Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008
СвидетельствоУкраины № 27312
орегистрации авторского права
КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Фермаформулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
Аn+ Вn= Сn* /1/
где n — целое положительное число, большеедвух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Из формулировки Великойтеоремы Ферма следует: если n– целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трехчисел А, В или С — целые положительные числа, одно из этихчисел не является целым положительным числом.
Доказательство строим,исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой оединственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения напростые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показателистепени n. Рассмотрим оба случая.
1. Случай первый:показатель степени n— нечетное число.
В этом случае выражение/1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:
Аn+ Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B+An-3·B2 — …-A·Bn-2+Bn-1] /2/
Полагаем, что Aи B – целые положительные числа.
Числа А, Ви С должны быть взаимно простыми числами.
Из уравнения /2/ следует,что при заданных значениях чисел AиBмножитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значенияхпоказателя степени n, следовательно,он является делителем числа С.
Допустим, что число С- целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремыарифметики должновыполняться условие:
Сn= An + Bn=(A+B)n∙ Dn, /3/
гдемножитель Dnдолжен быть целым числом и,следовательно, число Dтакжедолжно быть целым числом.
Из уравнения /3/ следует:
/> /4/
Из уравнения /3/ такжеследует, что число [Cn= An+ Bn] при условии, что число С – целое число, должноделиться на число (A+B)n. Однако известно, что:
An+ BnA+B)n/5/
Следовательно:
/> — дробное число, меньшее единицы. /6/
/> — дробное число.
Отсюда следует, что принечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решенияв целых положительных числах.
При нечетных показателяхстепени n>2 число:
/>
Из анализа уравнения /2/следует, что при нечетном показателе степени n число:
Сn = Аn+ Вn = (A+B)[An-1-An-2·B+An-3·B2 — …-A·Bn-2+Bn-1]
состоит из двух определенныхалгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени nнеизменным остаетсяалгебраическиймножитель (A+B).
Таким образом, великаятеорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетномпоказателе степени n>2.
2. Случай второй: показатель степени n— четное число.
Суть великой теоремыФерма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:
An= Cn— Bn/7/
В этом случае уравнение /7/преобразуется следующим образом:
An =Cn — Bn = (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+Cn-3∙ B2 +…+ C∙ Bn-2 + Bn-1). /8/
Принимаем, что С иВ – целые числа.
Из уравнения /8/ следует,что при заданных значениях чисел BиCмножитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значенияхпоказателя степени n, следовательно,он является делителем числа A.
Допустим, что число А– целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:
Аn= Сn— Bn=(С+B)n∙ Dn, /9/
гдемножитель Dnдолжен быть целым числом и,следовательно, число Dтакжедолжно быть целым числом.
Из уравнения /9/ следует:
/> /10/
Из уравнения /9/ такжеследует, что число [Аn= Сn— Bn] при условии, что число А – целое число, должноделиться на число (С+B)n. Однако известно, что:
Сn— BnB)n/11/
Следовательно:
/> — дробное число, меньшее единицы. /12/
/> — дробное число.
Отсюда следует, что принечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решенияв целых положительных числах.
При четных показателяхстепени n>2 число:
/>
Таким образом, великаятеорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четномпоказателе степени n>2.
Из изложенного следуетобщий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целыхположительных числах А, В иС при условии, что показатель степениn >2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕОБОСНОВАНИЯ
В том случае когдапоказатель степени n– четноечисло, алгебраическое выражение (Cn— Bn) раскладывается на алгебраические множители:
C2 –B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/
C4 –B4 = (C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2);/14/
C6 –B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2) ∙ (C2+CB+ B2); /15/
C8 –B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2) ∙ (C4+ B4)./16/
Приведем примеры вчислах.
ПРИМЕР 1: В=11; С=35.
C2 – B2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24· 3 · 23;
C4 – B4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673)= 24 · 3 · 23 · 673;
C6 – B6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312)·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;
C8 – B8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673)∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙75633.
ПРИМЕР 2: В=16; С=25.
C2 – B2 = (32) ∙ (41) = 32 ∙41;
C4 – B4 = (32) ∙ (41) · (881) =32 ∙41 · 881;
C6 – B6 = (32) ∙ (41) ∙ (22 ∙3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙41 ∙ 61;
C8 – B8 = (32) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.
Из анализа уравнений /13/,/14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:
— при заданном показателестепени n, если он четное число, число Аn= Сn— Bn раскладывается на вполне определенноеколичество вполне определенных алгебраических множителей;
— при любом показателестепени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn— Bn) всегда имеются множители (C-B) и(C+B);
— каждому алгебраическомумножителю соответствует вполне определенный числовой множитель;
— при заданных значенияхчисел В иС числовые множители могут быть простыми числами илисоставными числовыми множителями;
— каждый составной числовоймножитель является произведением простых чисел, которые частично или полностьюотсутствуют в составе других составных числовых множителей;
— величина простых чиселв составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этихмножителей;
— в состав наибольшегосоставного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическомумножителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателястепениn(чаще всего в первойстепени).
ВЫВОДЫ: дополнительныеобоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеетрешения в целых положительных числах.
Автор: Николай МихайловичКозий,
инженер-механик
E-mail: nik_krm@mail.ru