Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.
Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (результирующая сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за время dt работу:
.
Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:
,
где ,– соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».
Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:
.
Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению:
.
Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что , (направления оси Z и совпадают), получим
,
но w·dt=dj, т.е. угол, на который поворачивается тело за время dt. Поэтому
.
Знак работы зависит от знака Mz, т.е. от знака проекции вектора на направление вектора .
Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой .
Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования
.
Если проекция результирующего момента внешних сил на направление остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:
, т.е. .
Т.е. работа внешней силы при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направление и угол поворота.
С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:
и тогда
;
Следовательно,
. (4.7)
Самостоятельно:
Упругие силы;
Закон Гука.
ЛЕКЦИЯ 7