Федеральноеагентство по образованию
ТульскийГосударственный педагогический университет
имени Л. Н.Толстого
Кафедраинформационных технологий
Курсоваяработа
Решениелинейных интегральных уравнений
студента 4 курса группы В
специальности 351500 – МОиАИС
Селиванова Сергея Валериевича
Тула – 2008
Оглавление
Введение
1. Теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений
2. Практическая часть по решению линейных интегральныхуравнений
Заключение
Используемые источники
Введение
В данной курсовой работерассмотрена проблема решения линейных интегральных уравнений. Целью курсовойработы было написание функции, которая по введенным данным (ядруинтегрирования, правой части уравнения и отрезку интегрирования) могла бынаходить решения линейного интегрального уравнения. Проблема разработкиалгоритма решения и написании на его основе функции является практическиактуальной, так как решение линейных интегральных уравнений без привлечения ЭВМявляется достаточно трудоемким.
Данная курсовая работасостоит двух частей.
В первой части приведенатеоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений, включающая основныелеммы и теоремы по теме данной курсовой, дающие научную основу для разработкиалгоритма решения линейных интегральных уравнений и написании на его основе функции.
Во второй главе приводитсяалгоритм решения линейного интегрального уравнения и, написанной на его основе,функции.
1. Теоретическая часть по решениюлинейных интегральных уравнений
Существует множествометодов решений линейных интегральных уравнений. Рассмотрим один из них – методитераций.
Рассмотрим краткоеуравнение Фредгольма второго рода:
/> (1)
Будем предполагать, чтосвободный член и ядро этого уравнения принадлежат соответствующим классам /> и />. Уравнение (1) будем также записывать кратко в виде
/>, (2)
где интегрированиераспространенно на единичный r-мерныйкуб Gr.
Лемма 1. Если />
/>и /> (3)
то при />решение уравнения (2)удовлетворяет соотношению
/>,
где функция определена равенством
/> (4)
Принадлежит классу/>.
Доказательство.
Известно, что придостаточно малом/>λ решениеуравнения (2) можно представить в виде ряда
/>
где Grv-единичный rv-мерный куб. пусть величина Rn определена равенством
/> .
Тогда пользуясьопределением функции F(P,Q1,…,Qn) получим
/>(5)
Обозначим через С(m1,…,mr) коэффициенты Фурье функции f(P). Так как, по условию, f(P) />,то
/>
Аналогичная оценкасправедлива, очевидно, и для ядра K(P,Q) уравнения (2) />.
Но тогда
/>
и, следовательно,
/>
/>
получим
/>,
/>.
Отсюда в силу (5) следуетпервое из утверждений леммы:
/>.
Перейдем теперь кдоказательству второго утверждения. Так как f(P)/> и K(P,Q)/>, то,аналогично рассуждениям леммы 12 (1, с.61) легко показать, что
/> (6)
Где,
/>
В отличие от остальныхсомножителей, первый сомножитель в соотношении (6) рассматривается как функция r переменных, соответствующих величине Q1, а не как функция всех своих переменных.
/>Далее,рассматривая каждую из функций (v=1,2,…,n)
/>Какфункцию всех rn переменных, соответствующих n величинам Q1,…,Qn, согласно первому утверждению леммы 12 (1, с.61) получим, что функция принадлежитклассу />, где
/>.
Но в силу (6)
/>
/>
и, следовательно,
/>.
Чем лемма 1 доказанаполностью.
Пусть, как и выше f(P)/> и K(P,Q)/>,
/> (7)
и величина γ0определена равенством (3)
Покажем, что дляприближённого решения уравнения (7) можно использовать квадратные формулы снеравномерными сетками.
Теорема 1. Пусть p- простое число, N=p,/> и величина n определена равенством
/>
Тогда при произвольномалом ε для решения уравнения (7) выполняется асимптотическое равенство
/>
где
/>
Доказательство.
Пусть функция Φпринадлежит классу /> и σ-сумма модулейеё коэффициентов Фурье. Тогда согласно теореме 15 (1, с.94) справедлива квадратурнаяформула
/>, (8)
где
/> (9)
Выберем в лемме 1 />. Тогда при />для решения уравненияполучим
/> (10)
где согласно (4)функция F(P,Q1,…,Qn) определена равенством F(P,Q1,…,Qn)=/>и принадлежит классу/>.
Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки Mk,v определены равенством
/>.
Выберем p настолько большим, чтобы выполнялись неравенства n≥1 и N≥rn
Тогда применяяквадратичную формулу (8) получим
/>
/> (11)
где в силу (9)
/> (12)
Пользуясь определением n и />, получим
/>.
/>.
Следовательно,
/>, />, />.
В силу (12)
/>
Но тогда из (10) и (11)следует, что
/>
Отсюда, пользуясь оценкой
/>,
получаем утверждениетеоремы.
Результат, полученный втеореме 1, можно усилить, если воспользоваться методом оптимальныхкоэффициентов.
Лемма 2. Для всякогопростого p существуют оптимальные коэффициенты a1,…,as такие, что каково бы ни было a>1+ε1, при любом ε1/>(0;1) выполняется оценка
/>
Доказательство.
Пусть z-произвольное целое из интервала Определимфункцию Тs(z) равенством
/>
/>
Пусть при z=a достигается минимум этой функции. Тогда, очевидно,
/> (13)
Так согласно лемме 1(1, с.21)
/>,
то при произвольном ε> 0 получим из (13),
/>
Отсюда следует, что
/> (14)
Введём обозначения
/>
Так из (14) в силуопределения величины Ts(a) следует оценка
/> (15)
то пользуясь неравенством,получим
/> (16)
Чтобы оценить суммуΣ2, заметим, что для нетривиальных решений сравнения
/> (17)
Выполняется неравенство
/> (18)
Действительно, согласноопределению величины δp(m) в левой части неравенства (14)отличны от нуля только такие слагаемые, для которых m1,…,ms является нетривиальным решением сравнения (5.43). так как любое из этихслагаемых не превосходит всей суммы, то для каждого нетривиального решениясравнения получим
/>,
Чем неравенство (5.44)доказано.
Пусть функция φ(m1,…,ms) определена равенствами
/>
Тогда пользуясь леммой 18(1, c.101), получим
/>
/>. (19)
Обозначим через q минимальное значение произведения />, где m1,…,ms –произвольное нетривиальное решение сравнения (17).
Тогда, выбирая в лемме 26(1, с.151)
/>,
получим, что при любыхнатуральных m1,…,ms, удовлетворяющих условию m1,…,ms/>p, выполняется оценка
/>.
Пользуясь этой оценкой изамечая, что в силу (18)
/>
при любом ε ≤ a-1 положительном получим из (19)
/> (20)
Выберем av=av-1(v=1,2,…,s) (21)
тогда, пользуясь оценками(16) и (20), при /> получимнеравенство, указанное в лемме:
/>
Для завершениядоказательства леммы остается убедиться, что величины />, определенные равенством (21),являются оптимальными коэффициентами.
Действительно, из (5.39),пользуясь леммой 1(1, c.21)получим
/>
Переписывая эту оценку ввиде
/>
убеждаемся, что целые av=av-1 будут оптимальными коэффициентами,чем лемма 2 доказана полностью.
Следствие. Если Ф/>, то, каково бы ни было /> дляпогрешности квадратурной формулы
/>
построенной при N=p с помощью оптимальных коэффициентов, указанных в лемме 2,справедлива оценка
/>,
Действительно, пользуясьлеммами 19 (1, с.106) и 2, получим утверждение следствия
/>
Пусть α>0, />, p — простое, N=p, a1,…as – оптимальныекоэффициенты по модулю p,удовлетворяющие условию леммы 2, и величины γ0, n определеныравенствами
/> (22)
Теорема 2 Если/>, топри произвольно малом для решения уравнения
/>/> (23)
выполняется равенство
/>
где
/> (24)
Доказательство.
Выберем в лемме 1/> , где γ0определено первым из равенств (22). Тогда для решенияуравнения (23) получим
/> (25)
где функция F(P,Q1,…,Qn) определена равенством
/>
И принадлежит классу />
Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки Mk,v определены равенством (24). Тогда согласно квадратурной формуле, указанной в следствиилеммы 2, при s=rn и /> справедливо равенство
/>
/> (26)
/>(27)
Пользуясь равенствами (22),получим
/>
/>
Но тогда
/>
и, следовательно
/>
Пользуясь этой оценкой,из (25) и (26) получим
/>
Отсюда, так как в силувыбора n выполняется оценка
/>
Следует утверждениетеоремы.
2. Практическая часть по решению линейныхинтегральных уравнений
Для написания функции,находящей решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм.Представим алгоритм в виде блок-схемы.
/>
/>
/>
/>
/>
y[i]=B[i,m]; />/>
Используя даннуюблок-схему, напишем соответствующую функцию.
Функция решения линейныхинтегральных уравнений будет реализована на С++.
boolsolvefredholm2(const double& a,
constdouble& b,
const int&n,
ap::real_1d_array&y,
constdouble& epsilon)
{
bool result;
double h;
double t;
double m1;
double x;
ap::real_2d_arraysmat;
int i;
int j;
int u;
int k1;
int m;
smat.setbounds(1,n, 1, n+1);
y.setbounds(1,n);
h =(b-a)/(n-1);
i = 1;
do
{
x = a+(i-1)*h;
smat(i,n+1) =f(x);
j = 1;
do
{
smat(i,j) =-h*k(x, a+(j-1)*h);
if( j==1||j==n)
{
smat(i,j) =smat(i,j)/2;
}
if( j==i )
{
smat(i,j) =1+smat(i,j);
}
j = j+1;
}
while(j
i = i+1;
}
while(i
y.setbounds(1,n);
result = true;
for(i = 1; i
{
k1 = i;
m1 =fabs(smat(i,i));
for(j = i+1; j
{
if(m1
{
m1 =fabs(smat(j,i));
k1 = j;
}
}
if(fabs(m1)>=epsilon )
{
for(j = i; j
{
t = smat(i,j);
smat(i,j) =smat(k1,j);
smat(k1,j) =t;
}
for(k1 = i+1;k1
{
t =smat(k1,i)/smat(i,i);
smat(k1,i) =0;
for(j = i+1; j
{
smat(k1,j) =smat(k1,j)-t*smat(i,j);
}
}
}
else
{
result =false;
break;
}
}
if( result )
{
i = n;
do
{
y(i) =smat(i,n+1);
j = i+1;
while(j
{
y(i) =y(i)-smat(i,j)*y(j);
j = j+1;
}
y(i) =y(i)/smat(i,i);
i = i-1;
}
while(i>=1);
}
return result;
}
Данная функция решает интегральноеуравнение Фредгольма второго рода, заданное ядром интегрирования K(X,S) иправой частью F(X), на отрезке [A, B] методом итераций.
Результат помещается вмассив Y с номерами элементов от 1 до N, где 1 соответствует A, N соответствуетB.
Epsilon — малое число,передаваемое для сравнения с нолем в ходе решения получаемой системы уравнений.
Для работы этой функциинеобходима библиотека ap.h
Заключение
В заключение даннойкурсовой хотелось бы отметить, что был составлен алгоритм, и на его основенаписана функция для решения линейных интегральных уравнений методом итераций.Эта функция может стать основой для написания целой системы, которая будетрешать задачи нахождения решения линейных интегралов.
Список использованных источников и литературы
1. Коробов, Н. М.Теоретико-числовые методы в приближенном анализе/ Н. М. Коробов. –М.: 2003. — 316с.
2. Коробов, Н. М. Оприближенном решении интегральных уравнений/
Н. М. Коробов. –ДАН СССР, 1959.
3. alglib.sources.ru