Види та порядок проведення вейвлет-аналізу
1. Обчислення багатовіконнеперетворення
Нехай x(t) –сигнал, який необхідно аналізувати. Вибирається материнський вейвлет, що будепрототипом для всіх функцій (вікон), які можна отримати з нього шляхомстиснення (розширення). Існує кілька функцій, що застосовуються як материнськівейвлети. Двома прикладами є вейвлети Морле та Мексиканський капелюх, які йвикористовуються у прикладах розділу.
Після виборуматеринської функції обчислення починаються з масштабу s=1. БВП обчислюєтьсядля всіх значень s, менших і більших 1. Однак повне перетворення зазвичай непотрібно, оскільки реальні сигнали обмежені за смугою. Тому число масштабівможе бути обмежено. У прикладах цього розділу ми також використовуємо обмеженукількість масштабів.
Процедура аналізустартує з масштабу s=1 і триває при значеннях s, що збільшуються, тобто аналізпочинається з високих частот і продовжується убік низьких частот. Першезначення s відповідає найбільш стислому вейвлету. При збільшенні значення sвейвлет розширюється. Вейвлет розміщується в початку сигналу, у точці, щовідповідає часу />=0. Вейвлет-функція масштабу «1»помножується з сигналом та інтегрується на всьому часовому інтервалі. Вейвлетмасштабу s=1 потім зміщується вправо на /> до точки t=/>, і процедураповторюється. Одержуємо ще одне значення, яке відповідає t=/>, s=1 начастотно-часовому плані. Ця процедура повторюється доти, поки вейвлет недосягне кінця сигналу. У такий спосіб одержуємо ряд точок на масштабно-часовомуплані для масштабу s=1. Тепер збільшимо s на деяке значення. Точно кажучи,оскільки перетворення безперервне, то /> і s мають змінюватисябезперервно. Під час виконання перетворення в комп'ютері ми обчислюємоапроксимацію, збільшуючи обидва параметри на деяке мале значення. Тим самимздійснюємо дискретизацію масштабно-часової площини.
Наведена вищепроцедура повторюється для кожного значення s. При цьому рядок за рядкомзаповнюється масштабно-часова площина. Так обчислюється БВП. Нижче наведенірисунки ілюструють процес перетворення крок за кроком.
На рис. 1показаний сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень />. Значення масштабу, 1,відповідає найменшому значенню, або найбільшій частоті. Відзначте, якимкомпактним є носій. Він має бути таким само вузьким, як і час життя найвищоїчастоти сигналу. На рисунку показані чотири різних позиції вейвлет-функції вточках to=2, to=40, to=90 та to=140. У кожній позиції вона перемножується зсигналом. Добуток буде ненульовим лише у випадку, коли сигнал перетинається зносієм вейвлета, і нульовим – в інших випадках. Зміщенням вейвлета у часівідповідає часова локалізація сигналу, а зміщенням у масштабі – масштабна(частотна) локалізація.
/>
Рисунок 1 – Сигнал і вейвлет-функціядля чотирьох різних значень /> для масштабу />
Якщо в сигналіприсутні спектральні компоненти, що відповідають поточному значенню s (яке вцьому випадку 1), то добуток вейвлета з сигналом в інтервалі, де цейспектральний компонент присутній, дає відносно велике значення. У протилежномувипадку – добуток малий або дорівнює нулю. Сигнал, показаний на рис. 1, маєспектральні компоненти, порівняні із шириною вікна при s=1 на інтервалі біляt=100мс. БВП сигналу, показаного на рис. 1, дає більші значення для низькихмасштабів біля часу t=100мс і малі – в інших інтервалах часу. Для високихмасштабів, навпаки, БВП дає більші значення майже на всій тривалості сигналу,оскільки низькі частоти присутні в ньому весь час.
На рис. 2, 3показаний той самий процес для масштабів s=5 і s=20, відповідно. Зазначимо, щоширина вікна змінюється із збільшенням масштабу. Зі збільшенням ширини вікнаперетворення виділяє все більш низькі частоти. В остаточному підсумку миодержуємо точку на масштабно-часовій площині для кожного значення масштабу йчасу. Обчислення при фіксованому масштабі дають рядок на площині, а обчисленняпри фіксованому часі – стовпчик.
/>
Рисунок 2 – Сигнал і вейвлет-функціядля чотирьох різних значень /> для масштабу />
/>
Рисунок 3 –Сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень /> для масштабу />
Нехай маємонестаціонарний сигнал, показаний на рис.4. Сигнал аналогічний наведеному вприкладі для ВПФ, за винятком частот. У цьому випадку сигнал складається ізчастот 30, 20, 10 та 5Гц.
/>
Рисунок 4 – Нестаціонарний сигнал,складений із частот 30, 20, 10 та 5Гц
На рис. 5показане безперервне вейвлет-претворення цього сигналу. Зазначимо, що як осівикористані зміщення й масштаб, а не час і частота. Однак зміщення тіснопов’язане з часом, оскільки він показує місце розташування вейвлета у часі.Зміщення материнського вейвлета може розглядатися як час, що пройшов з моментуt=0. Масштаб є зворотним частоті.
/>
Рисунок 5 – Безперервневейвлет-претворення нестаціонарного сигналу
Малі масштабивідповідають високим частотам. Тому на рис. 5 частина графіка, де масштабиблизькі нулю, відповідає високим частотам. Верхня частота аналізованого сигналу30 Гц, і вона з'являється на найменших масштабах при зміщеннях від 0 дo 30.Найнижча частота сигналу – 5Гц з'являється наприкінці осі зміщеннях і нанайбільших масштабах.
Осі графіка рис.5 нормалізовані. Точно кажучи, 100 точок осі зміщень відповідають 1000 мс, а150 точок осі масштабів відповідають смузі частот 40Гц. (Числа, які стоять поосях, не відповідають значенням частоти та часу, це лише номери відліків приобчисленні).
2. Розрізнювання за часом і частотою
У цьомупідрозділі ми глибше досліджуємо властивості розрізнюваннявейвлет-перетворення. Згадаємо, що проблема розрізнювання була головноюпричиною переведення нашої уваги від ВПФ до БВП.
Для поясненнярозрізнювання при вейвлет-перетворенні використовується рис. 6. Коженпрямокутник відповідає значенню вейвлет-перетворення на частотно-часовійплощині. Площа прямокутників ненульова, що означає те, що ми не можемо точнообчислити яку-небудь точку площини. Всі точки, які належать одномупрямокутнику, подаються одним значенням вейвлет-перетворення.
/>
Рисунок 6 – Фазова площина ВП
Подивітьсяуважніше на рис.6: прямокутники різної ширини й висоти мають однакову площу.Кожен прямокутник дає рівний внесок у частотно-часову площину, але з різнимичастками частоти й часу. На нижніх частотах висота прямокутників менше (щовідповідає кращому розрізнюванню за частотою, оскільки менше невизначеністьщодо її точного значення). Однак ширина прямокутників більше (що відповідаєгіршому розрізнюванню за часом). На високих частотах розрізнювання за часомполіпшується, а за частотою – погіршується. У випадку ВПФ ширина вікнавибирається раз і назавжди для аналізу всього сигналу. Тому частотно-часоваплощина ВПФ складається із прямокутників однакового розміру. Площіпрямокутників ВПФ і вейвлет-перетворення рівні й визначаються за принципомневизначеності Гейзенберга. Зазвичай, ця площа залежить від віконної функції,що використовується при ВПФ або материнського вейвлета привейвлет-перетворенні.
3. Апроксимуюча і деталізуючакомпоненти вейвлет-аналізу
Одна з основнихідей вейвлет-подання сигналу полягає в розбивці наближення до сигналу на двіскладові: грубу (апроксимуючу) і витончену (деталізуючу), з подальшимуточненням ітераційним методом. Кожен крок такого уточнення відповідає певномурівню декомпозиції та реставрації сигналу.
В основібезперервного вейвлет-подання БВП (або CWT – Continue Wavelet Transform) лежитьвикористання двох безперервних та інтегрувальних по всій осі />функцій:
· вейвлетфункція />,яка визначає деталі сигналу й породжує коефіцієнти, що деталізують;
· масштабуючаабо скейлінг–функція />, яка визначає грубе наближення(апроксимацію) сигналу й породжує коефіцієнти апроксимації.
Функції /> властивідалеко не всім вейвлетам, а тільки тим, які відносяться до ортогональних.
Функції /> створюються наоснові тієї або іншої базисної функції, що визначає тип вейвлета.
4. Види вейвлетів
/>
Рисунок 7 – Комплексний Гаусіввейвлет порядку 5
/>
Рисунок 8 – Вейвлет „Сомбреро”
/>
Рисунок 9 – Комплексний вейвлет Морле
5. Застосування вейвлетів для обробкиЕЕГ
Вейвлет-аналізсигналів відкриває принципово нові можливості у детальному аналізі тонкихособливостей сигналів. Медицина – одна з областей, де застосування вейвлетівздатне привести до нових відкриттів шляхом виявлення характерних рис сигналів ізображень, мало помітних на часових залежностях і спектрах Фур'є.
Приклад ЕЕГ,наведеної на рис. 10 та її БВП, наведений на рис.11, показує, що перешкодучітко видно на спектрограмі.
/>
Рисунок 10 – Часова реалізація ЕЕГ
/>
Рисунок 11 – БВП реалізація ЕЕГ,наведеної на рис. 10
Вейвлет-перетвореннясигналу ЕЕГ на апроксимуючу та деталізуючу компоненти, наведене на рис. 12.
/>
Рисунок 12 – Вейвлет-перетвореннясигналу ЕЕГ на апроксимуючу та деталізуючу компоненти