--PAGE_BREAK--5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества,ее следует скорректировать. В случае применения частотных методовсинтезакоррекции строится желаемая ЛАЧХ L
ж
(
w
). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/sв системе)требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношенияKz=v1/eск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклонЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далеесреднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой снаклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемойи исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.
Учет требований качества переходного процесса: tппи σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области L
ж
(
w
). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).
Рис 1.5
По графику рис. 1.5 для заданных значений у и tnn
находим w
п, и затем из соотношения wc
= (0.6 — 0.9) w
п, частоту среза wc.
В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, t
р
=3π/ωп ,откуда для t
р
значениеω
п
= 3π/1,5=6,8 1/с
и ωc
=5 1/с.
Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка околодекады). Тогда, выберем L2≈10дБ на частоте ω2=(0.1-0.5)ωс=2.5≈ -10 дБ на частоте ω3=25 ≥ ωс=5. Введем обозначения:
Величину ω1найдем из условия равенства значений Lж(ω1)=Lисх(ω1). Это
соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено:
ω
’=0.1
w
2
L
’(
ω
’)=50 дБ
L
’(
ω
2
)=10 дБ
L
(
ω
3
p
)=
L
(0.476)=21,18 дБ
L
(
ω
2
)=
L
(1.2)=-35,743 дБ
Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).
Найденное по формуле значение ω1=0.098
ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w
) соответствует функция:
где:
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:
Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где zи р — векторы из нулей и полюсов, aKd— обобщенный коэффициент передачи, sys— любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlabпримет вид:
sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zero/pole/gain:
58.2 (s+2.5) (s+0.4762)
-------------------------------------------------
s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)
Рис. 1.6
6.Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:
>>sys1=zpk([-1/t2k-1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k-1/t4k],kd)
Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl— находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).
>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1
Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05
Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис 1.7
Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*syslможно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) — сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.
2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления
Задание:
1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W
*
(
z
) разомкнутой системы, Ф*(z
)– замкнутой системы, Фе*(z
)– системы по ошибке. Параметры Т, Т1, τ1, К0, γ входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.
2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K
”
≤
K
≤
K
’. Для дальнейших исследований выбрать значение K
=0.5K
’
3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L
*
(λ) и φ*(λ) при заданных значениях Т, Т1, τ1, γ и выбранном K
. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ∆L
*и фазе ∆φ*.
4) Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v
(
t
)=
t(скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.
5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v
(
t
)=1[t] (скачок по положению.
Исходные данные:
Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса
Номер
варианта
γ
T
T1
τ1
10
0.3
0.1
0.1
0,05
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, τ -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 — коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1.Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W
*
(
z
)находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:
К W
(
s
) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W
*
(
z
) = Z
{
W
(
s
)}. Преобразуем W
(
s
)к виду:
Представим W
(
s
)в виде суммы двух слагаемых
Применим к W
(
s
) Z-преобразование
Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:
где обозначено
Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:
2.Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l+ W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:
В соответствии салгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ1, Т1входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"при которых система будет устойчива и далее принять К0= 0.5К'0. Условия устойчивости будут:
После преобразований и возврата к старым переменным получим:
Получим 07,112. Таким образом, принимаем К0=0.5 К0’=3,56.
1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W
*
(z) делаем замену переменной
В результате этого получим частотную характеристику W
*
(
jλ
)и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L
*
(
λ
) = 20
Lg
|
W
*
(
jλ
)| и фазочастотную характеристику φ*(λ)= argW
*
(
jλ
), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:
>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)
Transfer function:
0.231 z + 0.085
---------------------
z^2 — 1.369 z + 0.369
>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')
Transfer function:
-0.05332 s^2 — 0.1242 s + 0.4616
--------------------------------
s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016
(опция 'tustin’ предназначена для преобразования )
Получаем выражение:
где параметры gи fвидны из вышеприведенного выражения.
Рис 2.2
4.Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:
В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная есквычисляется по формуле:
и следовательно,еск=1,999.
Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0=0, а коэффициент ошибки
Где передаточная функция системы по ошибке.
Тогда получим производную:
Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.
5. При входном воздействии вида v
(
k
) =l[k] переходный процесс взамкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf
— или zpk
-форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c
2
d
при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step
. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode
. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:
и периодом дискретизации γT, то получим
>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:
0.1 s^2 + s
-------------------
0.1 s^2 + s + 3.738
0.2
>> w1=c2d(w0,0.24)
Transfer function:
z^2 — 0.8801 z — 0.1199
------------------------
z^2 — 0.4001 z + 0.09072
Sampling time: 0.24
>> step(W1)
Рис 2.3
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис. 2.4
продолжение
--PAGE_BREAK--