Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №4
по дисциплине
«Использование ЭВМ винженерных расчетах электротехнических систем»
Тема: ЭВМ СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ РЕШЕНИЯСИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №8
Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной внормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменныхсостояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнеговоздействия с использованием переходной матрицы.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменныхсостояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнеговоздействия с использованием функции Mathcad
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменныхсостояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнеговоздействия с использованием преобразования Лапласа
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравненийпри нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевыхначальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
3. Выводы по работе №4.
1. Данные варианта задания
Система линейныхдифференциальных уравнений в форме Коши
/>
Таблица № 1
№
вар Ко э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й Начальные условия
а11
а12
а13
а14
а21
а22
а23
а24
а31
а32
а33
а34
а41
а42
а43
а44
b0
b1
b2
b3
х0(0)
х1(0)
х2(0)
х3(0) 8 -2,4 1,4 1,6 -1,8 -2,6 -12 0,6 4,0 -0,8 -0,85 -0,1 0,2 0,4 1,2 1,0 -1,5 0,1 0,2 0,6 -0.8 5.1
Электротехническая система описывается заданной системой линейныхдифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t):
Матрицы системы:
/>
/>/>
/>
2. Решение системы дифференциальныхуравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
Можнозаписать в виде матричного дифференциального уравнения:
/>
или на основании правила дифференцирования матриц:
/>
Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будемискать в форме
/>
/>здесь /> — общее решение однородной системыдифференциальных уравнений
X(t) — частное решение неоднородной системыдифференциальных уравнений /> .
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
Для определения общего решения системы дифференциальных уравненийнеобходимо:
· найти собственные значения λi матрицы А, используявыражение:
/>
· найти переходную матрицу:
/>
где Р – матрица, составленная из собственных векторов vi матрицы А, которыеопределяются из выражения:
Аvi = λi vi i = 1,2..n /> -одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1 = 1)
Тогда /> причем /> — диагональная матрица.
/> Общеерешение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
/>
Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений ищется:
/>
Общее решениенеоднородной системы дифференциальных уравнений тогда будет иметь вид:
/>
В данной работе мы будем определять аналитические зависимостиизменения переменных состояния системы численными методами с использованиемпереходной матрицы, а также с помощью специальных функций MATHCAD.
2.2 Теоретическое обоснование примененияпреобразования Лапласа
Классический метод решения системы дифференциальных уравненийвысокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно приопределении частного решения неоднородной системы ( при вычислении интеграла).В этом случае целесообразно использовать преобразования Лапласа, чтосущественно упрощает вычисления и дает значительно большую обозримость решения.Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа:
1.Для решениясистемы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходиморешить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именносистему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хi(t).
2.Начальныезначения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываютсяавтоматически, в то время как при применении классического методапредварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений этовесьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы былиудовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еще однойсистемы линейных уравнений. Часто встречающийся на практике случай нулевыхначальных значений приводит при применении преобразования Лапласа к особеннопростым вычислениям.
3.Наконец,важное преимущество заключается в том, что каждая неизвестная функция можетбыть вычислена сама по себе, независимо от вычисления остальных неизвестныхфункций, что при использовании классическим методом при заданных начальных условияхв общем случае невозможно. Это преимущество особенно ценно, когда практическийинтерес представляет определение только одной-единственной, неизвестной,вычисление же остальных неизвестных необязательно.
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитическихзависимостей изменения переменных состояния системы с использованием переходнойматрицы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
Вычисление собственных значений квадратной матрицы А:
Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4
/>
С помощью символьного процессора можно вычислить аналитическизначение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:
· Введите выражение.
· Выделите переменную, относительно которой будет решатьсяуравнение, приравнивающее выражение к нулю.
· Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable / Solve(Переменная / Решить) .
В нашем случае, чтобы найти значения λ, которые являютсякорнями характеристического уравнения запишем выражение в Mathcad.
/>
Для вычисления собственных значений матрицы А можно применить ифункцию eigenvals, ключевое слово float применяется вместе со значением точностивывода результата с плавающей точкой.
/>
Как видно, характеристическое уравнение имеет 4 различных корня,которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждомухарактеристическому числу соответствует свой собственный вектор.Характеристическому числу λ1 соответствует собственный вектор р11; р21;р31; р41; числу λ2 соответствует собственный вектор р12; р22; р32; р42,числу λ3 соответствует собственный вектор р13; р23; р33; р43 числу λ4соответствует собственный вектор р14; р24; р34; р44.
Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь 4 решения.Первое соответствует корню λ1. Второе решение соответствует корню λ2.Третье решение соответствует корню λ3.Четвёртое решение соответствуеткорню λ4.
Преобразующую матрицу Р определяем по матрице А, используядополнительную функцию eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащуюнормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениямматрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному векторуn-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;
/>
Для получения общего решения однородной системы дифференциальныхуравнений необходимо определить по переходной матрице аналитическое выражениеизменения независимых переменных системы.
/>
Также построим график их изменения при заданных начальных условияхи отсутствии внешнего воздействия.
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ееопределитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную поопределению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратнойматрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix(Матрица).
/>
Начальные условия:
/>
С помощью слова complex можно преобразовывать выражения как всимвольном виде, так и с учетом численных значений, если они были ранееприсвоены переменным.
Ф=P*Q*P^-1
/>
Общее решение системы дифференциальных уравнений при заданныхначальных условиях и отсутствии внешнего воздействия:
/>
Тогда получим 4 решения:
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 1.1. Графики изменения переменных состояния системы призаданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
2.3.2 Определение аналитическихзависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальныхусловиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которыепозволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численнымиметодами.
· rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированнымшагом,
· Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
· Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;
o у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;
o t0 — начальная точка расчета,
o t1 — конечная точка расчета,
o M — число шагов, на которых численный метод находит решение;
o D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t ивекторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размераNXI.
Таким образом, воспользуемся функцией Rkadapt (y0, t0, t1, M, D)-получим матрицу решения системы дифференциальных уравнений численным методомРунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M шагах решения и правыми частями уравнений,записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы спомощью встроенной функции Rkadapt выглядит так:
Зададим интервал интегрирования t0 — t1, количество шаговинтегрирования М, вектор заданных начальных условий X0 и правую частьдифференциального уравнения y(t):
/>
/>
/>
/>
/>
Сформируемматрицу системы дифференциальных уравнений:
/>
Применим функцию:
/>
/>
-Интервал времени.
/>
/>
/>
/>
-Значение искомой координаты.
/>/>
/>/>/>
/>
Рисунок 1.2. Графики изменения переменных состояния системы призаданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученные спомощью MATHCAD.
Как видно из графического представления решения, график полученныйс помощью переходной функции такой же как график, полученный с помощью функции MATHCAD.
2.3.3 Определение аналитическихзависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальныхусловиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразованияЛапласа
Заданную систему уравнений преобразуем по Лапласуи найдем переходную матрицу и изображение по Лапласу переменной состояниясистемы:
/>
На основании переходной матрицы определимизображение и оригинал переменных состояния систем:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графики изменения переменных состояния во временной области приотсутствии внешних возмущений и заданных начальных условиях, полученные спомощью преобразования Лапласа представлены на рисунке 7.1.
/>
Рисунок 1.3. Графики изменения переменных состояния системы призаданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученных припомощи преобразования Лапласа.
Как видно рисунок 1.3. совпадает с рисунком 1.1, где неизвестныеполучены с помощью характеристического уравнения системы и рисунком 1.2.-численный метод с использованием функции MATHCAD.
2.4Частное решение неоднородной системыдифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и нулевых начальныхусловиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 2.1. Графики изменения переменных состояния системы при нулевыхначальных условиях и присутствии внешнего воздействия, полученные с помощью MATHCAD.
2.4.2 Решение с применением преобразованияЛапласа
/>
/>
/>
Преобразуем по Лапласу заданную систему уравнений и найдемпереходную матрицу и изображение переменной состояния системы.
B(s) – преобразованный по Лапласувектор-столбец внешних возмущений.
/>
/>
Переходная матрица и изображение переменных состояния системы:
/>
На основание матрицы определим изображение и оригинал переменныхсостояния системы:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Аналогично вычисляем остальные значения x(t)
/>/>
/>
Также применим обратное проеобразование Лапласа, нажав ключевоеслово invlaplace на панели Символика.
/>
Рисунок 2.2.Графики изменения переменных состояния системы при нулевыхначальных условиях и присутствии внешнего воздействия, полученные с помощьюпреобразования Лапласа.
Как видно графики совпадают.
2.5 Частное решение неоднородной системыдифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальныхусловиях
2.5.1 Решение с помощью переходнойматрицы
В качестве примера рассмотрим случай, если на систему действуетвоздействие одного вида, например y=cos(2t) .
Определим аналитические выражения изменения независимых переменныхсистемы и их графическое представление при заданных внешних воздействиях инулевых начальных условиях.
/>
пусть
/>
/>
/>
Рисунок 3.1. Графики изменения переменных состояния системы припри y(t)=cos(2t) и нулевых начальных условиях, полученные способом решения сиспользованием переходной матрицы.
2.5.2 Численный метод решения системыдифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнемвоздействии y=cos(2t) cпомощью MATHCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 3.2. Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и воздействии y=cos(2t)
Как видно из графиковрешения совпадают.
2.5.3 Решение системы дифференциальныхуравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) cпомощью преобразованияЛапласа
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Применив обратное преобразование Лапласа (invlaplace) получим значения x(t), графическое изображение которых нарисунке 3.3. Рисунок совпадает с двумя полученными ранее.
/>
Рисунок 3.3. Графики изменения переменных состояния системы припри y(t)=cos(2t) и нулевых начальных условиях, полученные с помощьюпреобразования Лапласа.
2.6 Решение неоднородной системыдифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и начальныхусловиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 4.1. Графикиизменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях ивоздействии, полученных с помощью функции MATHCAD.
2.6.2 Решение с помощью преобразованияЛапласа
/>
/>
/>
Аналогично получаем значения Х2общ, Х3общ, Х4общ и строим графикизменения переменных системы при заданном внешнем воздействии и начальныхусловиях, полученный с помощью преобразования Лапласа.
/>
Рисунок 4.2. Графикиизменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях ивоздействии, полученных с помощью преобразования Лапласа..
2.6.3 Решение с помощью преобразованияЛапласа (способ второй)
/>
/>
/>
/>
/>
Применив обратное преобразование Лапласа, получим изменениепараметров системы в зависимости от времени.
/>
Рисунок 4.3… Графикиизменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях ивоздействии, полученных с помощью преобразования Лапласа.
Выводы по работе №4
В данной работе были изучены возможности математического пакетаMathCad в среде Windows для решения системы дифференциальных уравнений, чточасто используется в инженерных расчетах электротехнических систем. Быливыполнены решения системы дифференциальных уравнений численным методом и сиспользование преобразования Лапласа, используя математический пакет MathCad.
Классическим методом расчёта является метод расчёта сиспользованием переходной матрицы.
Решение уравнения динамики электротехнической системы с помощьювстроенной функции Rkadapt очень наглядно и быстро. Воспользовавшись функциейRkadapt (y0, t0, t1, M, D)-получим матрицу решения системы дифференциальныхуравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D.
Преобразование Лапласа позволяет преобразовывать дифференциальныеуравнения по t в линейные уравнения по S. Переменные вещественного аргумента t меняется на переменные комплексногоаргумента s. Дифференцирование заменяется умножением на s, повторное- на s в квадрате и т.д.С помощью laplace находим изображенияфункций, описывающих внешние воздействия на систему.
Решение с помощью преобразования Лапласа требует создания переходнойматрицы. Этот вопрос решается очень легко, используя функцию identity из mathcad. Для нахождения изменения параметров системы в зависимости отвремени используется обратное преобразование Лапласа (invlaplace).
Сравнивая графики изменения переменных состояния системы вовременной области видим, что результаты решения системы дифференциальныхуравнений различными методами одни и те же. Однако численный метод решениясистемы дифференциальных уравнений с использованием Mathcad намного проще. То чтографики имеют один и тот же вид подтверждает правильность решения однороднойсистемы дифференциальных уравнений.