Содержание
Основная часть
Выводы
Библиографический список
аномальное аппаратура оборудование радиосигнал
При регистрации, обработке и обмене данными всовременных измерительно-вычислительных и информационных системах потокисигналов искажены действием помех (шумов), природа возникновения которых различнаи зачастую носит случайный характер. Шумовая составляющая может содержать ианомальные значения. Для решения задачи выделения полезной составляющейнестационарного случайного процесса применяются различные классическиепроцедуры фильтрации, результаты которых зависят от наличия в исследуемомпроцессе аномальных значений.
Аномальными называют значения, резко отличающиесяпо величине и статистическим свойствам на фоне основной группы значенийреализации процесса. Природа возникновения и источники аномальных значенийразличны, это может быть импульсная помеха, кратковременные повышения уровняшумов на входах приемников, сбой в работе регистрирующей аппаратуры, отказоборудования, кратковременное внешнее воздействие на измерительный элемент,«залипание» разряда цифрового счетчика, атмосферные воздействия при передачерадиосигналов, индустриальные помехи и т.д.
До недавнего времени на практике для обнаруженияаномальных значений широко применялись ручные способы, основанные на визуальномпросмотре зарегистрированных реализаций нестационарных случайных процессов исравнение их с контрольными реализациями известной формы. Помимо субъективизмав критериях обнаружения аномальных значений, основанных, главным образом, наопыте и интуиции экспериментатора, подобные способы не допускают автоматизациипроцедур обработки исследуемых реализаций.
Для преодоления отмеченных недостатков, какпоказано в работах [1, 2], предлагается использовать теорию статистическихрешений, которая позволяет формализовать алгоритмы проверок и выбрать критерийобнаружения аномальных значений. Возможно применение как параметри-ческих, таки непараметрических методов теории решения. В первом случае необходиморасполагать априорными сведениями как о функции полезной составляющей, так и озаконе распределения шумовой составляющей, а также и о его параметрах(математическом ожидании, дисперсии, корреляционной функции). Использованиенепараметрических методов обработки требует значительно меньше априорнойинформации, но их эффективность определяется параметрами обработки, которые, всвою очередь, зависят от функции полезной и закона распределения шумовойсоставляющих процесса.
В связи с этим значительный интерес представляетразработка и исследование способа обнаружения аномальных значений при анализенестационарных случайных процессов, представленных единственной реализацией.
В работах [3, 4] представлен метод выделенияполезной составляющей нестационарного случайного процесса, который имеетвысокую эффективность в условиях априорной неопределенности. Суть методасостоит в размножении не самой реализации исходного процесса, а оценок,получаемых определенным образом. Автор работ [3, 4], основываясь на основныхпринципах метода размножения оценок, предлагает и метод обнаружения аномальныхзначений при анализе нестационарных случайных процессов. В работах [3, 4, 5, 6и др.] аналитически определены значения основных параметров метода обнаруженияаномальных значений и показана его эффективность при анализе как стационарных,так и нестационарных случайных процессов с аддитивной шумовой составляющей.
К одному из достоинств метода обнаруженияаномальных значений можно отнести также следующее: применение двухпороговогокритерия принятия решения об аномальности значения процесса позволяет получитьрезультаты, при которых с увеличением величины аномальных значений, выборочныезначения вероятности ошибки первого рода /> стремятся к минимальнымзначениям, в то время как выборочные значения вероятности правильногообнаружения /> стремятсяк максимальным значениям [4, 5, 6].
Наряду с достоинствами предлагаемого методаобнаружения аномальных значений, представленного в работах [4, 5], выявлено,что он обладает весьма существенными недостатками, одним из которых являетсязависимость порогового значения от некоторого постоянного коэффициента />. Правильныйвыбор коэффициента /> позволит повысить эффективностьобнаружения аномальных значений.
Поэтому в данной работе на основе проведенныхисследований предлагается модификация уже существующего метода обнаруженияаномальных значений, которая заключается в выборе правила определения коэффициента/> призадании порогового значения.
Модификация предлагаемого в работе способаобнаружения аномальных значений предполагает введение адаптации пороговогозначения относительно коэффициента /> при априорно фиксированномзначении вероятности ошибки первого рода />.
Предлагаемый в данной работе способ предполагаетналичие единственной дискретной реализации исследуемого нестационарногослучайного процесса />. Априорная информация обисследуемом процессе заключается в том, что на некоторых интервалах времениполезная составляющая процесса является гладкой функцией [6], т.е. достаточноточно описывается полиномом не выше второй степени:
/>. (1)
Реализация исследуемого процесса разбивается наинтервалы случайной длины, получаемые следующим образом: с помощью генератораслучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1), получают /> чисел />. Используя выражение/>,осуществляется взаимнооднозначное отображение промежутка (0;1) на интервалезначений исследуемого нестационарного случайного процесса />, получая при этом соответствующееразбиение числами /> промежутка /> на /> непересекающихсяинтервалов, где
/> , />. (2)
Вводятся обозначения для интервалов разбиения:
/>, />, …, /> .(3)
Каждый интервал разбиения /> /> содержит не менее /> отсчетов(минимальная длина интервала разбиения) исходного нестационарного случайногопроцесса из набора />, в противном случае случайныечисла, формирующие данный интервал разбиения />, отбрасываются и генерируютсязаново. Наличие этого условия означает, что />.
Для получения каждой новой оценки процедураразбиения отрезка /> на /> интервалов случайной длины (спроверкой выше указанного условия) повторяется. В результате получаем /> разбиенийвременного отрезка /> [7] .
/> /> … />
/> /> … />. (4)
/> /> … />
На каждом интервале разбиения />, где /> и />, с помощью методанаименьших квадратов находятся оценки />, />, /> коэффициентов аппроксимирующегополинома /> какрешение системы линейных уравнений:
/> (5)
где символ />означает суммирование по всем />-м значения,которые принадлежат интервалу разбиения /> и />, />.
Результатом действия способа будет набор определенныхна отрезке /> сглаживающихфункций />,где />,каждая из которых является «кусочно-квадратичной»:
/>(6)
где />, /> и />.
Определяются значения разности /> между исходнымнестационарным случайным процессом /> и оценкой сглаживающих функций />:
/>, />.(7)
При оценке параметров разностного процесса /> на каждом интервалеразбиения /> используетсяодин из методов робастного оценивания [8], т.е. оценка параметров математическогоожидания /> исреднеквадратического отклонения /> производится по />-усеченной выборке. Дляэтого на каждом интервале разбиения /> получаем ряд ранжированных значенийи оценку математического ожидания /> и среднеквадратическогоотклонения />,которая проводится без учета первого и последнего значения ранжированного ряда.Тогда выражения для оценок математического ожидания /> и среднеквадратическогоотклонения /> принимаютследующий вид [9]:
/> и />,(8)
где />.Далее на каждом интервалеразбиения исследуемого нестационарного случайного процесса устанавливается пороговое значение
/>, (9)
где /> – некоторый коэффициент, /> и />. Превышениезначений разностного процесса /> на каждом интервале разбиенияустановленного порогового значения (9) штрафуется, т.е. если выполняется условие:
/>, (10)
то /> получает одно штрафное значение.В соответствии с методом размножения оценок [4] вышеизложенная процедураопределения штрафов повторяется р раз и для каждого повторенияпроверяется условие (10) для каждого значения />, где />; />;/>; /> – объем выборки исследуемогонестационарного случайного процесса; /> – количество интерваловразбиения; />–количество повторений процедур (2)–(10).
Таким образом, происходит накопление рядаштрафных значений для элементов исходной реализации исследуемого процесса,т.е.:
/>, (11)
где />– ряд штрафных значений /> и />,/>.
По окончанию обработки для всех оштрафованныхзначений исходной реализации определяется суммарное значение штрафов /> и максимальноезначение ряда />. Далее проверяется условие: если
/>, (12)
то k-е значение из входной реализации нестационарного случайногопроцесса /> будеттрактоваться как аномальное. Условие (12) получено на основе проведенияимитационного моделирования при различных моделях полезной и шумовойсоставляющих нестационарного случайного процесса.
Для случая обнаружения аномальных значений в реализациинестационарного случайного процесса выбирать значение коэффициента /> только пооценкам среднеквадратического отклонения шумовой составляющей процесса являетсянецелесообразным, так как наличие аномальных значений существенно влияет напогрешность оценки полезной составляющей процесса и, как следствие, на оценкусреднеквадратического отклонения разностного процесса. Следует также отметить,что на каждом интервале разбиения значение коэффициента /> не может быть фиксированным.
В связи с этим предлагается ввести адаптациюпорогового значения о назначении штрафов (9) по коэффициенту /> относительно априорнофиксированного значения вероятности ошибки первого рода. С этой целью проведены исследования зависимости коэффициента /> от объема выборки />, от значениясреднеквадратического отклонения случайного процесса /> для различных стационарныхпроцессов при априорно фиксированных значениях вероятности ошибки первого рода />.
В результате получены зависимости выборочныхзначений коэффициента /> от объема исследуемой выборки исреднеквадратического отклонения шумовой составляющей процесса, то есть />. Входнаяреализация представляет собой стационарный центрированный гауссовский случайныйпроцесс. Исследования проводились на выборках объемом />= 5, 7, 9, 11, 13 и 15 значений исреднеквадратическом отклонении случайного процесса />= 0,1–0,5. В результате проведенных исследований были получены зависимости выборочных значенийкоэффициента /> при различных априорнофиксированных значениях вероятности ошибки первого рода />. Усреднение значений коэффициента /> производилось по 1 000 выборок[10, 11, 12].
На рис. 1 приведены графики зависимостивыборочных значений коэффициента /> для объема выборки /> и среднеквадратического отклонения случайного процесса /> при априорно фиксированныхзначениях вероятности ошибки первого рода /> (при />=0,05 – рис. 1а, при />=0,1 – рис.1б).
/>/>
а) б)
Рис. 1. Зависимость /> для гауссовского закона плотностираспределения вероятности случайного процесса: а – при />; б – при />
Из анализа полученных зависимостей,представленных на рис. 1, следует, что при различных фиксированных значенияхвероятности ошибки первого рода /> с увеличением объема выборки /> выборочныезначения коэффициента /> стремится к некоторому постоянномузначению и практически не зависит от значения среднеквадратического отклоненияслучайного процесса. Выборочные значения коэффициента /> для выборок /> возрастают в среднем на5 %.
Также приведены результаты исследованийзависимости коэффициента /> от объема выборки /> и среднеквадратическогоотклонения />,когда стационарный случайный процесс представлен равномерным и рэлеевскимзаконами распределения. Результаты полученных зависимостей представлены на рис.2а – для равномерного и на рис. 2б – для рэлеевского законов плотностираспределения вероятности случайного процесса, при априорно фиксированномзначении ошибки первого рода />=0,05.
/>/>
а) б)
Рис. 2. Зависимость /> при />:
а – для равномерного закона;
б – для рэлеевского законов плотностираспределения вероятности случайных процессов
Из анализа графиков, представленных на рис. 2а иб, видно, что выборочные значения коэффициента /> практически не зависят отсреднеквадратического отклонения стационарного случайного процесса /> инезначительно зависит от объема исследуемой выборки />.
Таким образом, проведенные исследованияпоказывают, что выборочные значения коэффициента /> для рассмотренных законов распределенияслучайных процессов практически не зависят от объема исследуемой выборки /> исреднеквадратического отклонения стационарного случайного процесса />, а зависяттолько от априорно задаваемого значения вероятности ошибки первого рода /> [10, 11, 12].В связи с этим исследуются зависимости выборочных значений коэффициента /> от априорнофиксированного значения вероятности ошибки первого рода />, т.е. />, для различных законовплотности распределения вероятности стационарных случайных процессов(гауссовского, равномерного, рэлеевского) при значении />. Результаты, которые представленына рис. 3, получены при />, /> и />.
На рис. 3 приведены зависимости значения оценоккоэффициента /> от вероятности ошибки первогорода />:график 1 – рэлеевский; график 2 – равномерный и график 3 – гауссовский законыплотности распределения вероятности стационарного случайного процесса.
/>
Рис. 3. Зависимость /> для различных законовраспределения случайных процессов
Из анализа графиков, представленных на рис. 3,следует, что выборочные значения коэффициента /> для всех представленных законовраспределения стационарного случайного процесса существенно зависят от априорнозадаваемых значений вероятности ошибки первого рода />.
На рис. 4 представлен усредненный графикзависимости /> для исследуемых стационарныхслучайных процессов.
/>
Рис. 4. Усредненная зависимость /> для рассмотренныхстационарных случайных процессов
Графическая зависимость, представленная на рис.4, может быть аппроксимирована полиномом второй степени вида [6, 7]:
/>. (13)
Полученные результаты исследования зависимостикоэффициента /> позволяют при адаптациипорогового значения (9) вместо постоянного значения коэффициента /> использовать егозначение, которое вычисляется в соответствии с (13). Использование уравнения(13) в оценке порогового значения (9) позволяет использовать предложенныйспособ обнаружения аномальных значений при фиксированном значении вероятностиошибки первого рода />.
Для исследования эффективности способаобнаружения аномальных значений с адаптацией порогового значения проводитсясравнительный анализ предлагаемого способа и способа обнаружения аномальныхзначений без адаптации порогового значения.
Критерием эффективности предлагаемого в даннойработе способа обнаружения аномальных значений в реализации нестационарногослучайного процесса выступают выборочные значения вероятности правильного обнаружения/> ивероятности ошибки первого рода />. Вероятность ошибки первого рода /> (вероятностьложной тревоги) определяет вероятность принятия значения процесса за аномальноезначение. Вероятность правильного обнаружения /> определяет вероятностьправильного решения о наличии аномального значения в исходной реализациинестационарного случайного процесса. Использование вышесказанного критерия дляоценки эффективности предлагаемых в работе способа осуществляются поусредненным значениям, т.е. в качестве выборочных значений вероятностиправильного обнаружения />, и вероятности ошибки первогорода /> рассмотреныих средние значения, полученные по множеству реализаций (порядка 1 000).
В данной работе исследуются модели нестационарныхпроцессов, которые представляют собой единственную реализацию дискретногопроцесса />,полученного в равноотстоящие моменты времени />, где /> и />, т.е. модели вида [3]:
/>, (14)
/>, (15)
где />,/>, />, /> – полезная, аддитивная,мультипликативная шумовая и аномальная составляющие входного процессасоответственно, где />, />– объем выборки исследуемогопроцесса.
Исследование для нестационарных случайныхпроцессов проводятся, когда полезная составляющая процесса /> представлена простымимоделями функций: гармонической, экспоненциальй, полиномиальными, а такжесоставной и сложной моделями. Составная модель функции исследуемого процессасостоит из параболы, синусоиды, константы и экспоненты – модель огибающаярадиоимпульса на выходе резонансного усилителя при расстройке относительнорезонансной частоты. Модель сложной функции представляет собой сумму некоторойконстанты и синусоиды.
Шумовая составляющая процесса представленагауссовским, равномерным и рэлееевским законами плотности распределениявероятности. В качестве аномальной составляющей процесса рассматривалисьодиночные аномального значения /> с различной величиной /> и местомрасположения в выборке исследуемого нестационарного случайного процесса.
На основе имитационного моделирования в работах [3, 4]при анализе нестационарных случайных процессов получены зависимости выборочныхзначений вероятности ошибки первого рода /> и вероятности правильногообнаружения /> дляспособа обнаружения аномальных значений без адаптации, т.е. когда значениекоэффициента /> в пороговом значении (9) задаетсяфиксированным />, и с адаптацией порогового значения(9), т.е. когда значение коэффициента /> определяется выражением /> (13) [4].
Исследования эффективности предлагаемого способапроводятся для случая, когда модель нестационарного случайного процессаявляется аддитивной (14). Аддитивная шумовая составляющая процесса /> имеетгауссовский закон плотности распределения вероятности. Одиночные аномальныезначения распределены равномерно по всей реализации нестационарного случайногопроцесса /> исоставляют 5 % от выборки N. Исследования проводятся для различных значенийвеличины аномальных значений />, т.е.: />,/>,/>,/>,/>, /> – среднеквадратическое отклонениеаддитивной шумовой составляющей. Значения вероятности ошибки первого рода дляспособа с адаптацией порогового значения априорно фиксируется />.
В результате проведенных исследований длянестационарных случайных процессов получены зависимости выборочных значенийвероятности правильного обнаружения />. Для случая, когда неиспользуется адаптация порогового значения, – графики />, />, />, />, /> и с применением адаптацияпорогового значения – графики 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 5).
/>
Рис. 5. Зависимость выборочных значений вероятности правильногообнаружения /> для способа без адаптации испособа с адаптацией порогового значения при />
Зависимости /> на рис. 5 представлены дляразличных моделей функций полезной составляющей />: графики 1, /> – экспоненциальной;графики 2, /> –параболической; графики 3, /> – гармонической; графики 4, /> – составной играфики 5, /> – сложной функции.
Анализ результатов, представленных на рис. 5,показывает, что при введении адаптации порогового значения выборочные значениявероятности правильного обнаружения /> возрастают для всех рассмотренныхфункций полезной составляющей />. Причем для параболической,гармонической и экспоненциальной модели функций, при величине аномальныхзначений порядка />, выборочные значения вероятностиправильного обнаружения /> возрастают примерно на 66 %. Сувеличением величины аномальных значений (/>) выборочные значения вероятностиправильного обнаружения /> увеличиваются примерно на 54 %.Из анализа зависимостей /> также следует, что прииспользовании адаптации порогового значения, с увеличением величины аномальныхзначений />,вероятность правильного обнаружения /> асимптотически стремится кединице независимо от модели функции полезной составляющей /> [4, 5].
Применяя адаптацию порогового значения, такжеполучены зависимости выборочных значений вероятности ошибки первого рода />, которыепредставлены на рис. 6.
/>
Рис. 6. Зависимость выборочных значений ошибки первогорода /> дляспособа с адаптацией порогового значения при />
Зависимости /> на рис. 6 представлены для следующихмоделей функций полезной составляющей сигнала />: график 1 – параболической;график 2 – составной; график 3 – экспоненциальной; график 4 – гармонической;график 5 – сложной.
Из анализа полученных зависимостей /> следует, что прииспользовании адаптации порогового значения выборочные значения вероятностиошибки первого рода /> практически не превосходятаприорно задаваемого значения, т.е. />, для всех исследуемыхнестационарных случайных процессов (рис. 6).
В данной работе также исследуется эффективностьадаптивного способа обнаружения аномальных значений в зависимости от местарасположения аномальных значений в выборке нестационарного случайного процесса.
Рассматривается модель с аддитивной шумовойсоставляющей />, закон плотности распределениявероятности которой является центрированным гауссовским случайным процессом сосреднеквадратическим отклонением />. В качестве модели функцииполезной составляющей /> используются следующиенормированные функции: экспоненциальная, гармоническая, составная.
Аномальные значения с фиксированной величиной /> составляют 5 %от объема исследуемой выборки />. Рассматриваются случаи, когдааномальные значения располагаются в начале выборки, в середине выборки, в концевыборки и равномерно по всей выборке нестационарного случайного процесса />, где />.
В результате проведенных исследований полученывыборочные значения вероятности правильного обнаружения /> для случая без адаптациии с адаптацией порогового значения, которые представлены в табл. 1.
Таблица 1
Выборочные значения вероятности правильногообнаружения />
Расположение
аномальных значений
Гармоническая
функция Экспоненциальная функция Составная функция
с адаптацией
порогового значения
без
адаптации
порогового значения
с адаптацией
порогового значения
без адаптации
порогового значения
с адаптацией
порогового значения
без
адаптации
порогового значения
В начале
выборки 0,796 0,457 0,861 0,204 0,694 0,199 В середине выборки 0,930 0,201 0,928 0,269 0,842 0,251
В конце
выборки 0,898 0,252 0,925 0,254 0,828 0,241
Равномерно расположены по всей
выборке 0,979 0,204 0,925 0,254 0,920 0,369
Анализ результатов, представленных в табл. 1,показывает, что выборочные значения вероятности правильного обнаружения /> при использованииспособа с адаптацией порогового значения более высокие, чем при использованииспособа с адаптацией порогового значения. Например, для экспоненциальной моделифункции полезной составляющей />, при расположении аномальныхзначений в начале выборки, выборочные значения вероятности правильногообнаружения /> возрастаютпримерно на 76 и на 70 % при расположении аномальных значений в концевыборки. Причем при адаптации порогового значения выборочные значениявероятности правильного обнаружения /> практически не зависят от местарасположения аномальных значений в выборке нестационарного случайного процесса />.
При тех же условиях для способа с адаптациейпорогового значения определяются выборочные значения вероятности ошибки первогорода />. Втабл. 2 приведены выборочные значения вероятности ошибки первого рода, которыеполучены для случая априорного значения />.
Таблица 2
Выборочные значения вероятности ошибки первогорода />
Расположение
аномальных
значений Гармоническая функция Экспоненциальная функция Составная функция В начале выборки 0,037 0,044 0,037
В середине
выборки 0,044 0,045 0,035 В конце выборки 0,042 0,042 0,036
Равномерно
расположены
по всей выборке 0,040 0,044 0,034
Из анализа табл. 2 следует, что выборочныезначения вероятности ошибки первого рода /> не превосходят своего априорнозадаваемого значения независимо от места расположения аномальных значений ввыборке нестационарного случайного процесса />.
В данной работе также рассматривается влияниеприменения адаптации порогового значения для случая, когда нестационарныйслучайный процесс /> (/>) является мультипликативным, т.е.представлен моделью (15). Для этого анализируется эффективность использованияспособа с адаптацией порогового значения для нестационарных случайных процессовс мультипликативной шумовой составляющей /> при различных значениях величиныаномальных значений />.
В качестве модели мультипликативной шумовойсоставляющей исследуемого процесса /> – гауссовский случайный процесс.Величина аномальных значений />: />,/>,/>,/>,/>, (/>– среднеквадратическое отклонениемультипликативной шумовой составляющей />). Значение вероятности ошибкипервого рода для способа с адаптацией порогового значения априорно выбирается />. Одиночныеаномальные значения распределены равномерно по всей выборке нестационарногослучайного процесса />, где />, и составляют 5 % от N.
В результате исследований получены зависимостивыборочных значений вероятности правильного обнаружения />, которые представленына рис. При применении способа обнаружения аномальных значений с адаптациейпорогового значения: графики 1, 2 и 3 – и способа обнаружения аномальныхзначений без адаптации порогового значения: графики />, /> и />.
Функциональные зависимости соответствуютследующим моделям функции полезной составляющей сигнала />, в случае с адаптациейпорогового значения: график 1 – экспоненциальной; график 2 – гармонической;график 3 – составной функциям – и в случае без адаптации порогового значения:график /> –экспоненциальной; график />– гармонической; график /> – составной функциям.
Анализ результатов, приведенных на рис. 7,показывает, что с применением способа обнаружения аномальных значений садаптацией порогового значения, выборочные значения вероятности правильногообнаружения /> увеличиваютсяв зависимости от величины аномальных значений (/>): для гармонической моделифункции полезной составляющей /> – примерно на 51–26 %, дляэкспоненциальной модели функции полезной составляющей /> – примерно на 28–25 %, длясоставной модели функции полезной составляющей /> – примерно на 43–24 %.
/>
Рис. 7 Зависимость выборочных значений вероятности правильного обнаружения /> для способа без адаптации и с адаптацией порогового значения при />
Из анализа зависимостей, представленных нарис. 7, также следует, что при использовании способа с адаптацией пороговогозначения выборочные значения вероятности правильного обнаружения /> практически не зависятот величины аномальных значений /> и стремятся к единице независимоот модели функции полезной составляющей />.
При тех же условиях определяются выборочныезначения вероятности ошибки первого рода />, которые представлены на рис. 8.Соответственно, график 1 – экспоненциальная, график 2 – гармоническая и график3 – составная функции полезной составляющей />. Анализ результатов, представленныхна рис. 8, показывает, что адаптация порогового значения позволяет получитьвыборочные значения вероятности ошибки первого рода />, не превосходящие априорнозадаваемого значения />, независимо от модели функцииполезной составляющей />, при всех рассмотренныхвеличинах аномальных значений />.
/>
Рис. 8. Зависимость выборочных значений ошибки первогорода /> дляспособа с адаптацией порогового значения при />
При исследовании эффективности способаобнаружения аномальных значений с адаптацией порогового значения длянестационарных случайных процессов с мультипликативной шумовой составляющейрассматривались зависимости вероятности правильного обнаружения /> при гауссовском иравномерном законах плотности распределения вероятности мультипликативнойшумовой составляющей />, которые представлены на рис. 9.
Зависимости /> рассматриваются при различныхмоделях функции полезной составляющей />: график 1 – составная, график 2 –сложная, график 3 – экспоненциальная, график 4 – гармоническая, график 5 –параболическая функции.
Анализ результатов, представленных на рис. 9а,показывает, что при гауссовском законе плотности распределения вероятностимультипликативной шумовой составляющей />, выборочные значения вероятностиправильного обнаружения />, при величине аномальных значений/>,достигают /> = 0,932–0,980 в зависимости от функции полезной составляющей />.
/>/>
а) б)
Рис. 9. Зависимость выборочных значений вероятности правильногообнаружения />:а – при гауссовском законе; б – при равномерном законе плотности распределения вероятностимультипликативной шумовой составляющей
При /> выборочные значения вероятностиправильного обнаружения /> стремятся к единице, независимоот модели полезной составляющей />. При равномерном законе плотностираспределения вероятности мультипликативной шумовой составляющей /> выборочные значениявероятности правильного обнаружения /> при /> достигают /> в зависимости отфункции полезной составляющей />, а при /> стремятся к единице независимо отфункции полезной составляющей /> (рис. 9б).
Также исследуются зависимости выборочных значенийвероятности правильного обнаружения /> и вероятности ошибки первого рода/> от местарасположения аномальных значений в выборке нестационарного случайного процесса /> смультипликативной шумовой составляющей /> для различных моделей функцийполезной составляющей />, которые приведены соответственнов табл. 3 и 4.
В табл. 3 и 4 выборочные значения представленыдля случая, когда мультипликативная шумовая составляющая /> имеет гауссовский законплотности распределения вероятности. Аномальные значения составляют 5 % отобъема выборки /> и их величина />. Среднеквадратическоеотклонение шумовой составляющей сигнала />, априорно задаваемое значениевероятности ошибки первого рода />.
Анализ выборочных значений вероятностиправильного обнаружения />, которые представлены в табл. 3,показывает, что использование способа обнаружения аномальных значений садаптацией порогового значения позволяет получать выборочные значениявероятности правильного обнаружения /> значительно выше, чем приприменении способа без адаптации порогового значения. Например, если модельфункции полезной составляющей /> является гармонической, то дляслучая, когда аномальные значения расположены в начале выборки, выборочныезначения вероятности правильного обнаружения /> возрастают примерно на 80 %.
Таблица 3
Выборочные значения вероятности правильногообнаружения />
Расположение
аномальных значений
Гармоническая
функция Экспоненциальная функция Составная функция
с адаптацией
порогового значения
без адаптации
порогового значения
с адаптацией
порогового значения
без адаптации
порогового значения
с адаптацией порогового
значения
без адаптации порогового
значения В начале выборки 0,954 0,180 0,903 0,228 0,974 0,211 В середине выборки 0,995 0,298 1 0,339 0,998 0,307
В конце
выборки 0,954 0,296 1 0,313 0,975 0,277 Равномерно расположены по всей выборке 1 0,645 0,997 0,736 1 0,712
Если же модель функции полезной составляющей /> является экс-поненциальной,при расположении аномальных значений в начале выбор-ки/>, выборочные значения вероятностиправильного обнаружения /> уве-личиваются на 75 %, ипримерно на 68 % при расположении аномальных значений в середине и в конце исследуемогонестационарного процесса />.
Анализ показывает, что выборочные значениявероятности правиль-ного обнаружения />, при применении адаптациипорогового значения, стремятся к единице независимо от места расположенияаномальных зна-чений в выборке исследуемого процесса /> и модели функций полезной составляющей/>.
Результаты, которые представлены в табл. 4,показывают, что при использовании способа обнаружения аномальных значений садаптацией порогового значения, выборочные значения вероятности ошибки первогорода /> непревосходят априорно задаваемого значения /> при любом расположении аномальныхзначений для всех представленных моделей функций полезной составляющей /> нестационарногослучайного процесса />.
Таблица 4
Выборочные значения вероятности ошибки первогорода />
Расположение
аномальных значений Гармоническая функция Экспоненциальная функция
Составная
функция В начале выборки 0,048 0,044 0,045
В середине
выборки 0,046 0,043 0,045 В конце выборки 0,046 0,042 0,045
Равномерно расположены
по всей выборке 0,040 0,018 0,036
Таким образом, выборочные значения правильногообнаружения /> практическине зависят от расположения аномальных значений в выборке нестационарногослучайного процесса />, а выборочные значениявероятности ошибки первого рода /> не превосходят своего априорнозадаваемого значения.
выводы
1. Использованиеадаптивного способа при анализе нестационарных случайных процессов с аддитивнойи мультипликативной шумовой составляющей позволяет при фиксированном значениивероятности ошибки первого рода получить выборочные значения вероятностиправильного обнаружения, которые с ростом величины аномальных значенийстремятся к единице.
2. Введениеадаптации порогового значения позволяет получить выборочные значениявероятности ошибки первого рода />, не превосходящие априорнозадаваемого значения для всех рассмотренных моделей полезной и шумовой составляющихпроцесса.
3. Эффективностьобнаружения аномальных значений, с введением адаптации порогового значения,возрастает, при величине аномальных значений />, для процессов с аддитивнойшумовой составляющей на 66–54 %, с мультипликативной – на 43–50 % в зависимостиот закона плотности распределения вероятности шумовой составляющей и независимоот места расположения аномальных значений.
Библиографический список
1. Фомин,А.Ф. Отбраковка аномальных результатов измерений / А.Ф. Фомин, О.Н.Новоселов, А.В. Плющев. – М.: Энергоатомиздат, 2008. – 200 с.
2. Брофман,М.Я. Анализ критериев обнаружения экстремальных значений / М.Я. Брофман, В.Х.Римен // Заводская лаборатория. – 2007. –Т. 30, № – С. 861–865.
3. Марчук,В.И. Первичная обработка результатов измерений при ограниченном объеме априорнойинформации: монография / В.И. Марчук; под ред. К.Е. Румянцева. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2009. –160 с.
4. Марчук,В.И. Методы выделения полезной составляющей и обнаружение аномальных значенийпри анализе нестационарных случайных сигналов в условиях непараметрическойаприорной неопределенности и ограниченном объеме измерений / В.И. Марчук. –Таганрог, 2006. – 372 с.
5. Марчук,В.И. Новый способ повышения достоверности результатов измерений / В.И. Марчук,К.Е. Румянцев // Авиакосмическое приборостроение. – 2007. – № 2. – С. 51–55.
6. Марчук,В.И. Анализ методов адаптации порогового значения при обнаружении аномальныхизмерений / В.И. Марчук, К.Е. Румянцев // Известия вузов России.Радиоэлектроника. – 2006. – Вып. 1. – С. 20–25.
7. Фомичев,С.М. Обзор математических моделей каналов связи и их применение втелекоммуникационных системах / С.М. Фомичев, А.В. Абилов. – Ижевск: Изд-воИжевского ГУ, 2011. – С. 60.
8. Венецкий,И.Г. Теория вероятности и математическая статистика / И.Г. Венецкий,Г.С. Кильдишев. – М.: Статистика, 2008. – 388 с.
9. Токарева,С.В. Исследование модификации метода обнаружения аномальных значений / С.В.Токарева, В.В. Воронин // Наука и образование без границ: материалы 3-ймеждународной научно-практич. конф. Т.16. Технологии. – София: «Бял ГРАД-БГ»ООД, 2008 – С. 74–7
10. Токарева,С.В. Сравнительный анализ модификации нового метода обнаружения аномальныхизмерений / С.В. Токарева, А.И. Шерстобитов // Системный подход в науках оприроде, человеке и технике: материалы международной науч. конф. – Таганрог:ТРТУ, 2009. – Ч. 5. – С. 99–103.
11. Токарева,С.В. Способ уменьшения погрешности при использовании метода размножения оценок/ С.В. Токарева, А.И. Шерстобитов // Моделирование. Теория, методы и средства:материалы 4-й международной научно-практич. конф. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2006.– С. 4–5.
12. Токарева,С.В. Повышение вероятности правильного обнаружения аномальных измерений припараметрической неопределенности / С.В. Токарева, А.И. Шерстобитов // Известиявузов Северо-Кавказкий регион «Техника, Технология и экономика сервиса».Технические науки. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008.
13. Кириллов,Н.Е. Помехоустойчивая передача сообщений по линейным каналам со случайноизменяющимися параметрами / Н.Е. Кириллов. – М.: Связь, 2011. – 256 с.
14. Токарева,С.В. Использование адаптивного метода обнаружения аномальных измерений призаданной вероятности ошибки первого рода / С.В. Токарева // Современныепроблемы радиоэлектроники: материалы 1-й межрегиональной науч. конф. – Ростовн/Д., 2006. – С. 132–134.
15. Токарева,С.В. Использование адаптивного метода обнаружения аномальных измерений длянестационарных случайных процессов / С.В. Токарева // Статистическиеметоды в естественных, гуманитарных и технических науках: материалымеждународной науч. конф. – Таганрог: ТРТУ, 2006. – Ч. 3. – С. 83–86.