Содержание
Задание на курсовую работу… 2
Замечания руководителя… 3
1. Бесселевы функции с любым индексом… 5
2. Формулы приведения для бесселевыхфункций… 10
3. Бесселевы функции с полуцелыминдексом… 13
4. Интегральное представлениебесселевых функций с целым индексом… 15
5. Ряды Фурье-Бесселя… 18
6. Асимптотическое представлениебесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента… 23
Список литературы… 30
1.Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа вцилиндрических координатах
Чтобы объяснитьпроисхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
/>. (1)
Если перейти кцилиндрическим координатам по формулам:
/>, />, />,
то уравнение (1) приметследующий вид:
/>. (2)
Поставим задачу: найтивсе такие решения уравнения, которые могут быть представлены в видепроизведения трех функций, каждая из которых зависит только от одногоаргумента, то есть найти все решения вида:
/>,
где />, />, /> предполагаются дваждынепрерывно дифференцируемыми.
Пусть /> есть решениеупомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
/>,
откуда (после деления на />)
/>.
Записав это в виде:
/>,
найдем, что левая частьне зависит от />, правая не зависит от />, />;следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная />. Отсюда:
/>; />;
/>; />;
/>.
В последнем равенствелевая часть не зависит от />, правая не зависит от />;следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная />. Отсюда:
/>, />;
/>, />.
Таким образом, />, />, /> должныудовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
/>,
(3)
/>, />,
из которых второе итретье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, апервое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если />, />, /> удовлетворяютуравнениям (3), то /> есть решение уравнения (2). Всамом деле, подставляя /> в левую часть (2) и деля затем на/>, получим:
/>.
Таким образом, общий видвсех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций,каждая из которых зависит от одного аргумента, есть />, где />, />, /> – любые решения уравнений (3)при любом выборе чисел />, />.
Первое из уравнений (3) вслучае />, /> называетсяуравнением Бесселя. Полагая в этом случае />, обозначая независимую переменнуюбуквой /> (вместо/>), анеизвестную функцию – буквой /> (вместо />), найдем, что уравнение Бесселяимеет вид:
/>. (4)
Это линейноедифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играетбольшую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называютсябесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевыфункции первого рода
Будем искать решениеуравнения Бесселя (4) в виде ряда:
/>.
Тогда
/>,
/>,
/>,
/>
/>.
Следовательно, приходим ктребованию
/>
или к бесконечной системеуравнений
/> />,
которая распадается надве системы:
/> />
Первая из нихудовлетворится, если взять />… Во второй системе /> можно взятьпроизвольно; тогда />… однозначно определяются (если /> не являетсяцелым отрицательным числом). Взяв
/> ,
найдем последовательно:
/>,
/>,
/>,
и в качестве решенияуравнения (4) получим ряд:
/>
Этот ряд, формальноудовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений /> и,следовательно, является решением уравнения (4) в области /> (в случае целого /> в области />).
Функция
/> (5)
называется бесселевойфункцией первого рода с индексом />. Она является одним из решенийуравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса /> получим:
/>, (5`)
и, в частности,
/>. (5``)
Общеерешение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса/> функции /> и /> являютсярешениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальныечлены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, исодержат разные степени />. Таким образом, в случае нецелогоиндекса общее решение уравнения Бесселя есть:
/>. (6)
Если /> (целое отрицательноечисло), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что /> равно нулю для />…), принимаетвид:
/> (5```)
или, после замены индексасуммирования /> на />,
/>, (7)
откуда видно, что /> удовлетворяетвместе с /> уравнениюБесселя
/>.
Но формула (6) в случаецелого /> ужене дает общего решения уравнения (4).
Полагая
/> (/>– не целое) (8)
и дополняя этоопределение для /> (целое число) формулой:
/>, (8`)
получим функцию />,удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от /> (в случае />, где /> – целое).Функция /> называетсябесселевой функцией второго рода с индексом />. Общее решение уравнения Бесселя(4) можно записать во всех случаях в виде:
/>. (9)
2. Формулыприведения для бесселевых функций
Имеем:
/>; />;
/>, />;
/>.
Следовательно,
/>. (10)
Таким образом, операция /> (состоящая вдифференцировании с последующим умножением на />), примененная к />, повышает в этомвыражении индекс /> на единицу и меняет знак.Применяя эту операцию /> раз, где /> – любое натуральное число,получаем:
/>. (10`)
Имеем:
/>;
/>
Следовательно,
/>. (11)
Таким образом, операция />, примененная к/>, понижаетв этом выражении индекс /> на единицу. Применяя эту операцию/> раз,получаем:
/>. (11`)
Из выведенных формулможно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
/>; />; />.
Отсюда, в частности,следует, что />. Используя (11), получим:
/>; />; />.
Почленное сложение ивычитание полученных равенств дает:
/>, (12)
/>. (13)
Формула (13) позволяетвыразить все бесселевы функции с целыми индексами через />, />. Действительно, из (13)находим (полагая />):
/>, (13`)
откуда последовательнополучаем:
/>,
/>, …………………
3.Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообщеговоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися черезэлементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом />, где /> – целое. Этифункции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
/> ,
/>,
следовательно,
/>.
Но />, значит:
/>. (14)
Далее
/>,
/>,
следовательно,
/>.
Но />, поэтому
/>. (15)
С помощью (10`) находим:
/>,
а учитывая (14)
/>,
следовательно, при целомположительном />
/>. (14`)
С помощью (11`) находим:
/>,
но в силу (15)
/>,
и, следовательно, прицелом положительном />
/>. (15`)
4. Интегральноепредставление бесселевых функций с целым индексом
Производящаяфункция системы функций
Рассмотрим систему /> функций /> (с любой общейобластью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
/>
Составим ряд
/>,
где /> – комплекснаяпеременная. Предположим, что при каждом /> (принадлежащем областиопределения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости,содержащее внутри себя единичную окружность />. В частности, это кольцо можетпредставлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
/> (16)
(где x лежит в области определения функцийсистемы />, /> – внутрикольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению />) называетсяпроизводящей функцией системы />.
Обратно, пусть заданафункция />,где /> пробегаетнекоторое множество, /> находится внутри некоторогокольца, зависящего от />, с центром 0 и содержащего внутрисебя единичную окружность. Тогда, если /> при каждом /> аналитична относительно/> внутрисоответствующего кольца, то /> есть производящая функциянекоторой системы /> функций. В самом деле, разложивпри каждом /> функцию/> в рядЛорана по степеням />:
/>,
найдем, что системакоэффициентов /> этого ряда будет искомой системой/>.
Формулы для коэффициентовряда Лорана позволяют выразить функции /> рассматриваемой системы черезпроизводящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интегралвдоль единичной окружности /> в простой интеграл, получим:
/>. (17)
Производящая функциясистемы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системыбесселевых функций первого рода с целыми индексами /> (/>…) производящая функция есть:
/>.
Имеем:
/>, />,
откуда после почленногоперемножения этих равенств найдем:
/>
(так как в предпоследнейвнутренней сумме /> и /> были связаны зависимостью />, то мы моглиположить />,получив суммирование по одному индексу />). В последней внутренней суммесуммирование производится по всем целым />, для которых />, следовательно, при /> это будет />; при /> это будет />. Такимобразом, во всех случаях внутренняя сумма есть /> в силу формул (5`) и (5```).Итак,
/>, (18)
но это и доказывает, что /> естьпроизводящая функция для системы />.
Выведем некоторыеследствия из формулы (18). Полагая в ней />, получим:
/>,
откуда после разделениядействительной и мнимой части (учитывая, что />)
/> (18`)
/> (18``)
Заменяя в (18`) и (18``) /> на />, найдем:
/>, (18```)
/>. (18````)
Интегральноепредставление Jn(x)
Так как, по доказанному,при /> имеем/>, то поформуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
/>
где принято во внимание,что /> естьчетная функция от /> есть нечетная функция от />. Итак,доказано, что для любого целого числа />
/>. (19)
Формула (19) даетпредставление бесселевых функций с целым индексом в виде определенногоинтеграла, зависящего от параметра />. Эта формула называетсяинтегральным представлением Бесселя для />, правая часть формулы называетсяинтегралом Бесселя. В частности, при /> найдем:
/>. (19`)
5. РядыФурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либоинтервале /> (конечномили бесконечном) два дифференциальных уравнения
/>, />, (20)
где /> и /> – непрерывные функциина />. Пусть/> и /> – ненулевыерешения этих уравнений. Умножение на /> и на /> и последующее вычитание дают
/>.
Пусть /> и /> принадлежат /> и />, тогда послеинтегрирования в пределах от /> до /> получим
/>. (21)
Если /> и /> – соседние нули решения/>, то между/> и /> /> сохраняет постоянныйзнак, пусть, например, /> на (/>, />) (в противном случае следуетзаменить /> на/>), тогда />, /> (равенствонулю исключено, так как /> – ненулевое решениедифференциального уравнения второго порядка). Если на /> />, то /> должна, по крайней мере, разобращаться в нуль между /> и />, так как иначе /> сохранит постоянныйзнак на (/>,/>). Пусть,например, /> на(/>,/>) (в противномслучае заменяем /> на />), и тогда из (21) получимпротиворечие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказанатеорема сравнения Штурма: если P(x)
Из теоремы сравненияШтурма вытекают нижеследующие следствия. Если /> на />, то каждое ненулевое решениеуравнения /> можетиметь на /> неболее одного нуля (это легко видеть, если положить /> и взять />). Если /> на /> (где />), то для всяких двух соседнихнулей /> и /> (/>) каждогоненулевого решения уравнения /> имеем /> (это легко видеть, если положить />, взять /> и заметить,что нулями /> будуттолько числа вида />, /> целое). Если /> на /> (где />), то для всяких двухсоседних нулей каждого ненулевого решения уравнения /> имеем /> (это легко видеть, если положить /> и взять />). Изсказанного следует, что если /> на />, то для всяких двух соседнихнулей /> и /> (/>) каждогоненулевого решения уравнения /> имеем />.
Изложенное показывает,что если /> непрерывнана /> ипревышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевоерешение /> уравнения/>имеет на /> бесконечномного нулей. Если еще /> вблизи /> не обращается в нуль, то эти нулиобразуют бесконечную возрастающую последовательность />, имеющую пределом +∞, аесли, кроме того, />, где />, то />.
Рассмотрим уравнениеБесселя
/>
на интервале />. Подстановка /> приводит куравнению
/>.
Очевидно, /> и /> имеют одни и те женули. Так как />, где /> – целая функция, то /> не имеет нулейна /> придостаточно малом />, и так как /> при />, то при каждом /> нули /> на /> образуютбесконечную возрастающую последовательность
/>
причем />.
Если />, то /> удовлетворит уравнению
/>
на интервале (0, +∞).Подстановка /> приводитк уравнению
/>
и, следовательно, /> удовлетворяет этомууравнению. Таким образом, при любых положительных /> и /> имеем
/>, где />,
/>, где />,
откуда
/>,
следовательно,
/>, где />. (22)
Пусть теперь />. Разложение /> по степеням /> начинается счлена, содержащего />, разложение /> по степеням /> начинается счлена, содержащего />, так как коэффициент при /> равен нулю,что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при /> получим
/>,
то есть
/>, (23)
откуда видно, что если /> и /> являютсяразными нулями функции />, то
/>. (23`)
Этим доказано, что при /> системафункций
/>
на интервале /> являетсяортогональной относительно веса />.
Переходя к пределу при /> в соотношении
/>
и используя правилоЛопиталя, получим при всяком />
/>, (24)
следовательно, если /> является нулемфункции />,то
/>. (24`)
Таким образом, при каждом/> всякойнепрерывной функции /> на />, удовлетворяющей требованию
/>,
поставлен в соответствиеряд Фурье-Бесселя
/>, (25)
коэффициенты которогоопределяются формулами
/>. (25`)
Можно доказать, чтосистема функций /> на />, ортогональная относительно веса />, замкнутая. Вчастности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей егонепрерывной функции />.
Можно показать, что если /> и /> непрерывная на/> и кусочно-гладкаяна /> функция,то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при />.
6.Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для большихзначений аргумента
Пусть /> - положительная функцияи /> - какая-нибудь(вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно большихзначений />.Запись
/> при />
означает, что найдутсятакие числа /> иM, что при /> имеем />.
Подобная записьупотребляется и в других аналогичных случаях. Например, если /> - положительная функцияи /> -какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений />, то запись
/> при />
означает, что найдутсятакие числа /> и/>, что /> на />.
Вспомогательная лемма
Если /> дважды непрерывнодифференцируема на />, то для функции
/>
имеет местоасимптотическое представление
/> при />.
Докажем эту лемму.Заменяя на />,получим:
/>. (26)
Рассмотрим интеграл,фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя /> на />, найдем:
/>,
но, заменив на />, получим:
/>.
Если /> положительна, убывает истремиться к нулю при />, то /> и />, а следовательно, и /> есть /> при />, поэтому
/> при />,
откуда
/> при />.
Итак, получаемасимптотическое представление:
/> при />. (27)
Рассмотрим теперьинтеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
/>,
/>.
Очевидно, /> дважды непрерывнодифференцируема на />, но существуют /> и />, поэтому /> становится непрерывнодифференцируема на />. Интегрирование по частям дает:
/>,
где первое слагаемоеправой части /> есть /> при />, а интеграл во втором слагаемомнесобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
/>,
который сходится, так как
/> при />;
следовательно, второеслагаемое есть тоже /> при />.
Итак, имеем:
/> при />. (28)
Из (26), (27), (28)получаем искомое асимптотическое представление:
/> при />. (29)
Из этой формулы, переходяк сопряженным величинам, найдем еще:
/> при />. (29`)
Формулы (29) и (29`)верны и для комплекснозначных функций />.
Вывод асимптотическойформулы для Jn(x)
Заменяя /> на />, получим:
/>
(учитывая, что /> есть четнаяфункция от />,а /> естьнечетная функция от />). Подстановка /> дает:
/>,
где /> есть, очевидно, полиномn-й степени (полином Чебышева), таккак из формулы Муавра видно, что /> есть полином n-й степени относительно />. Но
/>
и, заменяя в первом изэтих интегралов /> на />, получим:
/>
Так как /> и /> на /> имеют производные всехпорядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мыполучаем:
/>;
но />; />, следовательно,
/>.
Итак, имеем искомоеасимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексомдля больших значений аргумента:
/> при />. (30)
Эта формула показывает,что /> сточностью до слагаемого порядка /> является затухающей гармоникой сволной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорциональноквадратному корню из абсциссы.
В частности,
/> при />; (30`)
/> при />. (30``)
Графики этих функцийизображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколькопримеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решениеуравнения Бесселя при />
/>,
удовлетворяющее начальнымусловиям при />, /> и />.
Решение.
На основании формулы (5`)находим одно частное решение:
/>.
2. Найти одно из решенийуравнения:
/>, />.
Решение.
Сделаем замену
/>.
При /> получим:
/>.
При /> будем искать решение ввиде обобщенного степенного ряда:
/>.
Уравнение на /> имеет вид />;
/>, />, />, />, поэтому
/>,
/>, />.
/>
Рисунок 1 – Графикфункции y=J0(x)
/>
Рисунок 2 – Графикфункции y=J1(x)
Списоклитературы
1. Пискунов Н. С.«Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М:Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «РядыФурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа»,учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.