Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениями S1 и S2 , перпендикулярными к линиям тока. В сечении 1 за малое время t частицы сместятся на расстояние l1 , а в сечении 2 - на расстояние l2 . Через оба сечения за время t пройдут одинаковые малые объемы жидкости V = V1 = V2 и перенесут массу жидкости m=rV , где r - плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениями S1 и S2 , произошедшее за время t , можно заменить изменением энергии объема V , произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии
, (5.2)
где v1 и v2 - скорости частичек жидкости в сечениях S1 и S2 соответственно; g - ускорение земного притяжения; h1 и h2 - высоты центра сечений.
В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии DE должно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:
. (5.3)
Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим
. (5.4)
Сечения трубки S1 и S2 были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение
. (5.5)
Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h = const , и равенство (5.4) приобретает вид
r/2 + p1 = r·/2 + p2 , (5.6)
т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.