>.
Тогда по теореме 1
/>.
Отсюда />, что и требовалосьдоказать.
Применив формулу (2.7.1) дважды, получим
/>
и т.д. В частности, если />, то />, т.е. в этом случаедифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p. 2.8 Дифференцирование изображения
Если />, то />, то есть умножениюоригинала на (-t) соответствует производная отизображения F(p).
Обобщение:
Путемпоследовательного дифференцирования по параметру p равенства /> получим:
/>
2.9 Интегрирование оригинала
Если />, то />, то есть интегрированиюоригинала в пределах от 0 до tсоответствует деление изображения на р.
Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и />будет принадлежатьмножеству оригиналов.
Пусть/> и />. Из /> видно, что
1) />
2) />.
Применимсвойство дифференцирования оригинала к />,и в силу последних двух равенств получим
/>,
Аотсюда />.
Но,по условию теоремы, />. Следовательно, /> или />.
Аотсюда и из соотношений /> и /> следует, что />.2.10 Интегрирование изображения
Если /> и /> принадлежит множествуоригиналов, то />.§3. Изображенияпростейших функций
Единичная функцияХевисайда.
Имеем:
/>
Так как при />, то />.
Для функции Хевисайда сзапаздывающим аргументом />потеореме запаздывания получим
/>.
Экспонента.По теореме смещения
/>.
Гиперболические итригонометрические функции.
В силу линейностипреобразования Лапласа имеем
/>;
/>;
/>;
/>
Степенная функция снатуральным показателем.
Положим />, где />. Тогда при />
/>.
При />, поэтому
/>
Отсюда
/>.
Так как />, то
/>
Полученныес помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см.приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.
§4. Отыскание оригиналапо изображению
Длянахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужноиспользовать формулы обращения Римана-Меллина
/>.
Еслифункция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения1 и F(p) служит ее изображением,то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:
/>
Формулаобращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p),причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s0.
Вычисление оригинала поформуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решениизадач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже. 4.1Разложение на простейшие дроби.
Если />естьдробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньшестепени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простыхдробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно поформуле (1), либо по таблице (см. приложение).
Пример1.Найти оригинал по изображению.
/>
Разложимфункцию на сумму дробей:
/>
Найдемметодом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:
/>
Тогда
/>
Воспользуемсяприложением:
/>
Витоге оригинал равен
/> 4.2.Первая теорема разложения
Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложенов степенной ряд по степеням />, т.е.
/>
(причемэтот ряд сходится к F( p) при /> ), то оригинал имеет вид
/>
(причемряд сходится при всех значениях t ).§5 Решение задачи Кошидля обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами
Рассмотримлинейное дифференциальное уравнение
/>
где ak–действительные числа.
Требуетсянайти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальнымусловиям
x(0)=x, x`(0)=x`0, …, x(n-1)(0)=x(n-1)
где x, x`0, …, x(n-1) – заданные числа.
Будемпредполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, атакже функция f (t) являются оригиналами.
Пусть/>. По формуламдифференцирования оригиналов
/>
Перейдемот данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях
/>
Перепишемего так />, где />, а />
Находимтак называемое операторное решение уравнения
/>
Найдяоригинал x(t) по его изображению X(p), мы получим тем самым решение задачи Кошидля исходного дифференциального уравнения.
7.Примеры
Пример1.
Найтирешение дифференциального уравнения x(t)4x(t)5x(t)0,
удовлетворяющееусловиям x(0) 0, x(0) 1.
Решение. Запишем уравнение в изображениях
/>
/>
/>
/>
ВынесемХ за скобки
/>
/>
Найдеморигинал используя выведенные ранее значения в таблице приложения:
/>
искомоерешение — />
Пример2.
Решитьдифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.
Решение
/>
Пример3.
Решитьдифференциальное уравнение y`+y=et, y(0)=0.
Решение
/>
Перейдемк уравнению
/>
Пример4.
Найтирешение уравнения /> приначальных условиях y(0)=-1,y`(0)=0.
Решение
Пусть/>, тогда />, /> .
Тогда/>
/> - изображающее уравнение.Отсюда
/>
Оригиналдля правого слагаемого известен />, аоригинал для /> удобнее найти потеореме свертывания.
Известно,что />, поэтому
/>
Таккак />, то
/>
Такимобразом,
/>
Пример5.
Найтиобщее решение уравнения />.
Решение
Дляполучения общего решения начальные условия зададим так:
y(0)=C1, y`(0)=C2
Если />, то />, />
/>.
Иизображение уравнения имеет вид
/>
Отсюда
/>
Согласноприложению
/>,
/>
Собираяоригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p),получаем искомое решение:
/>
если />.Пример 6
Операционныйметод может быть применён для решения нестационарных задач математическойфизики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь отпространственной координаты x и времени t.
Дляуравнения теплопроводности будем решать краевую задачу:
/>
a2=const, u(x,0)=φ(x) — начальные условия и u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t), 0 ≤ x≤ l – краевые условия.
Пустьвсе функции являются оригинальными. Обозначим
/> - изображение по Лапласу.
/>
Тогда
/>
/>
/>
Тогда краевые условия:
/>
Уравнение в изображениях:
/>
Библиографический список.
1. Старков В.Н.Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.
2. Белослюдова В.В.,Дронсейка И.П.Специальныеразделы математики.Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной.Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.
3. Данко П.Е., ПоповА.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., 2005
4. Ершова В.В.Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление.Под ред. В.И. Азаматовой. Минск, 1976
Приложение
Таблица оригиналов иих изображений.
Оригинал
Изображение
Оригинал
Изображение 1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> t
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>