1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс mi. Линейная скорость элементарной массы mi – vi = w·Ri, где Ri – расстояние массы mi от оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия i-ой элементарной массы будет равна . Полная кинетическая энергия тела: , здесь – момент инерции тела относительно оси вращения.
Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:
(4.5)
2. Пусть теперь тело вращается относительно некоторой оси, а сама ось перемещается поступательно, оставаясь параллельной самой себе.
НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).
Скорость i-той элементарной массы тела равна , где – скорость некоторой точки «О» тела; – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».
Кинетическая энергия элементарной массы равна:
.
ЗАМЕЧАНИЕ: векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный (рис.4.18).
Учтя это замечание, можно записать, что , где – расстояние массы от оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим
.
Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим
.
Сумма элементарных масс есть масса тела «m». Выражение равно произведению массы тела на радиус-вектор центра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать
.
Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-вектор будет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через – скорость центра инерции, а через – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:
(4.6)
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.