--PAGE_BREAK--3. Вычисление определителей.
Решение:
Используя алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:
Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:
Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.
Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.
В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:
Определитель матрицы равен 4.
4. Метод Гаусса.
Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение:
Система уравнений– это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Гаусса– классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Сформируем исходную матрицу:
Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:
Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:
Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:
Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:
Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:
Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.
продолжение
--PAGE_BREAK--5. Метод Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение:
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера).Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
— 331
Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Найдем решениесистемы уравнений:
6. Матричные уравнения
Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.
Решение:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
/>.
Найдем произведение
/>
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
/> или короче A∙X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:
/>.
Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравненияполучаем в виде X = B∙ A-1.
Вычислим обратную матрицу А-1.
Определитель матрицы
Система совместна и имеет единственное решение.
Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Союзная матрица .
Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.
Присоединенная матрица .
Вычислим обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:
.
Найдем X
=
B
∙
A
-1, выполнив умножение матриц B∙ A-1.
Матрица— математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.
Умножение матриц— одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.
Вычислимэлементыматрицы|Х|:
x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3
x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3
x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3
x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3
x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3
x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3
x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3
x3,2 = b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3
x3,3 = b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3
x1,1 =
1
∙
3
+
2
∙
(-3)
+
3
∙
1
=
3
+
(-6)
+
3
=
x1,2 =
1
∙
(-2.5)
+
2
∙
4
+
3
∙
(-1.5)
=
-2.5
+
8
+
(-4.5)
=
1
x1,3 =
1
∙
0.5
+
2
∙ (
-1)
+
3
∙
0.5
=
0.5
+
(-2)
+
1.5
=
x2,1 =
2
∙
3
+
4
∙
(-3)
+
6
∙
1
=
6
+
(-12)
+
6
=
x2,2 =
2
∙
(-2.5)
+
4
∙
4
+
6
∙
(-1.5)
=
-5
+
16
+
(-9)
=
2
x2,3 =
2
∙
0.5
+
4
∙
(-1)
+
6
∙
0.5
=
1
+
(-4)
+
3
=
x3,1 =
3
∙
3
+
6
∙
(-3)
+
9
∙
1
=
9
+
(-18)
+
9
=
x3,2 =
3
∙
(-2.5)
+
6
∙
4
+
9
∙
(-1.5)
=
-7.5
+
24
+
(-13.5)
=
3
x3,3 =
3
∙
0.5
+
6
∙
(-1)
+
9
∙
0.5
=
1.5
+
(-6)
+
4.5
=
Результирующая матрица:.
Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.
Вычислимэлементыматрицы|B|:
b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1
b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2
b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3 продолжение
--PAGE_BREAK--