Левый смежный класс | Правый смежный класс

Определение. Пусть у нас заданы группа  и подгруппа , пусть также дан элемент . Левым смежным классом называется множество . Правым смежным классом называется множество .
Примеры:
                1) Пусть  и  - группы подстановок. Доопределим подстановки из  следующим образом:  они переводят в . Тогда получим, что  - это подгруппа . Пусть . Левый смежный класс – это по определению множество . Т.к.  имеем, что , то . Верно и обратное, если , то . Т.е. левый смежный класс  - это множество подстановок, переводящих  в .
2) Аналогично пусть  и  и . Аналогичными рассуждениями можно получить, что  - это множество подстановок, переводящих  в .
                На этих примерах видно, что левый смежный класс не совпадает с правым, т.е. .
                Предложение. .
Доказательство.
                Пусть  при . . Убедимся в том, что все элементы  различны. Если , то , следовательно, , следовательно , следовательно .
Если , то аналогичными рассуждениями получаем, что .
                Предложение. Если , тогда .
Доказательство.
                Т.к. , то . Тогда  имеем, что , следовательно, . Обратно. Т.к. , то  имеем, что , следовательно , т.е. .
                Следствие. Любые два левых (правых) смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются.
                Теорема (Лагранж). Пусть  - подгруппа конечной группы , тогда , где  - число различных левых (правых) смежных классов по .
Доказательство.
                Пусть , тогда . Т.е. любой элемент группы  попадает в некоторый смежный класс, таким образом, вся группа  разбивается на  непересекающихся множеств, каждое из которых имеет  элементов, следовательно .
                Упражнение. Докажите, что  тогда и только тогда, когда .
                Следствие 1. Порядок элемента делит порядок группы.
Доказательство.
                Пусть , тогда . По теореме Лагранжа  делит порядок группы, следовательно и порядок элемента делит порядок группы.
                Следствие 2. Группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
                Пусть  - простое число. Возьмем элемент , тогда  и  делит . Следовательно , следовательно  и .
                Теорема. Пусть  - конечная подгруппа в . Тогда  - циклическая.
Доказательство.
                Пусть , если , то по следствию 1 , т.е. любой элемент из  является корнем -й степени из 1. Следовательно .  циклическая, а подгруппа циклической группы тоже циклическая.
                Упражнение. Докажите эту теорему для любого поля.