Частотний (спектральний) описдетермінованих сигналів
Вступ
Широкозастосовуваним математичним способом для дослідження радіотехнічних сигналів такіл є розкладання складної функції у неперервну чи дискретну послідовністьпростіших, елементарних функцій. Це пояснюється тим, що для значної кількостікіл справедливий принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким проходженняскладного сигналу через коло аналізують, розглядаючи окремо проходження кожноїйого елементарної складової, а відтак, додаючи на виході всі складові,визначають результуючий вихідний сигнал. Крім того, дуже часто розглядаютьзавдання формування складних сигналів із більш простих, елементарних сигналів.
Завданняапроксимації, тобто наближеного подання складної функції сукупністюелементарних функцій на певному часовому інтервалі найчастіше розв'язують,виходячи з умови забезпечення мінімальної середньоквадратичної похибки. Аналізпоказує, що апроксимацію складного сигналу із заданою точністю можназабезпечити мінімальною кількістю членів розкладу, якщо вибрати елементарніфункції так, щоб вони були попарно ортогональні на даному часовому інтервалі.
Представленняскладної функції у вигляді нескінченного ряду взаємо-ортогональних функційназивається узагальненим рядом Фур’є.
Яксистеми ортогональних функцій можна використати тригонометричні функції кратнихаргументів, поліноми Ерміта, Лежандра, Чебишева, функції Бесселя та інші. Системиортогональних функцій часто вибирають, виходячи з можливості практичноїреалізації (генерування) елементарних складових. Достатньо просто реалізуютьсяна практиці гармонічні функції – синусні (косинусні) коливання, що й зумовилошироке застосування їх для розкладання складних коливань.
Сукупністьусіх елементарних сигналів, які в сумі утворюють заданий складний сигнал,називають спектром сигналу у вибраному базисі елементарних сигналів.
1 Спектральний опис періодичнихсигналів
Приймемо,що складний сигнал (напруга, струм, заряд, напруженість поля тощо) описуємофункцією />, який змінюється періодичноз частотою /> де/> – періодповторення.
Відомо,що якщо функція /> задовольняє умови Діріхле,тобто протягом періоду вона має скінченну кількість розривів першого роду, атакож скінченну кількість максимумів та мінімумів і задовольняє умовуабсолютної інтегрованості
/>
товона може бути представлена рядом Фур’є у так званій тригонометричній формі в базисі ортогональних гармонічнихфункцій з кратними частотами:
/> (1а)
або в більшкомпактній формі:
/> (1б)
де/> – постійна складова (середнє значеннясигналу за період);
/> та /> – амплітуди косинусних та синуснихскладових розкладу
/>-гопорядкового номера;
/>, /> – амплітуда та початкова фаза />-ої гармонічноїскладової.
Цівеличини визначають виразами:
/> (2)
/> (3)
/> (4)
Амплітуду/> та початкову фазу /> />-ої гармонічної складової визначають через /> та />:
/> (5)
/> (6)
Зауважимо,що практично всі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиціпри розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.
Із виразів (1a, б) випливає, що спектр складногоперіодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової A0та нескінченної кількостігармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень />, кратних основній частоті />. Ці складові називають гармонікамиперіодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називаютьдискретним або лінійчастим.
Гармоніку,яка відповідає номерові />, називають першою або основноюгармонікою. При /> маємо другу гармоніку, при /> – третю і т.д. Амплітуди відповіднихгармонік дорівнюють />, їх початкові фази – />. Постійну складову також можнарозглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою, що дорівнює />.
Узагальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різніамплітуди та початкові фази. Щоб отримати наочне уявлення про спектр,використовують графічне представлення спектра у вигляді двох спектральнихдіаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові по oсі абсцис відкладають частоту абономер гармоніки, а по осі ординат – відповідно величини амплітуд /> гармонік та їх початкові фази />.
Ha рис. 1 подані приклади амплітудної (а) тафазової (б) спектральних діаграм деякого періодичного коливання.
/>
Рисунок 1 – Спектральні діаграми амплітуд (а) тафаз (б) періодичного сигналу
Зовнішнійвигляд спектральних діаграм пояснює, чому спектр періодичної функції називаютьлінійчастим. Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про «ширину»спектра, тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.
Із спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусіднімигармоніками по осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) дорівнюєзначенню частоти /> основної гармоніки періодичногосигналу. Це означає, що зі збільшенням частоти повторення сигналу віддаль міжлініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміначастоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, щовипливає з виразів (3)–(5).
Аналізвиразів (2)–(4) показує, що якщо функція /> є парною (тобто />), то при тому всі коефіцієнти />. Це означає, що в ряд Фур’є входять лише косинусніскладові і постійна складова:
/> (7)
а початкові фазивсіх гармонік дорівнюють нулеві.
Якщо ж функція /> є непарною (тобто />), то в цьому разі дорівнюють нулевіпостійна складова та всі коефіцієнти /> та, як випливає з (6), початковіфази всіх гармонік дорівнюють – 380.
Ряд Фур'є має вигляд:
/> (8)
Розглянемо приклади визначення спектрів деяких поширенихперіодичних сигналів.
Періодична послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою A та тривалістю />, які повторюються з частотою /> (див. рисунок 14a), причому />. При вибраній системі відліку часуфункція /> є парною, тому її спектрскладається лише з косинусних складових та постійної складової.
Постійна складова сигналу:
/> (9)
Амплітудигармонік дорівнюють амплітудамкосинусних складових:
/> (10)
Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:
/> (11)
Амплітудигармонік залежать від величини /> а їх початкові фази визначає знакфункції />
/>/>
Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутнихімпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні />
Із виразу (10)бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:
/>. (12)
Длявипадку, що його розглядаємо (/>), із (12) одержуємо:
/> (13)
тобточетверта, восьма, дванадцята і т.д. гармонікиматимуть нульову амплітуду.
Сусідніспектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює />, про що згадано раніше. Ізвиразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях /> значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількістьгармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичнихрозрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітудияких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутнихімпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот відω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далібуде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадкудуже малих співвідношень />, що трапляється, наприклад, урадіолокаційній техніці, де />= 1/200...1/2500, амплітуди сусідніхгармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях /> можна наближено записати :
/> (14)
Цеозначає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки ітому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.
Періодичнийсигнал пилкоподібної форми з періодом /> та амплітудою A (див. рис.2).
Bінтервалі /> функція /> непарна, тому її спектр складаєтьсялише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):
/> (15)
РядФур'є даного коливання має вигляд:
/> (16)
Із(15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіхнепарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.
2 Комплексна форма опису ряду Фур’є
Порядіз тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішукомплексну форму, до якої можна перейти від (1 а, б), використавши формулу Ейлера:
/>. (17)
/>/>
Рисунок3 – Періодичний сигналпилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри
Справді, зурахуванням (17) записуємо:
/> (18)
Величину
/> (19)
прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початковуфазу даної гармоніки.
Величину: /> називають комплексноспряженою з /> величиною.
Тепер вирази (1a, б) можна записати так:
/> (20)
Отриманий вираз єкомплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як задодатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний рядФур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичногосенсу. Вони з’являються як результатформального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.
Комплексніамплітуди /> можнавизначити на підставі функції /> за формулою:
/> (21)
Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок міжвеличинами /> та Ck і Sk, які описуємо виразами (3), (4):
/>. (22)
Зауважимо, що длявід’ємних значень /> /> Для /> /> де A0 визначаємо виразом (2).
Формули (20) та(21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначитисигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо заданафункція />, яка описує сигнал.
3 Спектральнийопис імпульсних сигналів
Приймемо, щозаданий сигнал /> має форму одинокого імпульсу(див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі />.
Крім того, функція/> задовольняє умови Діріхле вбудь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто
/>
Для проведенняспектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію /> у періодичну /> повторенням її з довільнимперіодом /> (рис.16б). Отриману періодичну функцію /> можна розкласти в ряд Фур’є,причому коефіцієнти ряду Фур’є /> будуть тим менші, чим більшийбуде вибрано інтервал /> як період. Це випливає з виразів(2)–(4). Якщо період /> збільшувати до нескінченності, товсі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лишепервинний імпульс />.
/>/>
Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б)імпульсні сигнали однакової форми
Отже, /> (23)
Збільшуючиперіод /> донескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічнихскладових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію />, задану в інтервалі />
Кількістьгармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченновелика, тому що при /> основна частота функції />. Це означає, що віддаль по осі частотміж спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основнійчастоті />)стає нескінченно малою, а спектр – суцільним.Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємосуцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік ізнескінченно малими амплітудами.
Виразимосказане раніше математично. Амплітуди косинусних та синусних складових k-ї гармоніки періодичного сигналу /> описуємо виразами:
/> (24a)
/> (24б)
де /> (25)
Якщо період T зростає до нескінченності, то вирази(24 а, б), (25) повинні зберігати свій сенс, проте частота /> прямуватиме до нуля, іїї необхідно замінити нескінченно малою величиною /> Крім того, добуток /> при /> очевидно, може набиратидовільних значень і буде неперервною (а не дискретною) функцією k. Тому величину /> слід розглядати якнеперервну змінну частоту />, яка змінюється від нуля донескінченності.
Ураховуючисказане, коефіцієнти Фур’є для нескінченно великогочасового інтервалу розкладу наберуть вигляду:
/> (26 а)
/> (26 б)
Із(26 a, б) випливає, що кожна синусна та косинусна складова маєнескінченно малу амплітуду.
Введемопозначення:
/> (27 а)
/> (27 б)
Тоді вирази (26a, б) відповідно набирають вигляду:
/> (28а)
/> (28б)
Співвідношення(27a, б) називають відповіднокосинус-перетворенням Фур’є та синус-перетворенням Фур’є.
Із(28a, б) також випливає, щорезультуючі амплітуди складових спектра на довільній частоті /> визначаємоспіввідношенням:
/> (29)
а їх початковіфази:
/> (30)
У виразі (29)введено позначення:
/> (31)
Як бачимо з (29), амплітуди dA(/>) є нескінченно малі, тому для описучастотних властивостей імпульсного сигналу використовують поняття спектральноїгустини. Слід відзначити, що спектральна густина – не спектр, а лишеспектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частотіенергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві.
Справді, із (29)отримуємо:
/> (32)
Цеозначає, що функція /> характеризує густину розподілуамплітуд складових суцільного спектра по частоті. Функцію /> називають модулемспектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, афункцію />,яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументомспектральної густини.
Отже,імпульсний сигнал /> – це сукупність нескінченноїкількості гармонічних складових із нескінченно малими амплітудами />, початковимифазами />,частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математичноможна записати так:
/> (33)
Розглянемоприклади визначення спектральної густини деяких поширених сигналів.
Одинокий імпульспрямокутної форми (рис. 17а), описуємо виразом:
/> (35)
Складові /> та /> модуляспектральної густини визначаємо на основі (27 а, б):
/>
/>
Отже, модуль тааргумент спектральної густини, згідно з (30), (31), описуємо виразами:
/> (36)
/> (37)
звідкибачимо, що модуль /> дорівнює нулеві, якщо аргументсинуса задовольняє умову:
/> (38)
Ця умовавиконується на частотах
/> (39)
Значення /> при /> знаходимо звиразу:
/> (40)
Отже, функція /> змінюєтьсязалежно від знаку /> Оскільки модуль спектральноїгустини є величина додатна, то зміна знаку враховується зміною аргументу /> на величину />. На рис. 5)зображено відповідно графіки модуля та аргументу спектральної густинипрямокутного імпульсу.
Із виразів(36)–(40) випливає, що вигляд модуля спектральної густини суттєво залежить відтривалості імпульсу /> зі зменшенням /> значення /> при яких функція /> стає рівноюнулеві, переміщаються по осі частот праворуч, спектральна густина стає більш„рівномірною”.
/>/>
Рисунок 5 –Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу
Експоненційнийімпульс (рис. 18) описуємо виразом:
/> (41)
Складові /> та /> визначаємо згідно з (27),використавши табличні значення відповідних інтегралів:
/>
/>
Модуль тааргумент спектральної густини описуємо виразами:
/> (42)
/> (43)
Графіки функцій G(/>) та /> зображені відповідно на рис. 6.
/>
Рисунок 6 –Експоненційний імпульс та його спектральні характеристики
4 Спектральна функція детермінованих сигналів
Широкогопоширення набула комплексна форма представлення спектральних характеристикімпульсних сигналів, яка часто є зручнішою та компактнішою при аналізісигналів.
Покажемо перехіддо комплексної форми. Для цього використаємо комплексну форму запису ряду Фур’є (20) і запишемо співвідношення (23):
/> (44)
У (44) враховано, що при Т/>кутова частота /> перетворюється у нескінченно малий приріст />, частота k-ї складової ряду k/>– у поточну частоту />, операція додавання переходить в операцію інтегрування. Крімтого, введено позначення:
/> (45)
Функція/> називається комплексною спектральноюгустиною або комплексною спектральною функцією.
Модулькомплексної спектральної густини |/>| характеризує густину розподілуамплітуд спектральних складових суцільного спектру по частоті ω, а їїаргумент />|/>| – фазовийспектр, про що було сказано раніше.
Формули(44) та (45) описують відповідно часове та спектральне представленняімпульсного сигналу і утворюють пару перетворень Фур’є. Формула (45) дає змогуздійснити пряме перетворення Фур’є і знайти комплексну спектральну густинуімпульсного сигналу s(t).
Символічнопозначимо пряме перетворення Фур'є так:
/> (46)
Формула (44) даєможливість здійснити зворотне перетворення Фур’є і визначити імпульсний сигналяк функцію часу, якщо задана його спектральна густина /> Символічно позначимо зворотнеперетворення Фур’є так:
/>[/>] = s(t). (47)
Спектральнугустину /> можнатакож подати в такому вигляді:
/> (48)
Із (48) випливає,що косинус-перетворення Фур'є описує дійсну частину комплексної спектральноїгустини /> асинус-перетворення – її уявну частину зі знаком мінус.
Порівняннявиразу для комплексної спектральної густини одиночного імпульсного сигналу (45)з виразом для комплексних амплітуд пepioдичної послідовності імпульсів (21) показує, що їх значеннядля частот /> відрізняютьсяміж собою лише множником 2/T. Це означає, що справедливе таке співвідношення між комплекснимиамплітудами k-хгармонік періодичного сигналу та значеннями комплексної спектральної густини /> – для частот,які відповідають частотам цих гармонік:
/> (49)
де/> – частотаповторення періодичного сигналу.
Співвідношення (49)можна записати так:
/> (50)
/> (51)
Отже,модуль спектральної густини одиночного імпульсу та обгинаюча лінійчастогоамплітудного спектра періодичної послідовності таких самих імпульсів збігаютьсяза формою і відрізняються лише масштабом, аргумент спектральної густинизбігається з обгинаючою лінійчастого фазового спектра даного періодичногосигналу.
Сказанеілюструє рисунок 7, на якому зображені одиночний прямокутний імпульс, модульйого спектральної густини, періодична послідовність імпульсів та її лінійчастийамплітудний спектр.
Іззбільшенням періоду T віддальміж спектральними лініями на рис.19 та коефіцієнти /> зменшуються, але так, щовідношення /> залишаєтьсянезмінним.
Комплекснуфункцію /> якахарактеризує залежність спектра сигналу лише від його форми, називаютьспектральною функцією. Зїї допомогою наоснові співвідношень (50),(51) можнавизначити амплітудний та фазовий спектри сигналу незалежно від частоти його повторення.
/>/>/>
Рисунок7 – Спектральні характеристики одиничного прямокутного імпульсу та періодичноїпослідовності подібних імпульсів