Обзор некоторых элементарных функций
Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция. Это функция вида />. Число />называется угловым коэффициентом, а число /> -- свободным членом. Графиком />линейной функции служит прямая на координатной плоскости />, не параллельная оси />.
Угловой коэффициент />равен тангенсу угла />наклона графика />к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси />.
/>
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция. Это функция вида />(/>).
Графиком />квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси />. При />вершина параболы оказывается в точке />.
/>
Рис.1.9.Парабола />(/>)
В общем случае вершина лежит в точке />. Если />, то «рога» параболы направлены вверх, если />, то вниз.
/>
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке />(/>)
3. Степенная функция. Это функция вида />, />. Рассматриваются такие случаи:
а). Если />, то />. Тогда />, />; если число /> -- чётное, то и функция /> -- чётная (то есть />при всех />); если число /> -- нечётное, то и функция /> -- нечётная (то есть />при всех />).
/>
Рис.1.11.График степенной функции при />
б). Если />, />, то />. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для />: если /> -- чётное число, то и /> -- чётная функция; если /> -- нечётное число, то и /> -- нечётная функция.
/>
Рис.1.12.График степенной функции при />
Снова заметим, что />при всех />. Если />, то />при всех />, кроме />(выражение />не имеет смысла).
в). Если /> -- не целое число, то, по определению, при />: />; тогда />, />.
/>
Рис.1.13.График степенной функции при />
При />, по определению, />; тогда />.
/>
Рис.1.14.График степенной функции при />
4. Многочлен. Это функция вида />, где />, />. Число />называется степенью многочлена. При />и />многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При />и />( />) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае />; при чётном значении степени />характерный вид графика таков:
/>
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при />
или таков:
/>
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при />
а при нечётном значении степени /> -- таков:
/>
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при />
или таков:
/>
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при />
5. Показательная функция (экспонента). Это функция вида />(/>, />). Для неё />, />, />, и при />график имеет такой вид:
/>
Рис.1.19.График показательной функции при />
При />вид графика такой:
/>
Рис.1.20.График показательной функции при />
Число />называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция. Это функция вида />(/>, />). Для неё />, />, />, и при />график имеет такой вид:
/>
Рис.1.21.График логарифмической функции при />
При />график получается такой:
/>
Рис.1.22.График логарифмической функции при />
Число />называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Функция синус: />. Для неё />; функция периодична с периодом />и нечётна. Её график таков:
/>
Рис.1.23.График функции />
8. Функция косинус: />. Эта функция связана с синусом формулой приведения: />; />; период функции />равен />; функция />чётна. Её график таков:
/>
Рис.1.24.График функции />
9. Функция тангенс: />(в англоязычной литературе обозначается также />). По определению, />. Функция />нечётна и периодична с периодом />;
/>
то есть />не может принимать значений />, />, при которых />(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
/>
Рис.1.25.График функции />
10. Функция котангенс: />(в англоязычной литературе также />). По определению, />. Если />( />), то />. Функция />нечётна и периодична с периодом />;
/>
то есть />не может принимать значения вида />, />, при которых />обращается в 0.
/>
Рис.1.26.График функции />
11. Абсолютная величина (модуль): />, />. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки />до точки 0:
/>
Функция />чётная, её график такой:
/>
Рис.1.27.График функции />
12. Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости />расстояние />от точки />до точки />определяется по формуле />(по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
/>
Эта функция имеет область значений
/>
График её ограничения на круг />построен в примере 1.8.
Аналогично, расстояние />в пространстве />от точки />до точки />определяется по формуле />и задаёт функцию
/>
Эта функция имеет ту же область значений
/>
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия. Функция />, задаваемая формулой
/>
где />, /> -- фиксированные числа, а />, называется арифметической прогрессией. Число />называется при этом первым членом прогрессии, а число /> -- разностью прогрессии. Функцию />можно представить как ограничение на множество натуральных чисел />линейной функции />с угловым коэффициентом />и свободным членом />. Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:
/>при />
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием />.
/>
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия. Функция />, задаваемая формулой
/>
где />, /> -- фиксированные числа, а />, называется геометрической прогрессией. Число />называется при этом первым членом прогрессии, а число /> -- знаменателем прогрессии. Функцию />(при />, />) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел />показательной функции с основанием />, умноженной на постоянный коэффициент />, то есть функции
/>
/>
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:
/>при />