/>/>/>/>1. Рабочее окно MathCAD
· Панель Математика(рис. 1.4).
/>
Рис. 1.4. ПанельМатематика
При щелчке на кнопкематематической панели инструментов открывается дополнительная панель:
/> Панель калькулятора
/> Панель исчислений
/> Панель графики
/> Булевая панель
/> Панель векторов и матриц
/> Панель греческих символов
/> Панель оценки
/> Панель программирования />/>/>/>
2. Элементы языка MathCAD
К основным элементамматематических выражений MathCADотносятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.
2.1Операторы
Операторы — элементы MathCAD, с помощьюкоторых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятсясимволы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений,производной, интеграла и т.д.
Оператор определяет:
а) действие, котороедолжно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;
б) сколько, где и какиеоперанды должны быть введены в оператор.
Операнд — число или выражение, на котороедействует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 — операндыоператора «+» (плюс), а число 5 — операнд факториала (!).
Любой оператор в MathCADможно ввести двумя способами:
· нажав клавишу(сочетание клавиш) на клавиатуре;
· используяматематическую панель.
Для присвоения или выводасодержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующиеоператоры:
/> — знак присвоения (вводитсянажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладкеклавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панелиКалькулятор);
Такоеприсвоение называется локальным. До этого присваивания переменная неопределена и ее нельзя использовать.
/> — глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться влюбом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образомзначение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в началедокумента.
/> — оператор приближенного равенства (x1).Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; наклавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатиемсоответствующей кнопки на Булевой панели.
= — оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы илипеременной.
Простейшиевычисления
Процесс вычисленияосуществляется при помощи:
/> ПанелиКалькулятора, /> Панели Исчислений и /> Панели Оценки.
Внимание. Если необходимо поделить всевыражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел наклавиатуре или поместив в скобки.
2.2 Константы
Константы— поименованные объекты, хранящие некоторые значения,которые не могут быть изменены.
Например, p = 3.14.
Размерные константы— это общепринятые единицы измерения. Например, метры,секунды и т.д.
Чтобы записать размернуюконстанту, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставкаподпункт Юнит. В измерениях наиболее известные вам категории: Length — длина (м, км, см); Mass — вес (гр, кг, т); Time — время (мин, сек, час).
2.3Переменные
Переменныеявляются поименованными объектами,имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполненияпрограммы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значенияпеременным задаются с помощью знака присвоить (: =).
Внимание. MathCAD прописные и строчные буквывоспринимает как разные идентификаторы.
Системные переменные
В MathCAD содержитсянебольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант,ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запускапрограммы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL [0.001]-погрешность числовых расчетов, ORIGIN [0] — нижняя граница значенияиндекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным принеобходимости можно задать другие.
Ранжированныепеременные
Эти переменные имеют рядфиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определеннымшагом от начального значения до конечного.
Для созданияранжированной переменной используется выражение:
Name =Nbegin,(Nbegin+Step)..Nend,
где Name — имя переменной;
Nbegin — начальное значение;
Step — заданный шаг изменения переменной;
Nend — конечное значение.
Ранжированные переменныешироко применяются при построении графиков. Например, для построения графиканекоторой функции f(x) прежде всего необходимо создать рядзначений переменной x — дляэтого она должна быть ранжированной переменной.
Внимание. Если в диапазонеизменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет егоравным 1.
Пример. Переменная x изменяется в диапазоне от –16 до +16с шагом 0.1
Чтобы записатьранжированную переменную, нужно ввести:
— имя переменной (x);
— знак присвоения (:=)
— первое значениедиапазона (–16);
— запятую;
— второе значениедиапазона, которое является суммой первого значения и шага (–16+0.1);
— многоточие (..) —изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки сзапятой в английской раскладке клавиатуры);
— последнее значениедиапазона (16).
В результате у васполучится: x := –16,–16+0.1..16.
Таблицы вывода
Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенстваинициирует таблицу вывода.
В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения икорректировать их.
Переменная с индексом
Переменная с индексом — это переменная,которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которыхимеет свой номер (индекс).
Ввод индекса осуществляется нажатием левойквадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки xnна панели Калькулятор.
В качестве индекса можно использовать как константу, так ивыражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементымассива, разделяя их запятыми.
Пример. Ввод индексных переменных.
i:= 0..2 — индекс изменяется от 0 до 2 (индексная переменнаябудет содержать 3 элемента).
/> — ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;
/> — вывод значения первого элемента вектора S;
/> — вывод значения нулевого элемента вектора S.
2.4 Массивы
Массив—имеющая уникальное имя совокупность конечногочисла числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом иимеющих определенные адреса.
В пакете MathCAD используются массивы двух наиболеераспространенных типов:
- одномерные(векторы);
- двухмерные(матрицы).
Вывестишаблон матрицы или вектора можно одним из способов:
· выбрать пунктменю Вставка - Матрица;
· нажать комбинациюклавиш Ctrl+ M;
· нажать кнопку /> на Панеливекторов и матриц.
В результатепоявится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:
/>
Rows — число строк
Columns — число столбцов
Если матрице(вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем— оператор присвоения и после — шаблон матрицы.
/>/>/>/>Например:
/>/>/>
Матрица — двухмерный массив с именем Мn,m, состоящий из n строк и mстолбцов.
С матрицамиможно выполнять различные математические операции.
2.5 Функции
Функция — выражение, согласно которомупроизводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовоезначение. Примеры функций: sin(x), tan(x) и др.
Функции впакете MathCAD могут быть как встроенными, так иопределенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:
· Выбрать пунктменю Вставка – Функция.
· Нажать комбинациюклавиш Ctrl+ E.
· />Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.
· Набрать имя функциина клавиатуре.
Функциипользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того жевыражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:
· ввести имяфункции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f(x);
· ввести операторприсвоения (:=);
· ввестивычисляемое выражение.
Пример. f(z):= sin(2z2)/>/>/>
3. Форматирование чисел
В MathCAD можно изменить формат вывода чисел.Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран невсе значащие цифры. Чтобы изменить формат числа,необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окноформатирования чисел, открытое на вкладке NumberFormat (Формат чисел) со следующимиформатами:
o General (Основной) — принят по умолчанию.Числа отображаются с порядком (например, 1.22´105). Число знаковмантиссы определяется в поле ExponentialThreshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога числоотображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Numberofdecimalplaces.
o Decimal (Десятичный) — десятичноепредставление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).
o Scientific (Научный) — числа отображаютсятолько с порядком.
o Engineering (Инженерный) — числа отображаютсятолько с порядком, кратным трем (например, 1.22´106).
Внимание. Если после установления нужногоформата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок, формат установится только для выделенного числа. Аесли выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всемчислам данного документа.
Автоматическичисла округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порогустанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для тогочтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование– Результат и во вкладке Tolerance, в поле Zerothresholdввести необходимое значение порога.
/>/>/>/>4.Работа с текстом
Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которыепользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения,ссылки, комментарии и т.д. Они вставляются при помощи пункта меню Вставка– Текстовый регион.
Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер,начертание, выравнивание и т.д. Для этого нужно его выделить и выбратьсоответствующие параметры на панели шрифтов или в меню Форматирование–Текст./>/>/>/>
5.Работа с графикой
При решении многих задач,где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построенииее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенномпромежутке.
В системе MathCAD существует возможность построения различныхвидов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков,поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиковвекторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них./>/>/>/>5.1 Построение двухмерных графиков
Для построениядвухмерного графика функции необходимо:
· задать диапазонзначений аргумента;
· задать функцию;
· установить курсорв то место, где должен быть построен график, на математической панели выбратькнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопкуX-Y Plot (двухмерный график);
· в появившемсяшаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник сметками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на местецентральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);\
Имя переменной />
Имя функции />/>
Рис. 2.1. Шаблондвухмерного графика
щелкнуть мышью внешаблона графика — график функции будет построен.
Диапазон измененияаргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.
Пусть необходимопостроить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующимобразом:
t:= –2, –1.8… 2,
где: –2 — начальноезначение диапазона;
–1.8 (–2 + 0.2) — второезначение диапазона (начальное значение плюс шаг);
2 —конечное значение диапазона.
!
Внимание. Многоточие вводится нажатием точки сзапятой в английской раскладке клавиатуры.
Пример. Построение графика функции y= x2 на интервале [–5,5] с шагом 0.5 (рис.2.2).
/>
Рис. 2.2. Построениеграфика функции y = x2
При построении графиковнеобходимо учитывать следующее:
° Если диапазонзначений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [–10,10].
° Если в одномшаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываютсячерез запятую.
° Если две функцииимеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на осиординат (Y) через запятую указываются именафункций, а по оси абсцисс (X) —имена обеих переменных тоже через запятую.
° Крайние меткиданных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс иординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти меткинезаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматическиймасштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значенияабсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.
Примечание. Если после построения график непринимает нужный вид, можно:
· уменьшить шаг.
· изменить интервалпостроения графика.
· уменьшить награфике предельные значения абсцисс и ординат.
Пример. Построение окружности с центром вточке (2,3) и радиусом R = 6.
Уравнение окружности сцентром в точке с координатами (x0,y0) и радиусом R записывается в виде:
/>
Выразим из этогоуравнения y:
/>
Таким образом, для построенияокружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности.Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:
- начальноезначение диапазона = x0– R;
- конечное значениедиапазона = x0+ R;
- шаг лучше взятьравным 0.1 (рис. 2.3.).
/>
Рис. 2.3. Построениеокружности
Параметрический графикфункции
Иногда бывает удобнеевместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y, рассматривать так называемые параметрическиеуравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций отнекоторой переменной величины t(параметра): x(t) и y(t).При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываютсяимена функций одного аргумента.
Пример. Построение окружности с центром вточке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнениеокружности
x = x0 + Rcos(t)y = y0 + Rsin(t)(рис. 2.4.).
/>
Рис.2.4. Построениеокружности
Форматированиеграфиков
Чтобы отформатироватьграфик, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговоеокно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматированияграфика:
— X-YAxes— форматирование осей координат. Установив нужные флажкиможно:
· LogScale— представить численные значения на осях влогарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейноммасштабе)
· GridLines— нанести сетку линий;
· Numbered— расставить числа по координатным осям;
· AutoScale— автоматический выбор предельных численных значений наосях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленныезначения);
· ShowMarker — нанесение меток на график в видегоризонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанномузначению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой осипоявляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводитьничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);
· AutoGrid — автоматический выбор числа линийсетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);
· Crossed— ось абсцисс проходит через нуль ординаты;
· Boxed— ось абсцисс проходит по нижнемукраю графика.
— Trace — форматирование линии графиковфункций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:
· символ (Symbol) на графике для узловых точек(кружок, крестик, прямоугольник, ромб);
· вид линии (Solid — сплошная, Dot — пунктир, Dash — штрихи, Dadot —штрих-пунктир);
· цвет линии (Color);
· тип (Туре) графика (Lines — линия, Points — точки, Ваr или Solidbar — столбики, Step — ступенчатый график и т.д.);
· толщинулинии (Weight).
— Label — заголовок в области графика. В поле Title(Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение — вверху иливнизу графика (Above —вверху, Below — внизу). Можно вписать, если надо,названия аргумента и функции (Axis Labels).
— Defaults — с помощью этой вкладки можно вернутьсяк виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вамиизменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данногодокумента (Use for Defaults)./>/>/>/>5.2 Построение полярных графиков
Для построения полярногографика функции необходимо:
· задать диапазонзначений аргумента;
· задать функцию;
· установить курсорв то место, где должен быть построен график, на математической панели выбратькнопку Graph (график) и в открывшейся панеликнопку Polar Plot (полярный график);
· в местах вводапоявившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имяфункции (слева).
Пример. Построение лемнискаты Бернулли: />/> (рис. 2.6.)
/>
Рис.2.6. Примерпостроения полярного графика/>/>/>/>5.3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики)
При построении трехмерныхграфиков используется панель Graph(График)математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера,вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значенийфункции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можновызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для созданиямассива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный методпостроения трехмерного графика.
Быстрое построениеграфика
Для быстрого построениятрехмерного графика функции необходимо:
· задать функцию;
· установить курсорв то место, где должен быть построен график, на математической панели выбратькнопку Graph (График) и в открывшейся панеликнопку /> (Поверхностныйграфик);
· в единственноеместо шаблона введите имя функции (не указывая переменные);
· щелкнуть мышьювне шаблона графика — график функции будет построен.
Пример. Построение графика функции z(x,y)= x2 + y2 – 30 (рис. 2.7).
/>
Рис. 2.7. Пример быстрогопостроения поверхностного графика
Построенным графикомможно управлять:
° вращение графикавыполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопкемыши;
° масштабированиеграфика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременномнажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);
° анимация графикавыполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращениеграфика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановкивращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.
Существует возможностьпостроения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимозадать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.
При быстром построении графикапо умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от –5 до +5 ичисло контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:
· дважды щелкнутьпо графику;
· в открывшемсяокне выбрать вкладку Quick Plot Data;
· ввести новыезначения в области окна Range1— для первого аргумента и Range2— для второго аргумента (start —начальное значение, end — конечноезначение);
· в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;
· щелкнуть накнопке Ок.
Пример. Построение графика функции z(x,y)= –sin(x2 + y2) (рис. 2.9).
При построении этогографика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от –2 до +2.
/>
Рис. 2.9. Примерпостроения графика функции z(x,y) = –sin(x2 + y2)
Форматированиетрехмерных графиков
Дляформатирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения —появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance,General,Axes,Lighting,Title,Backplanes,Special, Advanced, QuickPlotData.
Назначение вкладки QuickPlotData было рассмотрено выше.
Вкладка Appearance позволяет менять внешний видграфика. Поле FillOptions позволяет изменить параметрызаливки, поле LineOption — параметры линий, Point Options — параметры точек.
Во вкладке General(общие) в группе View можно выбрать углы поворотаизображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Displayasможно поменять тип графика.
Во вкладке Lighting (освещение) можно управлятьосвещением, установив флажок EnableLighting (включить освещение) и переключатель On(включить). Одна из 6-ти возможных схем освещениявыбирается в списке Lightingscheme(схемаосвещения)./>/>/>/>
6. Способы решенияуравнений в MathCAD
В данномразделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x) = 0. Решить уравнение аналитически — значит найтивсе его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнениеполучим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точкипересечения графика функции с осью ОХ./>/>/> 6.1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)
Для решений уравнения с однимнеизвестным вида F(x) = 0 существует специальная функция
root(f(x),x),
где f(x)— выражение, равное нулю;
х — аргумент.
Эта функция возвращает с заданнойточностью значение переменной, при котором выражение f(x) равно 0.
!
Внимание. Если правая часть уравнения ¹0, то необходимо привести его кнормальному виду (перенести все в левую часть).
Передиспользованием функции rootнеобходимозадать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то дляотыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.
!
Внимание. Перед решением желательно построитьграфик функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), иесли есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе кточке пересечения.
Пример. Решение уравнения /> с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Передтем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнениепримет вид: />.
/>
Рис. 3.1.Решение уравнения при помощи функции root/>/>/> 6.2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots(v)
Для одновременногонахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots(v), где v — векторкоэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя.В отличиеот функции root функция Polyroots не требует начального приближения.
Пример. Решение уравнения /> с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.
/>
Рис. 3.2.Решение уравнения с помощью функции polyroots
/>/>/>6.3 Решение уравнений с помощью функцииFind(x)
Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given– Find использует расчетную методику,основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданнойпользователем.
Если задано уравнение f(x) = 0, то его можно решить следующим образом с помощьюблока Given– Find:
– задать начальное приближение
x:= х0
– ввести служебное слово
Given
– записать уравнение, используя знак жирное равно
/>
– написать функцию find с неизвестной переменной в качествепараметра
find(x)=
В результате после знака равновыведется найденный корень.
Если существует несколько корней, тоих можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.
Пример. Решение уравнения /> с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.
/>
Рис. 3.3.Решение уравнения с помощью функции find
Иногдавозникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точкипересечения функции с осью Ox).Для этого необходимо:
· указать значение x данной точки (по оси Ох) и значениефункции в этой точке (по оси Оy);
· дважды щелкнутьпо графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбратьтип графика — points, толщину линии — 2 или 3.
Пример. На графике отмечена точка пересеченияфункции/> с осью Ох. Координата хэтой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения />) (рис. 3.4).
/>
Рис. 3.4.График функции /> с отмеченнойточкой пересечения
В окнеформатирования графика во вкладке Traces для trace2 изменены: типграфика — points, толщина линии — 3, цвет — черный./>/>/>
7. Решение системуравнений/>/>/> 7.1 Решение систем линейных уравнений
Системулинейных уравнений можно решить матричным методом(иличерез обратную матрицу или используя функцию lsolve(A,B)) и сиспользованием двух функций Find и функции Minerr.
Матричный метод
Пример. Дана система уравнений:
/>.
Решениеданной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.
/>
Рис. 4.1.Решение системы линейных уравнений матричным методом
Использованиефункции lsolve(A,B)
Lsolve(A,B) — этовстроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений /> при заданной матрицекоэффициентов А и векторе свободных членов В.
Пример. Дана система уравнений:
/>.
Способрешения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.
/>
Рис. 4.2.Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve
Решениесистемы линейных уравнений с помощью функции Find
При данномметоде уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде».Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных.Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за нихпринимают столбец свободных членов.
Для тогочтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given– Find, необходимо:
1) задатьначальные приближения для всех переменных;
2) ввестислужебное слово Given;
3) записатьсистему уравнений, используя знакжирное равно(=);
4) написатьфункцию Find, перечислив неизвестные переменные в качествепараметров функции.
В результатерасчетов выведется вектор решения системы.
Пример. Дана система уравнений:
/>.
Решение даннойсистемы с помощью вычислительного блока Given– Find приведено на рисунке 4.3.
/>
Рис. 4.3.Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find
Приближенноерешение системы линейных уравнений
Решениесистемы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функцииFind (используется тот же алгоритм),только функция Findдает точноерешение, а Minerr — приближенное. Если в результатепоиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения крешению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщениеоб ошибке.
Общиерекомендации по решению уравнений и систем уравнений
Нижеперечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найтирешение.
· Можно подобратьдругое начальное приближение.
· Можно увеличитьили уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math► Options(Математика – Опции), вкладка Built-InVariables (Встроенные переменные). Воткрывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.
Внимание. При матричном методе решениянеобходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х1,х2, х3, х4./>/>/>7.2 Решениесистем нелинейных уравнений
Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительногоблока Given– Find.
Конструкция Given– Find использует расчетную методику,основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданнойпользователем.
Для решения системы уравнений спомощью блока Given– Findнеобходимо:
1) задать начальные приближениядля всех переменных;
2) ввести служебноеслово Given;
3) записать системууравнений, используя знакжирное равно(=);
4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качествепараметров функции.
В результатерасчетов выведется вектор решения системы.
Если системаимеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальнымиприближениями.
Примечание. Если решается система из двухуравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графикифункций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графикизаданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбратьпо графику поближе к точке пересечения.
Пример. Дана система уравнений
/>.
Перед решением системыпостроим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второеуравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координатприведено на рисунке 4.5:
/>
Рис. 4.5. Построениеграфика двух функций в одной системе координат
Прямая и параболапересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираемначальные приближения неизвестных x и yдля каждого решения. Нахождениекорней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.
/>
Рис. 4.6. Нахождениекорней системы нелинейных уравнений
Для того чтобы отметитьна графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные прирешении системы, введем по оси Ох (значения х) и по оси Оу(значения у) через запятую. В окне форматирования графика вовкладке Traces для trace3 и trace4 изменим: типграфика — points, толщина линии — 3, цвет — черный(рис. 4.7).
/>
Рис. 4.7. Графики функцийс отмеченными точками пересечения/>/>/>
8. Примерыиспользования основных возможностей MathCADдля решениянекоторых математических задач
В данном разделеприведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнениеили систему уравнений./>/>/> 8.1 Нахождение локальных экстремумов функций
Необходимое условиеэкстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так:экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равнанулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Длянахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки,удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корниуравнения />.
Если построен графикфункции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в даннойточке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют однимиз способов.
1-й способ. Сравнениезнаков производной. Определяютзнак производной /> вокрестноститочки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольшихрасстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «–», то в даннойточке функция имеет максимум. Если знак меняется от «–» к «+», то в даннойточке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумовне существует.
2-йспособ. Вычисление второй производной. В этом случае вычисляется вторая производная /> в точке экстремума. Еслиона меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она большенуля, то минимум.
Пример. Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов)функции />.
Сначала построим график функции (рис. 6.1).
/>
Рис. 6.1. Построениеграфика функции
Определим по графикуначальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функцииf(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение />. Для решения используемблок Given – Find (рис. 6.2.).
/>
Рис. 6.2. Нахождениелокальных экстремумов
Определимвид экстремумовпервым способом, исследуя изменение знакапроизводной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).
/>
Рис. 6.3. Определениевида экстремума
Из таблицы значенийпроизводной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтомув этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минусана плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.
Определим вид экстремумов вторым способом,вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).
/>
Рис.6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной
Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля,значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит,точка х2 соответствует минимуму функции.
8.2/>/>/>Определение площадей фигур, ограниченных непрерывнымилиниями
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x),отрезком [a,b] на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х= b, a b,определяется по формуле: />.
Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 иy = 0.
/>
Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0
Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f1(x) и f2(x)и прямымих = а и х = b,вычисляется по формуле:
!
/>/>
Внимание. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади,разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегдаположительной величиной.
Пример. Нахождение площади фигуры,ограниченной линиями />и />. Решение представлено нарисунке 6.6.
1. Строим график функций.
2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.
3. Найденные значения x подставляемв формулу /> как пределыинтегрирования.
/>/>/>/> 8.3 Построение кривых по заданным точкам
Построение прямой,проходящей через две заданные точки
Для составления уравненияпрямой, проходящей через две точки А(x0,y0)и B(x1,y1),предлагается следующий алгоритм:
1. Прямая задаетсяуравнением y =ax +b,
где a и b —коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.
Подставляем в этоуравнение заданные координаты точек и получаем систему:
/>
2. Данная системаявляется линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b.Систему можно решить матричным способом.
Пример. Построение прямой, проходящей черезточки А(–2,–4) и В(5,7).
Подставим в уравнениепрямой координаты данных точек и получим систему:
/>
Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.
/>
Рис. 6.7.Решение системы
В результате решениясистемы получаем: а = 1.57, b = –0.857.Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).
/>
Рис. 6.8. Построениепрямой
Построение параболы,проходящей через три заданные точки
Для построения параболы,проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:
1. Парабола задаетсяуравнением
y = ax2 + bх + с, где
а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуетсянайти.
Подставляем в этоуравнение заданные координаты точек и получаем систему:
/>.
2. Данная системаявляется линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.
3. Полученныекоэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.
Пример. Построение параболы, проходящейчерез точки А(–1,–4), B(1,–2)и C(3,16).
Подставляем в уравнениепараболы заданные координаты точек и получаем систему:
/>
Решение этой системы уравненийв MathCAD представлено на рисунке 6.9.
/>
Рис. 6.9. Решение системыуравнений
В результате полученыкоэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x2 +x–5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).
/>
Рис. 6.10. Построениепараболы
Построение окружности,проходящей через три заданные точки
Для построенияокружности, проходящей через три точки А(x1,y1),B(x2,y2)и C(x3,y3),можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Окружностьзадается уравнением
/>,
где x0,y0 — координаты центра окружности;
R — радиус окружности.
2. Подставим вуравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
/>.
Данная система являетсянелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0и R. Система решается с применениемвычислительного блока Given– Find.
Пример. Построение окружности, проходящей через триточки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).
Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получимсистему:
/>
Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.
/>
Рис. 6.11. Решениесистемы
В результате решениясистемы получено: x0= 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности ирадиус в уравнение окружности. Получим: />.Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).
/>
Рис. 6.12. Построениеокружности