Содержание
Введение
Условие задачи
Математическая модель задачи
Аналитическое исследование функции. Нахождение критическихточек
Построение графика искомой функции средствами MS Excel
Вывод
Используемая литература
/>Введение
В данной работе требуется решить математическую задачу двумяспособами, один — это привычный для нас вариант, с помощью математическихисследований, а второй — с помощью специального офисного приложения MS Excel. Дляэтого нам необходимо:
составить математическую модель задачи,
определить исследуемую функцию, зависящую от однойпеременной,
построить график заданной функции с помощью графическогоредактора MS Excel,
исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,
найти решение задачи,
сделать вывод, сравнить полученные результаты.
/>Условие задачи
Кривая полных издержек имеет вид /> (гдех — объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средниеиздержки минимальны.
Математическая модель задачи
Целью любого производителя является максимизация прибыли. Главнымпрепятствием к достижению этого является спрос на готовую продукцию и издержкипроизводства.
Средние издержки — это издержки на единицу продукций.
Средние постоянные издержки (AFC) определяются путем делениясуммарных постоянных издержек (TFC) на соответствующее количество произведеннойпродукций (Q).
AFC = TFC / Q
Так как постоянные издержки по определению не зависят отобъема выпускаемой продукций, то и средние постоянные издержки будутуменьшаться с увеличением объема производства
Средние переменные издержки (AVC) определяются путем делениясуммарных переменных издержек (TVC) на соответствующее количество произведеннойпродукций Q.
AVC = TVC / Q
AVC сначала падают, достигают своего минимума, а затемначинают расти. Такой наклон кривой объясняется законом убывающей доходности т.е.до четвертой единицы предельные издержки падают, следовательно и AVC так жебудут падать, а начиная с пятой единицы как TVC так и AVC начинают возрастать.
Средние общие издержки (ATC) рассчитываются при помощиделения общих издержек TC на объем произведенной продукций Q или жесоотношением AFC и AVVC для каждого из возможных способов производства.
ATC = TC / Q = AFC + AVC
Введем необходимые обозначения и составим исходную функциюот одной переменной.
Получим, что средние издержки будут вычисляться по формуле:
/>
Т. е. исследуем функцию вида:
/>/>Аналитическое исследованиефункции. Нахождение критических точек
Воспользуемся общей схемой исследования функции.
/>
1. Найти область определения
Областью определения будут числа больше 0, т.к объемпроизводства должен быть положительным, т.е. />.Получим, что
/>
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика сосями координат.
В нашем случае это невозможно, т.к />, а решая квадратноеуравнение вида /> получаем мнимыекорни (т.е. дискриминант меньше 0), следовательно, точек пересечения с осямикоординат нет.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки,на которых /> или />). Координаты вершиныпараболы (3;
6), значит, /> при/>, и /> при />.
4. Выяснить является ли функция четной, нечетной илиобщего вида.
Функция /> являетсяфункцией общего вида, т.к
/>
5. Найдите асимптоты графика функции.
Функция /> неимеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.
6. Найдите интервалы монотонности функции.
Для этого найдем первую производную от заданной функции:
/>/>
Решим уравнение вида:
/>/>
Получим, что в точке /> функцияменяется, т.е. на промежутке /> функциямонотонно убывает, а на /> возрастает.
7. Найти экстремумы функции.
Из пункта 6 следует, что точка /> являетсякритической, т. е экстремумом. Причем, /> -точка минимума.
Найдем значение функции в критической точке:
/>
8. Найти точки перегиба функции.
Для этого найдем вторую производную от заданной функции:
/>/>
Производная второго порядка, целое постоянное число, значит,точек перегиба функция не имеет.
Таким образом, получим, что при объеме производства /> средние издержки будутминимальными.
/>Построение графика искомойфункции средствами MS Excel
Для построения графика необходимо составить таблицу значенийпеременной и функции. Воспользуемся приложением MS Excel:
Таблица значенийРасстояние от ближайшей точки на шоссе до искомой Расстояние от искомой точки на шоссе до населённого пункта Расстояние от буровой до искомой точки на шоссе по полю Время движения курьера по полю Время движения курьера по шоссе Общее время в пути 15 9 1,125 1,5 2,625 0,5 14,5 9,013878189 1,126734774 1,45 2,576734774 1 14 9,055385138 1,131923142 1,4 2,531923142 1,5 13,5 9,124143795 1,140517974 1,35 2,490517974 2 13 9,219544457 1,152443057 1,3 2,452443057 2,5 12,5 9,340770846 1,167596356 1,25 2,417596356 3 12 9,486832981 1,185854123 1,2 2,385854123 3,5 11,5 9,656603958 1, 207075495 1,15 2,357075495 4 11 9,848857802 1,231107225 1,1 2,331107225 4,5 10,5 10,0623059 1,257788237 1,05 2,307788237 5 10 10,29563014 1,286953768 1 2,286953768 5,5 9,5 10,54751155 1,318438944 0,95 2,268438944 6 9 10,81665383 1,352081728 0,9 2,252081728 6,5 8,5 11,10180166 1,387725207 0,85 2,237725207 7 8 11,40175425 1,425219281 0,8 2,225219281 7,5 7,5 11,71537451 1,464421814 0,75 2,214421814 8 7 12,04159458 1,505199322 0,7 2, 205199322 8,5 6,5 12,3794184 1,5474273 0,65 2, 1974273 9 6 12,72792206 1,590990258 0,6 2, 190990258 9,5 5,5 13,08625233 1,635781541 0,55 2,185781541 10 5 13,45362405 1,681703006 0,5 2,181703006 10,5 4,5 13,82931669 1,728664586 0,45 2,178664586 11 4 14,2126704 1,7765838 0,4 2,1765838 11,5 3,5 14,60308187 1,825385233 0,35 2,175385233 12 3 15 1,875 0,3 2,175 12,5 2,5 15,4029218 1,925365225 0,25 2,175365225 13 2 15,8113883 1,976423538 0,2 2,176423538 13,5 1,5 16,22498074 2,028122592 0,15 2,178122592 14 1 16,64331698 2,080414622 0,1 2,180414622 14,5 0,5 17,06604817 2,133256021 0,05 2,183256021 15 17,49285568 2,186606961 2,186606961
На основании таблицы строим графикфункции:
/>
/>
Найдем максимальное и минимальноезначения. Для этого воспользуемся сортировкой. минимум 2,175 максимум 2,625
Решим задачу, пользуясь надстройкой «поиск решения».Выполним следующие действия:
1. Введем в любую ячейку целевую функцию
/>
2. В меню Сервис выберем команду Поиск решения.
В появившемся окне уже установлена целевая ячейка.
Отмечаем флажок в поле «равной» на «минимальномузначению», т.к наша функция стремится к минимуму.
В поле «Изменяя ячейки» выбираем любую ячейку сзаранее введенной единицей.
Нажимаем кнопку «выполнить», не меняя параметров.
/>
3. Просматриваем полученный результат. х = 3 2,175
Т. е. курьер должен двигаться вточку, удаленную на 3км от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровойточке шоссе.
/>Вывод
В данной работе выполнены все поставленные цели и задачи. Входе выполнения были сделаны следующие выводы.
Решив данную задачу, двумя способами, мы получилипрактически равные результаты.
В первом случае, в процессе решения задачи самостоятельно, мыпотеряли достаточное количество времени, сохраняя большой риск ошибки ввычислениях.
Во втором же, решение задачи с помощью MS Excel, мы достигли того жерезультата минимизируя недостатки за считанные минуты.
Во время всеобщей компьютеризации, все пытаются облегчитьсебе процесс работы, и это действительно работает.
/>Используемая литература
1. Бурдюкова Е.В. Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.
2. Журнал «Информатика и образование» № 12, 2007.
3. Журнал «Информатика и образование» № 4, 2008.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2007.
5. Практические задания и методические рекомендации по использованиюинформационных технологий. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.