Міністерствоосвіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРАФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН
Реєстраційний№________
Дата___________________
КУРСОВАРОБОТА
зматематичних методів дослідження операцій
Тема:Лінійна залежність />–мірних векторів.Програма.
Рекомендованадо захисту
“____”__________ 2007р.
Роботазахищена
“____”__________ 2007р.
зоцінкою
_____________________
Підписичленів комісії
Зміст
Вступ
Теорія
Опис програми
Текст програми
Контрольні приклади
Висновки
Література
Вступ
Дана роботаприсвячена введенню, одного з найважливіших понять, яке використовується нетільки в алгебрі, але й в багатьох інших розділах математики. Дамо простевизначенню лінійної залежності системи векторів в />мірному просторі.
Визначення (*)Системавекторів /> називається лінійно залежної, якщо існує такий набір коефіцієнтів />, з яких хоча б одинвідмінний від нуля, що />.
Система векторів,що не є лінійно залежної, називається лінійно незалежної.Але останнє визначення краще сформулювати по іншому.
Визначення(**) Системавекторів /> називається лінійно незалежної, якщо рівність /> можлива тільки при />.
Теорія
Припущення 1 Система векторів /> лінійнозалежний тоді і тільки тоді, коли один з векторів системи є лінійноюкомбінацією інших векторів цієї системи.
Доведення.
Нехай система векторівлінійно залежна. Тоді існує такий набір коефіцієнтів />, що />, причому хоча б одинкоефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що />.Тоді:
/>,
тобто /> є лінійною комбінацієюінших векторів системи.
Нехай один звекторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що цевектор />, тобто />. Очевидно, що />. Одержали, що лінійнакомбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один з коефіцієнтіввідмінний від нуля (дорівнює />).
Припущення 2 Якщо система векторівмістить лінійно залежну підсистему, те вся система лінійно залежна.
Доведення.
Нехай у системівекторів /> підсистема />, />, є лінійно залежної, тобто/>,, і хоча б один коефіцієнтвідмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію />,. Очевидно, що ця лінійнакомбінація дорівнює нулю, і що серед коефіцієнтів є ненульовий.
Припущення 3 Система, щоскладається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цейвектор нульової.
Доведення.
Нехай системаскладається з вектора />. Лінійнакомбінація має вид />. Якщо />, то />, тобто система лінійнозалежна. Якщо /> і />, то />.
Припущення 4 Система, що складається здвох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.
Доведення цієїпропозиції тривіальне – воно аналогічно доказу наступного припущення.
Припущення 5 Система з трьохвекторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.
Доведення.
Нехай вектори /> - компланарні. Якщо /> - колінеарні, то в силупопереднього пропозиції вони утворять лінійно залежну підсистему системи />. За припущенням 2система /> - лінійно залежна.Якщо вектори /> - не колінеарні,то /> є лінійною комбінацієювекторів /> і за припущенням 1система векторів /> - лінійнозалежна.
Нехай системавекторів лінійно залежна. За припущенням 1 один вектор,скажемо />, є лінійною комбінацієюінших векторів, /> і />, />. Права частина останньоїрівності лежить у площині, у якій лежать вектори />.Тому вектор /> лежить в одній площині звекторами />, тобто вектори /> - компланарні.
Припущення 7 Чотири вектори завждиутворять лінійно залежну систему.
Доведення. Якщо перші три вектори єкомпланарними, то вони утворять лінійно залежну підсистему (припущення 5).Отже, уся система лінійно залежна (припущення 2). Якщо перші тривектори – не компланарні, то четвертий є їхньою лінійною комбінацією. За припущенням 1 система є лінійно залежної.
Фактично ми маємосправу з лінійною однорідною системою рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.Якщо дана система має нульовий розв‘язок, то вектори будуть лінійнонезалежними, Якщо ж крім нульового система має ще й ненульовий розв‘язок, тодані вектори лінійно залежні.
Перерахуємонаступні властивості:
Якщо системавекторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна
Якщо системавекторів містить лінійно-залежну підсистему векторів, то вона буде лінійно — залежною.
Якщо системавекторів лінійно-незалежна, то і будь-якій її підсистемі буде лінійнонезалежною.
Якщо системавекторів містить хоча б один вектор, що є лінійною комбінацією інших векторів,то ця система векторів буде лінійно залежною.
Поняття лінійноїзалежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Невдаючись в подробиці наведемо наступні застосування цього поняття.
Всякаупорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійновиражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору.Неважко переконатися в еквівалентності цього означення і означення базисів упросторах />.
Максимальне числолінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю.Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору.
Максимальне числолінійно незалежних стовпчиків матриці дорівнює максимальному числу її лінійнонезалежних рядків, і це число дорівнює рангу матриці.
Отже зважаючи навсе вище сказане дамо загальне визначення базису:
Визначення 1 Базисомвекторного простору /> називається такаупорядкована лінійно незалежна система векторів, що будь-який вектор простору /> розкладаєтьсяпо векторах цієї системи.
Опис програми
Програмавизначення лінійної залежності або незалежності векторів написана на мовіпрограмування Turbo Pascal та працює за відносно простим алгоритмом роботи –розв‘язком системи лінійних рівнянь та подальшої її перевірки на умовунезалежності векторів.
Головна процедурасистеми — Procedure Lineq – відповідає за розв‘язоксистеми рівнянь та знаходження коефіцієнтів. Початкові дані (вектори) вводятьсястандартним способом з клавіатури в базовій частині програми у вигляді матрицідійсних чисел. В останньому боці програми після виклику ProcedureLineq – виконується перевірка умови залежності з масиву знайдених розв’язків– Ex. В результаті роботипрограми на екран буде виведене остаточне повідомлення стосовно лілейноїзалежності або не залежності представлених векторів.
Текст програми
ProgramLinijna_Zaleshnist_Nezaleshnist;
Const Dim1 =20
Dim2 =21;
{dim2=dim1+1}
Type Ar1 =Array[1..Dim1,1..Dim2] of Real;
Ar2 =Array[1..Dim1] of Real;
Varn:Integer; {Rozmirnist}
i,j:Integer; {Dodatkovi zmini}
S:Ar1 {Golovna matrica};
Ex:Ar2 {Vihidnij razvjazok}
Cod:Byte;
e:Real;
ProcedureLineq(a:Ar1;
n:Integer;
e:Real;
Var x:Ar2);
Vari,j,k:Integer;
y,w:Real;
Begin
For i:=1 to ndo
Begin
k:=i;
y:=a[i,i];
{------------------------------------------}
For j:=i+1to n do
Begin
If(abs(w)>abs(y)) Then Begin k:=j;y:=w;End;
End;
{------------------------------------------}
If(abs(y)
{------------------------------------------}
For j:=i ton+1 do
Begin
w:=a[k,j];a[k,j]:=a[i,j];a[i,j]:=w/y;
End;
{------------------------------------------}
For k:=i+1to n do
Begin
For j:=n+1Downto i+1 DO a[k,j]:=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i];
End;
{------------------------------------------}
End;
For i:=nDownto i DO
Begin
w:=0;
For j:=i+1to n Dod w:=w+a[i,j]*x[j];
x[i]:=a[i,n+1]-w;
End;
{-----------------------------}
Begin {Golovna programa upravliinja}
ReadLn('Vveditrozmirnist — N ?',n);
Cod:=0;e:=0;
{---------------}
For i:=1 to ndo
Begin
For j:=1 to ndo
Begin
Write('Inputa[',i,',',j,']');ReadLn(S[i,j]);
End;
End;
{---------------}
ProcedureLineq(S,n,e,Ex); {Viklik golovnogo modulja!}
{---------------}
For i:=1 to ndo
Begin
If(Ex[i]0)ThenBegin Cod:=1;End; {Perevirka umovi}
End;
{---------------}
If(Cod=1)ThenBegin WriteLn('Векторизалежні');End
ElseBegin WriteLn('Векторине залежні');End;
End;
Контрольні приклади
Приклад 1.
Вхідні дані:
A=(1;2;3) B=(0;1;2) С=(1;3;-1)
/>
Вихідні дані:/> - Задані вектори лінійно незалежні.
Приклад 2.
Вхідні дані:
A=(1;-1;2) B=(10;1;1) С=(2;-1;6)
/>
Вихідні дані:/> - Задані вектори лінійно незалежні.
Приклад 3.
Вхідні дані:
A=(3;-2;1) B=(-1;1;-2) С=(2;1;-3) D=(11;-6;5)
/>
Вихідні дані: /> - Задані вектори лінійно залежні.
Висновки
В даній курсовійроботі була розглянута важлива проблема визначення лінійної залежності танезалежності систем />мірних векторів впросторі та запропонований програмний код на мові програмування Turbo Pascalдля її розв’язку. Дана детальна теоретична характеристика цього питання тазапропоновано ряд припущень та тверджень. Результатом роботи є автономнийпрограмний модуль, який дозволяє в автоматичному режимі на основі попередніхданих дати відповідь на головне питання роботи – лінійну залежність чинезалежність тої чи іншої системи векторів в просторі.
На основі сконструйованоїв цій роботі програми, було розв‘язано декілька практичних – тестових задач,лістинг (вхідні та вихідні дані) яких приведений у відповідному розділі роботи.Текст програми та коментарі відносно її структури також знаходять і основнійчастині курсової роботи.
Література
1. А. Б. Баратків “ Turbo Pascal — алгоритми і програми”, Київ,“Вища школа”, 1992.
2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теориячисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976
3. В. П. Дубовик, І.І. Юрик “Вища математика”, Університетськабібліотека, Київ 2001
4. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975
5. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теориячисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974