Физический анализ магнитно-резонансных томографов
1 Физические основы магнитно-резонанснойтомографии
Магнитно-резонансная томография(МР-томография) основана на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР).Рассмотрим его сущность, пользуясь в основном представлениями классическойфизики. Как известно, ядра атомов состоят из протонов и нейтронов, которыевращаются вокруг своей оси. Поэтому они обладают собственным количествомдвижения – спином s. Протоны имеют заряд, при их вращении образуется ток и магнитный момент
m0 = gs, (1)
где />g — гиромагнитное отношение; дляпротона гиромагнитное отношение равно 2p´42,6 МГц /Тл.
Больше всего вживом организме содержится атомов водорода, ядра которых состоят из одногопротона. По законам квантовой механики в ядрах атомов спины каждых двухпротонов имеют противоположные направления и взаимно уничтожаются. Такимобразом, у ядер с четным количеством протонов суммарный спин, а значит имагнитный момент, равен нулю. Поэтому, к сожалению, в МР-томографии нельзяиспользовать ядра углерода и кислорода, которых также очень много в организме ираспределение которых могло бы дать ценную информацию. Ориентация спинов и магнитныхмоментов атомов вещества и их поведение зависят от действия внешних магнитныхполей. В исходном состоянии спины и моменты ориентированы хаотично, ирезультирующая намагниченность вещества незначительна. Однако в достаточносильном магнитном поле В0 большое число спинов ориентируется вдольнаправления магнитного поля. При этом спин подобен магнитной стрелке. Правда, вотличие от нее некоторые спины ориентируются в противоположном направлении, ноих меньше.
/>
Рисунок 1. Действие наспины ядер магнитных полей.
Если на образец веществаподействовать переменным магнитным полем H1(t), направленнымпоперечно к полю В0, то спины ядер при определенных условиях могутотклониться от направления В0и прецессировать вокруг него, какволчки, если их слегка толкнуть. Для этого частота переменного магнитного поляи индукция постоянного магнитного поля должны быть связаны равенством Лармора.
w0= gВ0. (2)
Частота v0называется частотой ядерного магнитного резонанса(она называется также ларморовой). Отсюда следует, что при магнитной индукции В0= 1 Тл частота ЯМР протона будет равна
/>= 42,6 МГц.
Если же индукция будет равна 0, 12Тл, то частота ЯМР для протонов составит 5 МГц. Как видим, эти частоты лежат вдиапазоне коротких радиоволн, которые считаются безвредными. И только в оченьсильных магнитных полях (до З Тл) частота ЯМР может быть достаточно большой –120 МГц. Но электромагнитные колебания и такой частоты еще не причиняютзаметного вреда, особенно учитывая, как увидим далее, их малое времявоздействия.
Импульс H1(t) называютвысокочастотным, или радиочастотным (РЧ), импульсом. По его окончании спиныядер возвращаются в исходное состояние. Этот процесс называется релаксацией.При этом ядра излучают электромагнитные колебания, которые могут бытьзарегистрированы с помощью специальных антенн – РЧ катушек. Для этого могутиспользоваться те же катушки, которые излучают поле H1(t) или другие.Величина эхо-сигнала определяется макроскопической намагниченностью объекта,которая складывается из магнитных моментов отдельных ядер. Вектор макроскопическойнамагниченности также прецессирует вокруг направления В0. Следует отметить,что прецессия магнитных моментов имеет место и при отсутствии РЧ поля Н1,так как всегда есть какие либо флуктуации магнитного поля. Однако эта прецессиянезначительна.
Выберем систему координат, в которойось z направим вдоль поля В0, аось x – перпендикулярно плоскости РЧ катушек(рис.2). Вектор М0будет иметь
/>
Рисунок 2. Составляющиевектора результирующей намагниченности.
продольную составляющую Mz и поперечную Мху, котораявращается с угловой частотой w0. При этомв РЧ катушках будет наводиться электрический сигнал в виде затухающих колебанийтакой же частоты и с амплитудой, пропорциональной Мх.
В процессе релаксациипродольная намагниченность возрастает до исходного значения М0, апоперечная убывает до нуля. В однородных средах, (например, дистиллированнаявода) скорости изменения продольной и поперечной намагниченности одинаковы, а внеоднородных они могут сильно отличаться. Релаксация происходит за счетрассеяния энергии ядер во время свободной прецессии вследствие различныхвзаимодействий между собой и ядрами атомов, не участвующими в ЯМР.
Для скорости релаксациипоперечной намагниченности особое значение имеют фазы спинов отдельных ядер. Вовремя действия РЧ импульса спины всех ядер прецессируют синхронно и синфазно.После окончания импульса начинается убывание поперечной намагниченности,называемое спадом свободной индукции (ССИ). При этом из-за влияния соседнихатомов и молекул и неоднородности постоянного магнитного поля В0происходит расфазировка спинов, что особенно заметно в сложных соединениях,образующих жиры и мышечные ткани. По этой причине, даже при одинаковомизменении поперечных проекций магнитных моментов отдельных ядер, макроскопическаяпоперечная намагниченность убывает значительно быстрее, чем растет продольная.Это поясняет рис.3, где показаны взаимные положения трех элементарных магнитныхмоментов m0через некоторые равные интервалы времени. В четвертомслучае элементарные моменты расположены под углами 120о, поэтомусуммарная поперечная намагниченность равна нулю.
/>
Рисунок 3. Поперечная ипродольная релаксации.
Продольная и поперечнаянамагниченности Mz и Mxy изменяются приблизительно поэкспоненциальному закону но с разными постоянными времени Т1 и Т2:Т1 > T2. На рис.3 показан случай,когда угол отклонения вектора начальной намагниченности М0от оси z после воздействия РЧ импульсасоставил 90о.
В табл. 1приведены времена Т1 и Т2 для некоторых типов тканейголовного и спинного мозга; r — процентное содержание воды в соответствующихтканях. Как видно из таблицы, различные ткани мозга заметно отличаются своимипостоянными Т1 и Т2. Эти постоянные имеют большиеабсолютные значения в ликворах и крови. В белом и сером веществе мозга онисильно отличаются (Т1>> T2). Величина Т1 с ростоммагнитной индукции В0увеличивается.
Начальная намагниченностьМ0 и постоянные релаксаций Т1 и Т2 являютсяважнейшими информационными параметрами, от которых зависит изображение — МР-томограмма. Величина М0характеризует среднюю по ансамблюплотность ядер, участвующих в ЯМР, а Т1 и Т2 являютсялокальными характеристиками, определяемыми составом веществ отдельных участков.В конечном итоге от величин М0, Т1 и Т2зависит напряжение или фаза электрического сигнала, наводимого в антенне, покоторым и производится реконструкция изображения сечения.
Таблица 1.Постоянные релаксаций Т1 и Т2.Ткань мозга Индукция магнитного поля В0, Тл Т1, мс Т2, мс r, %
Серое
вещество
Белое
вещество
Ликвор
Жир
Кровь
0,5
1,0
1,0
1,5
1,0
1,5
0,5
1,0
1,5
650
800
680
783
2200
2500
210
240
2100
100
100
92
92
900
1400
84
84
1250
87
77
99
80
80
2. Уравнение Блоха
Уравнение Блоха является основой дляанализа электромагнитных процессов, возникающих при ЯМР. Оно получено изфеноменологических представлений (не физических) и хорошо описывает поведениемакросистемы в магнитном поле. Это уравнение имеет вид
/>. (3)
Член /> отражаетнезатухающую прецессию (ротацию), где произведение/> пропорциональноw, т.е. 1/t; векторная сумма /> -поперечная намагниченность; Т1 и Т2 — постоянные временипродольной и поперечной релаксаций. Форма второго и третьего слагаемыхуравнения Блоха говорит о том, что процесс релаксации предполагается экспоненциальным.Это допущение справедливо для жидкостных сред (ликворов), однако являетсявесьма приближенным для жиров, серого и белого вещества мозга и совсем далекоот истины для твердых образований, у которых Т1 и Т2очень малы.
Положим, что Т1 и Т2весьма велики. Тогда вторым и третьим членами в уравнении (3) можно пренебречь.Допустим также, что Н = Н0и Н = kН0. Тогда уравнение Блоха примет вид
/> . (4)
Начальные значения составляющих Мобозначим как />. Представим М ввиде />, где i, j, k – орты, и выполним перемножение векторов согласно правилу,которое записано в виде таблицы.
Сравнивая левые и правыечасти в (4), находим
/>. (5)
Решим систему (4.5), положив />. Знак «минус»здесь необходим для правильного отражения действия градиентных полей, в чем убедимся далее.Дифференцируя первое уравнение системы (5), с учетом второго получаем
/> или />./>
Это уравнениенезатухающих колебаний, решение которого с учетом начальных условий можнозаписать в виде/>
/>./>
Полное решение системы(5) будет иметь вид
/>,
/>, (6)
/>.
При учете в уравненииБлоха членов, содержащих Т1 и Т2 первое и второеуравнения системы (6) следует умножить на exp(-t/T2), а третье уравнение примет вид
/>.
Из этой формулы видно,что продольная намагниченность является апериодической неосциллирующейфункцией.
Поперечнуюнамагниченность можно представить в компактной комплексной форме
/> или />,(7)
где /> , />.
Чтобы понять, какосуществляется управление прецессией, кратко рассмотрим устройство и действиемагнитной системы МР-томографа (более подробно речь о ней пойдет впереди). Онапредставляет собой сложную конструкцию и состоит из главного магнита,градиентных, корректирующих и радиочастотных катушек. Главный магнит служит длясоздания сильного и однородного магнитного поля. Он может быть выполнен в видесоленоида с током (резистивный магнит). При больших индукциях (свыше 0,5 Тл)потери в таком магните становятся чрезмерно большими. В этом случае применяютсверхпроводящие (криогенные) магниты, охлаждаемые жидким гелием. Их стоимостьочень велика, но зато диагностические возможности МР-томографов с такимимагнитами намного выше. Применяют также постоянные магниты со слабым полем(0,1- 0,15 Тл).
Корректирующие катушкисоздают слабые постоянные магнитные поля, предназначенные для компенсациинеоднородностей поля главного магнита, которая должна быть не более 10-6.
Градиентные катушкиосуществляют управление процессом выбора и сканирования сечения. При изменениитока в этих катушках очень незначительно меняется основное поле исоответственно изменяется ларморова частота в отдельных точках пространства.Градиентных катушек три: соответственно для создания градиентных полей по осям x, y и z.Особенностью градиентных полей является то, что векторы их напряженностей влюбой точке направлены параллельно оси z, т.е. вдоль оси главного магнита, а их абсолютные значениялинейно зависят от соответствующей координаты (рис.4).
/>
Рисунок 4. Поляградиентов.
При действии градиентныхполей результирующее поле будет равно
/> или />,
где r- обобщенная координата точки.Градиенту G(r) соответствует ларморова частота
w(r) = g(H0+Gr), а величина M(t,r) будет определяться выражением, аналогичным (7):
/>. (8)
Если формироватьстатический градиент G вовремя наблюдения сигнала, частота колебаний намагниченности начинает зависетьот r. Эта пространственная зависимостьсказывается на характере выходного сигнала. Если сформировать градиентный импульсмалой длительности t (t
/>. (9)
Величину /> в (9) можно рассматриватькак изменение фазы колебания с частотой w0.Рассмотрим теперь действие ВЧ магнитного поля H1(t) при наличииполя главного магнита. Как было сказано ранее, это поле возбуждается РЧкатушками в поперечном направлении. Будем считать, что оно направлено вдоль осих и запишем его в виде />. Такоеполе называют линейно поляризованным. Его можно записать в тождественной форме
/>+/>.
Это выражениепредставляет собой сумму полей с круговой поляризацией с разным направлениемвращения. Причем, при выборе g со знаком «минус» в уравнении Лармора (w = -gН), вторая составляющая практически не влияет напрецессию ядер и ею можно пренебречь. Таким образом,
/>.
Это поле называетсяэффективным.
Пусть время действия РЧимпульса намного меньше самой малой постоянной релаксации (минимальное время Т2тканей составляет 40 мс). Тогда уравнение Блоха будет иметь вид
/>,
где /> />+/>, H = H0+ h, h = Gr – вклад градиентной системы. Сучетом правила перемножения векторов найдем
/> — />,
/>, (10)
/>.
Для упрощения решенияэтой системы введем вращающуюся систему координат i¢, j¢ и k¢= k, которая вращается с частотой прецессии, т.е. синхронно свектором намагниченности. При этом одна из проекций может быть равной нулю илиоказаться постоянной величиной. Преобразование проекций поясняется с помощьюрис.5./>
/>
Рисунок 5. Преобразованиекоординат
С помощью зависимостей(11), используя уравнения системы (10), можно получить уравнения длявращающейся системы координат
/>
/>, (12)
/>.
Положим в системе (12) w = w0. Учитывая w0= – gН0, имеем gН + w0= g(Н0+h) – gH0= gh. Здесь проявляется необходимость введения знака " минус" вуравнении Лармора. Иначе бы gН + w0» 2w0. Рассмотримчастный случай статического поля (h =0) и воздействия ВЧ поля H1(t). В этом случае система (12) примет вид
/> />, />. (13)
Величина /> имеет размерность угловойчастоты. Обозначим />. Тогда решениямиуравнений (13) будут
/> (14)
Из соотношений (14)видно, что вектор намагниченности вращается вокруг оси i’ c угловойскоростью />. Это вращение относительномедленное и называется нутацией. Угол нутации равен /> или/>, t — время действия РЧ импульса H1(t). (15)
Таким образом, уголнутации зависит от величины и времени воздействия РЧ импульса. Траектория векторанамагниченности при этом подобна раскрывающемуся вееру (рис.6).
/>
Рисунок 6. Нутациявектора намагниченности.
Наиболее часто применяютРЧ импульсы, которые приводят к повороту вектора намагниченности на 90ои на 180о (90о — и 180о — импульсы).