Раздел 1.Классическая вероятностная схема1.1 Основные формулы комбинаторики
В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». Очисле шансов говорят, когда возможно несколько различных результатовкакого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика илимонетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможныхрезультатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие.Теорема о перемножении шансов
Теорема1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит niэлементов,1
Замечание1. В теореме 1 считается,что даже если все элементы в i-й группе неразличимы, выбрать один из них можно niспособами.
Замечание2. Результат выбора,описанного в теореме 1, представим ввиде набора (а1, а2,…, аk) в которомаi— выбранный из i-й группы элемент. Тогда общее число различных наборов (а1, а2,…, аk) такжеравняется
Доказательствотеоремы 1.
i-ой группы числами от 1 до ni. Элемент из первой группы можно выбрать n1 способами. Если мы выбралиэлемент j,1
Но столько же пар можно составить и с любым другим элементомпервой группы. Тогда всего пар, в которых первый элемент выбран из первойгруппы, а второй — из второй, существует ровно
Иначе говоря, есть способов выбрать поодному элементу из первых двух групп. Возьмем одну такую пару (j, l).Заметим, что элемент из третьей группы можно выбрать n3способами, то есть возможно составить ровно n3 троек (j, l, m), добавляя к данной паре (j, l) любой из n3 элементовтретьей группы.
Но столько же троек можно составить и с любой другой парой (j, l). Тогда всего троек, в которых первый элемент выбран изпервой группы, второй — из второй, а третий — из третьей, существует ровно
Продолжая рассуждения, методом математической индукциизаключаем справедливость утверждения теоремы.Урны и шарики
Есть урна, (то есть ящик), содержащая n занумерованных объектов, которые мы без ограниченияобщности будем считать шариками. Мы выбираем из этой урны k шариков. Нас интересует, сколькимиспособами можно выбрать k шариков из n, или сколько различных результатов (то естьнаборов, состоящих из kшариков) получится.
На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы неопределимся
·
· различными результатами выбора.
Рассмотрим следующие возможные схемы выбора:
1. Выбор с возвращением: каждый выбранный шарик возвращаетсяв урну, то есть каждый из k шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе,состоящем из kномеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями).
2. Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну невозвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений).
И в том, и в другом случае результатом выбораявляется набор из kномеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно,по одному (с возвращением или без).
Условимся, какие результаты мы будем считать различными.
Есть ровно две возможности.
1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариковсчитаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так,при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы (1,2,5), (2,5,1)(4,4,5) различны, если производится выборс учетом порядка.
2. Выбор без учета порядка: два набора номеровшариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы,отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, впримере выше первые два набора (1,2,5), (2,5,1) есть один и тот же результатвыбора, а набор (4,4,5) — другой результат выбора.
Подсчитаем теперь, сколько же возможно различных результатовпри каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этихслучаев учитываем ли мы порядок или нет).Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
Теорема 2. Общее количествовыборок в схеме выбора kэлементов из nбез возвращения и с учетом порядка определяется формулой
и называется числомразмещений из nэлементов по kэлементов.
Доказательство.Первый шарик можно выбрать nспособами. При каждом из этихспособов второй шарик можно выбрать n-1 способом, ит.д. Последний k-йшарик можно выбрать (n-k+1) способом. По теореме 1, общее число способов выбора равно
что и требовалось доказать.
Следствие1. Число возможных перестановок множества из n элементов есть n!
Доказательство очевидно, еслизаметить, что перестановка есть не что иное, как результат выбора без возвращенияи с учетом порядка всех nэлементов из n.Так что общее число перестановок равноУрновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
Теорема3. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядкаопределяется формулой
и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.
Доказательство. Заметим, что, согласноследствию 1, из каждой выборкиданного состава (состоящей из k элементов) можно образовать k! выборок,отличающихся друг от друга только порядком элементов.
То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чемчисло выборок, различающихся только составом. Поделив k!, получим утверждение теоремы.Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
Теорема4. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и с учетом порядкаопределяется формулой
Доказательство. Первый шарик можно выбрать n способами. Прикаждом из этих способов второй шарик можно выбрать также n способами, и так k раз.Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
Рассмотрим урну с двумяшариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе свозвращением:
С учетом порядка
Без учета порядка
(1, 1)
(2, 2)
(1, 2)
(2, 1)
(1, 1)
(2, 2)
(1, 2)
Заметим, что в схеме «без учета порядка» получилось3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». (число4 возникает и согласно теореме 4); ичто никаким делением на «число каких-нибудь перестановок» число 3 из 4 получитьне удастся.
Теорема5. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и без учета порядкаопределяется формулой
Доказательство.Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такойсхемы выбора. Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только,сколько раз в нашем наборе из k номеров шариков появился шарик номер 1, шарик номер 2, …,шарик номер n.То есть результат выбора можно представить набором чисел k1, k2, …kn, вкотором ki— число появлений шарика номер i в выборке, и k1+ k2+ …+kn.= k.При этом два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы k1, k2, …,kn несовпадают.
Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие жерезультаты (и, следовательно, их столько же). Есть n ящиков, в которых размещается k шариков. Насинтересует только количество шариков в каждом ящике. То есть, результатом экспериментаснова является набор чисел k1, k2, …kn, в котором ki — число шариков в ящике с номером i, и k1+ k2+ … +kn.= k.Числа kiпо-прежнему принимают натуральные значения или равны 0.
А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которойвертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а кружки — находящиесяв ящиках шарики:
Мы видим результат размещения 9 шариков по 7 ящикам. Здесь1-й ящик содержит 3 шарика, 2-й и 6-й ящики пусты, 3-й ящик содержит 1 шарик, ив 4-м и 5-м ящиках есть по 2 шарика. Переложим один шарик из первого ящика вовторой и изобразим таким же образом еще один результат размещения:
И еще один:
Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шарики иперегородки, или расставляя k шариков на n-1+k месте. Число n-1+kполучается так: у nящиков есть ровно n+1 перегородка, считая крайние, или n-1 перегородка,если не считать крайние, которые двигать нельзя. И есть k шариков. Перебрав все возможные способырасставить kшариков на этих n-1+kместах (и ставя на оставшиеся места перегородки), переберем все нужные размещения.
Но способов расставить kшариков на n-1+kместах ровно n-1+kномеров мест kномеров мест (без учета порядка и без возвращения), на которые нужно поместитьшарики. Заметим, что равенство верно как поопределению биномиальных коэффициентов или свойствам треугольника Паскаля, таки в силу того, что можно вместо выбора k мест для шариков выбирать n-1 место для перегородокящиков, заполняя шариками оставшиеся места.1.2 Основные понятия элементарной теории вероятностейПредмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие вслучайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результаткоторого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее —основное, что отличает случайноеявление от детерминированного.
Не все случайные явления (эксперименты) можноизучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут бытьвоспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемымзаранее) свойством «статистической устойчивости: «если А— некоторое событие,могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/nчисла экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироватьсяс ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степенивозможности» событию А произойти.
В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайныхэкспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистическойустойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чиселЯ.Бернулли.Пространство элементарных исходов. Операции над событиями
Определение1. Пространством элементарныхисходов Ω («омега») называется множество,содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которыхв эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначаютбуквой ω («омега») с индексами или без.
Определение2. Событиями мы будемназывать подмножества множества Ω. Говорят,что в результате эксперимента произошлособытие А Í Ω, если в эксперименте произошел один из элементарныхисходов, входящих в множество А.
Замечание3. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно всеподмножества множества Ω, а лишьмножества из некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговоримпозднее.
Пример1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самыйразумный способ задать пространство элементарных исходов таков: Ω = {1,2,3,4,5,6},элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
Примеры событий: A = {1,2} —выпало одно или два очка; A = {1,3,5} —выпало нечетное число очков.
Пример2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что,то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Как мы увидим вдальнейшем, здесь самый разумный способ задать пространство элементарныхисходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел (i, j), в которой 1£i, j £6и i — число очковвыпавших первый раз, j– число очков, выпавших второй раз. Ω= {(i, j),где1£i, j £6}
Примеры событий:
A = {(1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6)} — при первом подбрасывании выпало одно очко;
A = {(1,1),(2,2), (3,3),(4,4), (5,5), (6,6)} — при двух подбрасываниях выпало одинаковоечисло очков.
Пример3. На поверхность стола бросается монета. Результатом экспериментаможно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворотамонеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов— множество точек стола (во втором случае — множество пар {x, φ}, где x— координата точки стола и φÎ[0, 2π]— угол поворота). Число элементарных исходов такогоэксперимента несчетно.
Пример4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом.Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числаисходов:
Ω = {г, рг, ррг, рррг,ррррг, рррррг, …}, где ри г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании,соответственно.
Пример5. Приведем пример неправильно выбранного пространства элементарныхсобытий. Пусть при бросания игральной кости Ч = {четное число очков}, Т ={число очков, кратное трем}. Тогда Ω = {Ч, Т, 1, 5} составляет все исходы эксперимента, однакоисходы Ч и Т могут наступать одновременно.
Определение3.
1. Достоверным называетсясобытие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственноесобытие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие Ω.
2. Невозможнымназывается событие которое не может произойти в результате эксперимента, тоесть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» Æ).Заметим, что всегда ÆÎΩ.
Определение4. Пусть А и В — события.
1. Объединением А UВ событий А и В называетсясобытие, состоящее в том, что произошло либо А,либо В, либо оба события одновременно. Наязыке теории множеств А UВ есть множество,содержащее как элементарные исходы, входящие в А, так и элементарные исходы, входящие в В.
2. Пересечением А ∩ В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли обасобытия А иВ одновременно. То есть А ∩ В есть множество,содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в А ив В.
3. Дополнением А В события А до В называется событие, состоящее в том, что произошло событиеА, но не произошло В. То есть А В естьмножество, содержащее элементарные исходы, входящие в А,но не входящие в В.
4. Противоположным(или дополнительным) к событию А называется событие А врезультате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество,содержащее элементарные исходы, не входящие в А.
Определение5.
1. События А и В называются несовместными, если А∩ В = Æ.
2. События А1, А2, … Аnназываются попарно несовместными, если для любых i≠ j, 1 £i,j£n, события Аiи Аj несовместны.
3. Говорят, что событие А влечет событие В, и пишут А Í В, если всегда,как только происходит событие А, происходит исобытие В. На языке теории множеств это означает,что любой элементарный исход, входящий в А, одновременновходит и в событие В.Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов
Предположим, что мы имеем дело с дискретным пространством элементарных исходов, то естьпространством, состоящим из конечного или счетного числа элементов:
Ω = {ω1,ω2, … ωn, … }.
Определение6. Поставим каждому элементарному исходу ωiÎΩ в соответствие число p(ωi) Î[0,1]так, что
Назовем число p(ωi) вероятностью элементарного исхода ωi. Вероятностью события А ÍΩ называется число
равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих вмножество А.
Замечание4. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мызададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятностиэлементарных исходов. Тем более, что сложением вероятностей элементарныхисходов можно получить лишь вероятность события, состоящего не более чем изсчетного числа элементарных исходов (иначе само понятие суммирования неопределено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов определитьвероятности событий так, как это сделано в определении 6, всегда возможно.
Перечислим очевидные в случае дискретного пространстваэлементарных исходов свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу вобщем случае.
1. 0 £Р(А) £1;
2. Р(Ω) = 1;
3. Р(Æ) = 0;
4. Р(Ō) = 1 — Р(О);
5. если А и В несовместны, тоР(А UВ) = Р(А) + Р(В);
6. в общем же случае Р(А UВ) = Р(А) +Р(В) — Р(А ∩В);
7. если А ÍВ, то Р(А) £Р(В).Классическое определение вероятности
Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарныхисходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1,ω2, … ωN}. Более того,предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходыравновозможными. Тогда вероятностьлюбого из них принимается равной 1/ N.
Эти соображения чаще всего не имеют отношения кматематической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте(симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость). Либомы можем заранее считать исходы эксперимента равновозможными, но тогда рано илипоздно все равно возникнет вопрос о соответствии такой математической моделиреальному эксперименту.
Если событие А = {} состоит из k элементарных исходов, то вероятностьэтого события равняется
отношению k/N:
где символом │А│обозначено число элементов конечного множества А.
Определение7.
Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностнойсхеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа│А│ = Nравновозможных исходов.
В этом случае вероятность любого события А вычисляется поформуле
называемой классическим определением вероятности. Эта формула читается так:«вероятность события А равна отношениючисла исходов, благоприятствующих событиюА, к общему числу исходов».
Замечание5. Полезно помнить классическую формулировку Якоба Бернулли: «Вероятность есть степень достоверности иотличается от нее как часть от целого». (Ars Conjectandi, 1713 г.)
Замечание6. Мы видим теперь, что подсчет вероятности в классической схемесводится к подсчету числа «шансов» (элементарных исходов), благоприятствующихкакому-либо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощьюформул комбинаторики.
Рассмотрим описанные в параграфе 1.1 урновые схемы.Напомним, что речь идет об извлечении kшариков из урны, содержащей n шариков. При этом три схемы: с возвращением и с учетомпорядка, без возвращения и с учетом порядка, а также без возвращения и безучета порядка удовлетворяют классическому определению вероятности.
Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано втеоремах 4, 2, 3 и равно, соответственно,
Четвертая же схема — схема выбора с возвращением и без учетапорядка — имеет заведомо неравновозможныеисходы.
Пример6. Рассмотрим, скажем, выбор двух шариков из двух или, что то жесамое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится 4,и все они равновозможны, то есть имеют вероятность по 1/4:
(герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).
Если порядок не учитывать, то следует объявить два последнихисхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить три исхода вместочетырех: выпало два герба, либо две решки, либо один герб и одна решка.
При этом первые два исхода имеют вероятность 1/4, апоследний — вероятность 1/4+1/4=1/2.Гипергеометрическое распределение
Пример7.
n1 белых и n-n1 чёрных шаров, наудачу, безвозвращения вынимают kшаров, k
Заметим, что при k1> n1 или k — k1> n-n1 искомая вероятность равна 0, таккак соответствующее событие невозможно. Пусть k1
1. Выбор безучета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящегоиз n элементов, то есть (по теореме 3).
Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти. Событию Aблагоприятствуетпоявление любого набора, содержащего k1 белыхшаров и k — k1 черных.
Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме1) числа способов выбрать k1 белыхшаров из n1 и числа способов выбрать k — k1 черных шаров из n — n1:
Вероятность события Aравна:
2. Выбор с учетомпорядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить n элементов на k местах (по теореме 2).
При подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть, как число способоввыбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти шары среди k. Можно, скажем,посчитать число способов выбрать k1мест среди k (равное k1 местах n1 белыхшаров (равное — не забывайте проучет порядка!), и затем число способов разместить на оставшихся k — k1 местах n — n1 черных шаров (равное
В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k1 белых и k-k1черных шаров вероятность получитьэтот набор при выборе kшаров из урны, содержащей n1белых и n-n1черных шаров:
Определение 8. Соответствиеили следующий набор вероятностей
Называется гипергеометрическимраспределением.Раздел 2. Геометрическая вероятность2.1 Что это такое
Ω в Rm ,(на прямой, на плоскости, в пространстве).Предположим, что «мера» Ω (длина,площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит втом, что мы наудачу бросаем в эту область точку а.Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть А Í Ω не зависит от формы или расположения А внутри Ω, а зависитлишь от «меры» области.
Определение 9. Экспериментудовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если егоисходы можно изобразить точкаминекоторой области Ω в Rmтак, что вероятность попадания точки в любую А Í Ω не зависитот формы или расположения А внутри Ω, а зависит лишь от меры области А (и,следовательно, пропорциональна этой мере):
«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.
Если для точки, брошенной в область Ω,выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, чтоточка равномерно распределена в области Ω.
Пример8. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точкепопасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из однойточки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не являетсяневозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.2.2 Задача о встрече
Пример9. Два лица Х и У условились встретиться в определенном месте между двумя итремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чегоуходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них можетприйти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?
Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть ξ («кси») и η («эта») —моменты прихода Хи У (точки отрезка[0,1]).Все возможные результаты эксперимента — множество точек квадрата со стороной1:
Ω = {( ξ,η): 0 £ξ £1 0 £η £1 }=[0,1]x[0,1]
Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. Приэтом благоприятными исходами являются точки множества A= {( ξ, η):│ξ — η│ £1/6 } (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что Х и Увстретятся.
Тогда вероятность встреч и равна2.3 Задача Бюффона
Пример10. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг отдруга на расстоянии 2a. На плоскостьнаудачу брошена игла длины 2lхÎ[0, a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, аφÎ[0, π] —
угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множествовозможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки изпрямоугольника Ω= [0,π]x[0,a]. Иглапересекает ближай