Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения , для которой выполнены следующие свойства: и .
Кольцо называется коммутативным, если .
Кольцо называется ассоциативным, если .
Кольцо называется антикоммутативным, если .
Кольцо называется кольцом Ли, если .
В любом кольце . Действительно и .
Элемент в кольце называется единицей, если .
Определение. Полем называется коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный.
Определение. Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Примеры:
- поле кватернионов. Это действительно будет полем, т.к. , если матрица ненулевая, следовательно у нее существует обратная: .
Определение. Пусть - поле. Кольцо , являющееся векторным пространством над , называется - алгеброй, если .
Упражнение. В антикоммутативной алгебре (кольце) выполнено тождество .
Упражнение. Пусть - ассоциативная алгебра, положим . Докажите, что относительно нового умножения является алгеброй Ли.
Определение. Элемент алгебры с единицей называется обратимым, если .
Определение. Элемент называется левым (правым) делителем нуля, если ().
Предложение. Все обратимые элементы ассоциативной алгебры с единицей образуют группу по умножению. Обратимый элемент не может быть делителем нуля.
Доказательство.
Если - обратимы, тогда - обратим, .
Если - обратим, то и - обратим, .
Следовательно это действительно группа по умножению.
Пусть обратим и , тогда , что противоречит определению делителя нуля.
Определение. Алгебра называется областью, если в ней нет делителей нуля.
Определение. Подалгеброй в алгебре называется подпространство, являющееся кольцом, для которого выполнены свойства:
1) ,
2) не пусто.
Пусть - ассоциативная -алгебра с единицей, и пусть . Рассмотрим множество - все такие конечные суммы.
Упражнение. является наименьшей подалгеброй с единицей в , содержащей элемент .
Определение. Идеалом кольца (алгебры) называется подгруппа аддитивной группы (подпространство), такая что если , , то и . Т.е. идеал выдерживает умножение слева и справа на все элементы кольца (алгебры).
Определение. Кольцо (алгебра) называется простым, если в нем всего два идеала: 0 и оно само.
Предложение. Пусть в ассоциативной алгебре с единицей идеал содержит обратимый элемент, тогда идеал совпадает со всей алгеброй.
Доказательство.
Пусть - обратимый и . Если , то , следовательно .
Следствие. Любое тело, любое поле всегда просты.
Пусть - ассоциативная коммутативная алгебра с 1 и . Рассмотрим множество .
Упражнение. - идеал в , содержащий .
называется главным идеалом, порожденным элементом .
Лекция 12 (19.11.2001)
Определение. Коммутативная ассоциативная область (без делителей нуля) с единицей называется кольцом (алгеброй) главных идеалов, если в нем любой идеал главный.
Например в кольце целых чисел любой идеал всегда подгруппа, т.е. , т.е. любой идеал главный и это кольцо главных идеалов.
Теорема. Пусть - поле. Тогда - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
Пусть и . Пусть - многочлен наименьшей степени. Пусть , тогда мы можем поделить на с остатком: , где либо , либо . Но , следовательно, . Т.к. у была наименьшая степень, то , т.е. . Следовательно - главный идеал, порожденный многочленом и - кольцо главных идеалов.
Упражнение. Доказать, что кольцо не является кольцом главных идеалов. Указание: рассмотреть идеал - все многочлены с нулевым свободных членов и доказать, что он не является главным.
Рассмотрим кольцо .
Теорема. - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
Выведем на этом множестве аналог алгоритма Евклида (деление с остатком). Введем норму , тогда .
Лемма. Пусть , тогда существуют такие , что , причем .
Доказательство.
Рассмотрим все числа вида . Получим что-то типа решетки, сторона квадрата - это . Возьмем произвольное число . Оно попадет в один из таких квадратов, тогда расстояние от не до какой-то вершины квадрата будет не больше .
В качестве числа возьмем такое число, чтобы была эта вершина. - вектор от этой вершины до . Тогда .
Пусть теперь , . Выберем такое, что его норма минимальна. Далее рассуждая также как и в прошлой теореме с многочленами (применяя описанное выше деление с остатком), получаем, что все остальные числа делятся на него, т.е. - главный идеал и - кольцо главных идеалов.
Теперь мы перейдем к рассмотрению некоммутативных колец. Пусть - ассоциативное кольцо с единицей, . Пусть - квадратные матрицы с коэффициентами из кольца .
Упражнение. .
Теорема. Пусть . Тогда , такой что .
Доказательство.
Пусть . Докажем, что . Пусть и , тогда , следовательно, . Аналогично , следовательно, .
Пусть , тогда . Следовательно, , т.е. все коэффициенты матриц из содержатся в идеале . Следовательно . Пусть , - произвольная матрица из . Тогда . Следовательно , т.е. .
Напомним, что кольцо (алгебра) называется простым, если в нем только два идеала: ноль и оно само.
Следствие. Если - тело, то - простое кольцо.
Определение. Отображение называется гомоморфизмом алгебр, если
1) ,
2) ,
3) .
Изоморфизмом называется биективный гомоморфизм.
Автоморфизмом называется изоморфизм алгебры на себя.
Мономорфизмом называется инъективный гомоморфизм.
Эпиморфизмом называется сюръективный гомоморфизм.
Ядром гомоморфизма называется полный прообраз нуля .
Предложение. .
Доказательство.
Пусть , тогда .
Пусть , , тогда .
Упражнение. тогда и только тогда, когда - мономорфизм.
Пусть , где - тело. Тогда , но в всего для идеала: ноль и оно само. Следовательно, либо - нулевой, либо мономорфизм.
Пусть , тогда - подгруппа в (по сложению), причем нормальная, следовательно - факторгруппа (по сложению), т.е. . Тогда
Предложение. Умножение и умножение на скаляры определены корректно.
Доказательство.
, .
, , .
.
Следовательно умножение определено корректно.
.
Следовательно умножение на скаляры определено корректно.
Идеалы и факторгруппы строятся в любом кольце (не только в ассоциативном или коммутативном). - факторалгебра (факторкольцо).
Рассмотрим гомоморфизм , т.ч. (естественный гомоморфизм).
Упражнение. является эпиморфизмом и .
Теорема (о гомоморфизме). Пусть , тогда - подалгебра, изоморфная .
Доказательство.
Определим изоморфизм следующим образом: (см. теорему о гомоморфизме в теории групп). Проверим некоторые свойства изоморфизма (остальные проверены в теории групп):
, следовательно это изоморфизм.
Примеры:
1) . Гомоморфизм , где - остаток от деления на , тогда .
2) . Гомоморфизм , где , тогда .
3) . Гомоморфизм , где , тогда .
Если - подполе в , тогда является алгеброй над . Все автоморфизмы как алгебры над образуют группу Галуа .