Линейныеметрические, нормированные и унитарные пространства
Введение
При решениимногих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: какобъективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить«близость» двух сигналов.
Оказывается,что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основекоторой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированногопространства, позволяют ответить на эти вопросы.
Введем обозначения. Если R– некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R; /> или f Ï R означает, что f не принадлежит R.
Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначаетсясимволом /> например /> - множество точек,принадлежащих полукругу х2 + y2 £ 1, x ³ 0.
Если M и N – двамножества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующимобразом
/>
то есть представляетсобой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.
1. Линейные метрическиепространства
Множество R называетсялинейным пространством, если
1) в R определенаоперация «сложения», которая подчиняется всем правилам сложения: еслиf Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой,что 0 +f = f для всех f Î R;
2) в R определена операцияумножения элемента f Î R на числа a измножества К (a Î К, f Î R Þ a f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.
В дальнейшем будемрассматривать только линейные пространства.
Рассмотрим отображение Т,которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейнымпространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называетсяоператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения
T f = h (f Î R, h Î R*).
В частном случае, когда R*- пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.
Пусть уравнениеT f =h
имеет единственное решениеи каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие,называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1. Таким образомможно записать
f = T-1 h.Пример. Пусть имеетсясистема линейных уравнений
/>
Представим эту систему вматричном виде
/>/>
Если ввести пространствоматриц – столбцов R, то /> где
/>
и /> Здесь оператор А – матрицаразмера n x n
/>
Если матрица Аневырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:
/>
Определение. Линейноепространство R называется метрическим, если каждойпаре элементов х, y Î R ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояниемежду x и y – удовлетворяющее условиям:
1. r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;
2. r (x, y) = r (y, x);
3. r (x, y) £ r (x, z) + r (z, y) (неравенствотреугольника).
Если введением расстоянияпространство R превращено в метрическое пространство,то говорят, что в пространстве Rвведена метрика.
В радиотехнике элементамипространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделямикоторых являются функции времени x(t), y(t),…. Рассмотримследующее пространство сигналов.
1. С[a, b] — пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:
/>
/> y(t)
r(x,y)
/>
2. L2(a, b) — пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) Î L2(a, b), если /> сметрикой
/>
Определение. Элементы линейногопространства R называются линейно независимыми,если из условия
/>
следует, что
a1 = a2 =… = an = 0.
В противном случаеэлементы f1, f2,..., fn считаются линейно зависимыми.
Максимальное числолинейно независимых элементов определяет размерность dim R пространства R иобразуют базис этого пространства. Если m = dim R, то пространствообозначается Rm.
2. Линейные нормированныепространства
Определение. Линейноепространство R называется нормированным, есликаждому элементу х Î R ставится в соответствие вещественноечисло /> («длина»элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:
1. />, тогда х = 0;
2. /> (однородность нормы);
3. /> (неравенство треугольника).
Положив для />
/>
превращаем нормированноепространство R в метрическое.
Можно и метрическоепространство R превратить в нормированное, еслиметрика удовлетворяет условиям:
/>/> положив />
Рассмотренные ранеепространства сигналов С[a,b] и L2(a,b) становятся соответственно нормированными, если
/> />
/>
и /> />
Если положить а = ¥, b = ¥,то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.
/>
так как такая энергиявыделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.
Пример. Имеетсятреугольный импульс длительности t:
/>
Вычислить энергию и нормусигнала.
Решение.
/>
/>
3. Линейноеунитарное пространство
Определение. Линейноенормированное пространство Rназывается унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждойпаре элементов x, y Î R ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям
1. (x, y) = (y, x)* ( * — знак комплексногосопряжения);
2. (a1 х1 + a2 х2, y) = a1(x1, y) + a2(x2, y) (a1, a2 Î K);
3. (x, x) ³ 0, если (х, х) = 0, то х = 0.
В унитарном пространственорма вводится следующим образом
/>
Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца
/>
Равенство имеет местолишь для линейно зависимых элементов.
Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство
/>
Равенство имеет место,если один из элементов х или yравен нулю или, когда х = l y (l > 0).
Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма
/>
Равенство имеет место,если один из элементов х или yравен нулю или, когда х = l y (l > 0).
Определение. Два элементах, y Î R (x ¹ 0, y ¹ 0) называются ортогональными, если(х, y) = 0.
Система элементов e1, e2,..., en,… унитарного пространства R называется ортонормированной, если
/>
Пусть система элементов х1,х2,..., хn,… ортогональна ((xi, xj)=0, i ¹ j), тогда ее можно нормировать, положив
/>
Из ортонормированностисистемы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимуюсистему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Еслисистема элементов y1, y2,..., yn,… –линейно независимая, то система e1, e2,..., en,… ., где
/>
становится ортонормированной.
Пусть теперь f – любой элемент унитарногопространства R, a e1, e2, ..., en,… – ортонормированная системаэтого пространства. Величина
/>
носит названиекоэффициента Фурье, а ряд
/>
носит название рядаФурье. Ряд Фурье наилучшим образом аппроксимирует f (приближается к f). Это значит, если рассматривать норму разности элемента f и ряда Фурье
/>
то наименьшее значениенорма примет при
/>Можно показать, чтовыполняется неравенство
/>
которое называетсянеравенством Бесселя.
Примеры ортонормированныхсистем:
1. Система гармонических функций,записанных в комплексном виде
/>
образуют ортонормированнуюсистему в />
2. Функции
/>
образуют для m = 1, 2, 3,… ортонормированнуюсистему, состоящую из неотрицательных функций на отрезке [0,1].
3. Ортонормированнаясистема функций Уолша wal(m, x) /> заданная на интервале /> широкоиспользуется при дискретной обработке сигналов. Аналитическое описание функцийУолша довольно сложно. Легко понять принцип построения этих функций из графиков
/>
4. Важный классортонормированных систем можно получить при помощи ортогонализации функций 1, t, t2, ..., tn,… в унитарном пространстве /> со скалярнымпроизведением
/>
где р(t) – некоторая положительная,непрерывная на интервале [a, b] функция. Для отрезка [-1, 1] и p(t) = 1 получаем полиномы Лежандра; для отрезка [-1, 1] и /> — полиномы Чебышева первогорода; для полупрямой [0, ¥]и p(t) = е-t – полином Лягерра; для всей оси (-¥, ¥) и p(t) = е-t – полином Эрмита и т.д.
Определение. Линейноеметрическое пространство Rназывается полным, если оно содержит все предельные точки. Это значит, если r(хm+p, xn) ® 0при m ® ¥ (xm Î R), " p = />, то $ хо Î R такое, что lim r(xm, xo) = 0.
m ®¥
Определение. Полное метрическоепространство называется пространством Банаха.
Полное унитарноепространство носит название пространства Гильберта.
Примеры.
1. Пространство L(a, b) – абсолютно интегрируемых на интервале (а, b) функций (x(t) Î L(a, b), если /> с метрикой
/>
является пространствомБанаха.
3. Пространство L2(a, b), соскалярным произведением
/>
является пространствомГильберта.