Содержание
Введение
1. Условие задачи
2. Математическая модель задачи
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критическихточек
4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel
Выводы
Используемая литература
Введение
В данной работе требуетсярешить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для насвариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощьюспециального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:
— составитьматематическую модель задачи,
— определить исследуемуюфункцию, зависящую от одной переменной,
— построить графикзаданной функции с помощью графического редактора MS Excel,
— исследовать функцию пообщей схеме, найти критические точки,
— найти решение задачи,
— сделать вывод, сравнитьполученные результаты.
1. Условие задачи
Найти высоту конусанаименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.
Поясним, данную задачу графически:
/>
ABС – конус
О – центр, вписанного шара в конус
OН=OК – радиус вписанного шара
ВН – высота конуса
2. Математическаямодель задачи
Введем необходимыеобозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.
Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:
/>
Теперь, воспользуюсьформулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от однойпеременной х – высота конуса.
Объем конуса будетвычисляться по следующей формуле:
/>
Исследуем функцию вида:
/>
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критическихточек
Воспользуемся общейсхемой исследования функции.
/>
1. Найти областьопределения
Функция существует длявсех положительных значений х, такжеподкоренное выражение должнобыть положительным. Решим неравенство:
/>
/>
2. Найти (если этоможно) точки пересечения графика с осями координат.
В нашем случае этоневозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точекпересечения с осями координат данная функция не имеет.
3. Найти интервалызнакопостоянства функции (промежутки, на которых /> или/>).
/> при любом значении /> изобласти определения функции
4. Выяснить являетсяли функция четной, нечетной или общего вида.
Функция /> является четной функцией,т.к.
/>,
но для данной областиопределения /> является функцией общеговида.
5. Найдите асимптотыграфика функции.
Функция не имеет вертикальной,горизонтальной и наклонной асимптот.
6. Найдите интервалымонотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используяпервую производную)
Для этого найдем первую производнуюот заданной функции:
/>/>
Решим уравнение вида:
/>/>
Получим, что при /> функция меняется, т.е. напромежутке />функция монотонно убывает,а на /> монотонно возрастает.
7. Найти экстремумыфункции.
Из пункта 6 следует, что /> точка максимума.
Найдем точки, в которыхфункция не существует:
/>
Найдем значение функции вточке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежуткаобласти определения:
/>
Таким образом, получим,что при высоте конуса /> конус имеет наименьшийобъем, равный
/>.
4. Построение графика искомой функции средствами MSExcel
Для построения графиканеобходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемсяприложением MSExcel: радиус вписанной окружности r= 2 h= 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 Vкон= 5,5 5,353158 5,268761 5,225578 5,2111 5,217492 5,239506 5,273554 5,317067
На основании значений таблицыстроим график заданной функции:
/>
/>
Найдем максимальное иминимальное значения на области определения. Для этого воспользуемсясортировкой. максимум 5,5 минимум 5,211111
Как мы видим, функциядостигает минимума V=5,2111 призначении х=4,9.
Решим задачу, пользуясьнадстройкой «поиск решения». Выполним следующие действия:
Введем в любую ячейкуцелевую функцию
/>
2. В меню Сервис выберемкоманду Поиск решения.
В появившемся окне ужеустановлена целевая ячейка.
Отмечаем флажок в поле«равной» на «минимальному значению», т.к. наша функция стремится к минимуму.
В поле «Изменяя ячейки»выбираем любую, пустую ячейку.
Нажимаем кнопку«выполнить», не меняя других параметров.
/>
3. Просматриваемполученный результат.h= 4,91485421 Vкон= 5,21089007
Т.е. при высоте конуса х=4,91485палатка имеет наименьший объем, равный 5,21089.
Вывод
В данной работе выполненывсе поставленные цели и задачи. В ходе выполнения были сделаны следующиевыводы.
Решив данную задачу,двумя способами, мы получили равные результаты.
В первом случае, впроцессе решения задачи самостоятельно, мы потеряли достаточное количествовремени, сохраняя большой риск ошибки в вычислениях.
Во втором же, решениезадачи с помощью MS Excel, мы достигли того же результатаминимизируя недостатки за считанные минуты.
Во время всеобщейкомпьютеризации, все пытаются облегчить себе процесс работы, и этодействительно работает.
Используемая литература
1. Журнал«Информатика и образование» № 12,2007.
2. Журнал«Информатика и образование» № 4,2008.
3. БурдюковаЕ.В.Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.
4. Письменный Д.Т.конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2007.
5. Практическиезадания и методические рекомендации по использованию информационных технологий.Хабаровск: ХК ИППК ПК,2003.