ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
РЯЗАНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра РТС
«Синтезчастотных характеристик линейных систем автоматического регулирования»
Выполнил ст. гр. 511
Шмелёв А.О.
Проверил
Гришаев Ю.Н.
Рязань 2008
Задание
логарифмическаячастотная разомкнутая система
1. Построить логарифмические частотные характеристикиразомкнутой системы по заданным показателям качества.
2. Определить по построенным ЛАХ и ЛФХ запасыустойчивости по усилению и по фазе.
3. Записать передаточную функцию разомкнутой системы попостроенной ЛАХ.
4. Рассчитать и построить АЧХ замкнутой системы.
Исходные данные
1. Постоянная ошибка: по укорению (δст/х0)·102=0,5
2. Частота среза: ωср(2+n)·10-2=3, где n=1
3. Логарифмическийкоэффициент передачи L01 на частоте 0.1ωсрне менее 26дБ.
4. Запас устойчивости по фазе Δφ±100=400
5. Постоянные времени обязательныхинерционных звеньев: Тин1·104=7, Тин2·105=3
6. Частота гармонической помехи (ωп/ωср)·10-2=3
7. Коэффициент подавления помехи Lп не менее 80дБ
Построение ЛАХ и ЛФХразомкнутой системы
ПостроениеЛАХ начинается с низкочастотной асимптоты. Т.к. задана статическая ошибка тосистема будет статической, наклон ЛАХ для низкочастотной асимптоты будетнулевым и ошибка определяется выражением δст= х0/(1+k).
(δст/х0)·102=0,5=>δст/х0=0,5*10-2 – относительная ошибка
k= х0/ δст -1 =2*102 -1=199 — коэффициент передачиразомкнутой системы
L1=20lg(k)=20lg(199)=46 –логарифмический коэффициент передачи разомкнутой системы
Т.е.низкочастотная асимптота проводится через т.(1;46) параллельно оси частот.
Дляобеспечения требуемого запаса устойчивости по фазе требуется, чтобы ЛАХпересекала ось частот под наклоном -20дБ/дек на частоте среза.
ωср(2+n)·10-2=3=> ωср=300/3=100рад/с
Построенныеучастки ЛАХ соединяются прямой линией под наклоном -40дБ/дек, при этом дляобеспечения п.3 исходных данных выбираем ωс1=5рад/с, тогдат.(10;26) (т. (0.1ωср ;L01)) пройдёт нижепрямой с нулевым наклоном.
Сопрягающуючастоту ωс2 выбираем из условия запаса устойчивости по фазе Δφ±100=400(т.к. последующие типовые и обязательныеинерционные звенья будут вносить дополнительный фазовый сдвиг): ωс2=ωср /2=50 рад/с .
Построенная ЛАХсформирована последовательным соединением следующих типовых звеньев:безынерционным k(p)=199, двумя инерционными k(p)=1/(1+Т1р)2 и форсирующим k(p)=(1+ Т2p). Т.о. передаточная функция соединениятиповых звеньев будет иметь вид:
/>
ЛФХ полученнойпередаточной функции строится сложением ЛФХ отдельных звеньев.
Из рис видно, что присоединении таких типовых линейных звеньев, ЛФХ системы не попадает в заданныйинтервал устойчивости по фазе. Для обеспечения этого условия в систему вводитсядополнительное инерционное звено с сопрягающей частотой ωс3 лежащей выше частоты среза. Система с дополнительныминерционным звеном будет проходить внутри заданного интервала при ωс3=333рад/с.
Достраиваем ЛАХ и ЛФХсистемы с учетом введенного звена, обязательных инерционных звеньев, п.5исходных данных, и проверяем требование к подавлению гармонической помехи п.6 ип.7 исходных данных:
Тин1·104=7=> Тин1=7·10-4с => ωин1=1/Тин1=1.43·103рад/с
Тин2·105=3=> Тин2=3·10-5с => ωин2=1/Тин2=3.3·103рад/с
(ωп/ωср)·10-2=3=> ωп=ωср·3·102=100·3·102=30·103рад/с
Lп ≥ 80дБ
На рис видно, что т.( 30·103;-80)лежит выше ЛАХ разомкнутой системы, следовательно, требование к подавлениюгармонической помехи выполняется.
Определение запасовустойчивости
Проведем графически попостроенным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.
Запас устойчивости поусилению ΔL=24дБ.
Запас устойчивости пофазе Δφ=450.
Запись передаточнойфункции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ
При частотах близких к 0ЛАХ имеет нулевой наклони, значит, формируется безынерционным звеном спередаточной функцией k(p)=k. На ωс1 наклон изменяется на – 40 дб/дек –этот наклон обеспечивается 2 инерционными звеньями с k(p)=1/(1+Т1р)2 , Т1=1/ ωс1. С таким наклоном ЛАХ идёт доωс2, а потом наклон становится равным – 20 дб/дек. Изменениенаклона на + 20 дб/дек обеспечивается форсирующим звеном с k(p)=(1+Т2р), Т2=1/ ωс2.На ωс3 наклон изменяется на — 20 дб/дек и становится равным — 40 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т3р).На ωин1 наклон изменяется на — 20 дб/дек и становится равным- 60 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Тин1р).На ωин2 наклон изменяется на — 20 дб/дек и становится равным- 80 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Тин2р).
При построении ЛАХразомкнутой системы использовались типовые линейные звенья, поэтомупередаточная функция этой системы может быть записана как совокупность такихзвеньев.
/>,
где k=199
Т1=1/ωс1=1/5=0.2с,
Т2=1/ωс2=1/50=0.02с,
Т3=1/ωс3=1/333=0.003с,
Тин1=7·10-4с,
Тин2=3·10-5с.
/>
Расчет АЧХ замкнутойсистемы
Амплитудно-частотнаяхарактеристика замкнутой системы связана с частотными характеристикамиразомкнутой следующим соотношением:
/>
АЧХ и ФЧХ разомкнутойсистемы можно найти двумя путями. Во-первых, по построенным J1AX и ЛФХ разомкнутой системы и, во-вторых, по комплекснойчастотной характеристике разомкнутой системы.
Первый способ: По ЛАХнаходим значения Lp(ω) в диапазоне от 24 до 450рад/с, поЛФХ находим значения φр(ω) в этом же диапазоне. Переходимот логарифмического коэффициента передачи к обычному
/>
и строим АЧХ замкнутойсистемы по значениям Кз(ω) ω 24 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 450
Lp(ω) 20 15 10 6 4 3 2 1 -6 -9 -15 -20
Кр(ω) 10 5.6 3.2 1.9 1.5 1.4 1.3 1.1 1 0.5 0.4 0.17 0.1
φр(ω) -140 -144 -143 -140 -140 -140 -135 -135 -135 -140 -153 -162 -171
Кз(ω) 1.1 1.16 1.29 1.46 1.53 1.55 1.41 1.35 1.3 0.7 0.6 0.2 0.1
Второй способ: Подставимв передаточную функцию разомкнутой системы p=jω, получимкомплексную частотную характеристику
/>
её модуль будет равен:
/>
ФЧХ />ω 24 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 450 Кр(ω) 9.2 6.2 3.9 2.8 2.1 1.7 1.4 1.2 1.1 0.44 0.25 0.16 0.13 φр(ω) -135.9 -136.5 -135.6 -134.2 -133 -132.2 -131.7 -131.6 -131.7 -140.5 -151.9 -162.2 -166.8
Кз(ω) 1.1 1.13 1.19 1.26 1.32 1.35 1.33 1.3 1.28 0.6 0.32 0.2 0.15
/>
Генерированиенезависимых случайных процессов
/>
1. Сформируемлицевую панель в соответствии с методическим указанием к лабораторной работе.
Далеев окне BlockDiagram добавим недостающиеэлементы: структуру ForLoop и создадим элемент гистограммы.После чего соединим все элементы надлежащим образом. Установим количествоотсчетов равным 100 и запустим моделирование.
/>
/>
Произведемвычисление максимальной относительной ошибки вычисления вероятности дляразличного количества отсчетов N:
100,
1000,
10000,
100000
по следующей формуле: dмакс = | pi – ni/N|макс/ pi = | piN – ni|макс/ piN.
N=100
dмакс = | 10 –15|/ 10=0.5
N=1000
dмакс = | 100 –124|/ 100=0.24
N=10000
dмакс = | 1000 –945|/ 1000=0.065
N=100000
dмакс = | 10000 –10129|/10000=0.0129
/>
Считается, что N(количество экспериментов) и m(количество разрядов) должны находитьв следующем соотношении:
m = 3,3lgN + 1
Такая взаимосвязьобъясняется тем, что при увеличении количества разрядов необходимо увеличиватьколичество отсчетов. Иначе гистограмма распределения будет изрезанной и непозволит судить о распределении случайной величины с хорошей точностью.
2.Генерирование случайнойпоследовательности с законом распределения, отличным от равномерного, методомобратной функции.
Скопировали структуру For Loop – генератор равномерно распределенной случайнойпоследовательности. В переключателе вариантов установили “Нелинейноепреобразование”. В образовавшееся пустое поле вставили скопированную структуру For Loop. Внутри структуры For Loop cобрали блок-схему программы по формуле u= s(-2ln(1 — x))1/2.
Установили значение параметра всоответствии с вариантом – 0.5 и количество отсчетов – 1000.
Запустили моделирование. Составим таблицузависимости ni(x), pi(x),:x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
ni 87 194 243 198 137 90 38 9 2 2
pi 0.087 0.194 0.243 0.198 0.137 0.09 0.038 0.009 0.002 0.002
/> 0.087 0.281 0.524 0.74 0.859 0.949 0.987 0.996 0.998 1
/>
3.Генерирование случайныхпоследовательностей сложением равномерно распределенных случайныхпоследовательностей (количество складываемых случайных величин – от 2 до 6).
Добавим еще 6 вариантов: “Сумма двухравномерных”, “Сумма трех равномерных ”, “Сумма четырех равномерных ”, “Суммапяти равномерных”, “Сумма шести равномерных ”, “Нормированная сумма шестиравномерных”.
Для каждого варианта соберемсоответствующие схемы в структуре Case.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1)Сумма двух равномерных:
/>
2) Сумма трех равномерных
/>
3)Сумма четырех равномерных
/>
Полученные результаты объясняются тем, чтопроисходит сложение первых и вторых моментов случайных величин. Т.е. приувеличении суммы на одно слагаемое мат ожидание увеличивается на 0.5 (значениемат. ожидания для равномерной случайной величины диапазона 0-1) и десперсия также увеличивается на 1 (значение дисперсии для равномерной случайной величиныдиапазона 0-1).
4.Определение близости законараспределения нормированной суммы шести равномерно распределенных случайных величинк нормальному закону.
В окнах BlockDiagram и Front Panel добавим новые элементы,необходимые для решения поставленной задачи:
/>
/>
Списоклитературы:
1. Н.А. Виноградова,Я.И. Листратов, Е.В. Свиридов.«Разработка прикладного программного обеспечения всреде LabVIEW». Учебное пособие – М.: Издательство МЭИ, 2005.
2. http://www.automationlabs.ru/
3. http://digital.ni.com/
4. http://www.labview.ru/
5. http://ru.wikipedia.org/