Для математического описания импульсных систем используют разностные уравнения, а для решения таких уравнений применяют метод прямого и обратного преобразования Лапласа (метод z-преобразования). Как отмечено выше, при этом имеют дело с решётчатыми функциями, которые существуют только при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях времени, а между этими значениями функции равны нулю (рис.5.4).
6Т
5Т
4Т
3Т
2Т
1Т
х(t)
х(t), х(n)
nТ
х(n)
Рис.5.4. Решётчатая функция.
Очевидно, что решётчатая функция однозначно определяется видом непрерывной функции и моментами дискретности, но обратное несправедливо, поскольку одна и та же решётчатая функция может быть образована различными непрерывными функциями. Решётчатую функцию обозначают обычно x[nT] либо f[nT], где Т–шаг квантования, а n –целое число (n=0, 1, 2 …). Если расстояние между соседними значениями дискретной функции положить равным единице, то можно перейти к нормированному времени и решётчатую функцию обозначать сокращённо через x[n] или f[n]. Значения этой функции соответствуют ординатам функции с номерами 0, 1, 2,…, n-1, n… Таким образом, можно обозначить:
x[n] = {x0, x1,x2, … ,xn};
f[n] = {f0, f1, f2, … ,fn} . (5.2)
Например, для единичной функции x[n] = 1[n]
x[n] = {1, 1, 1, … , 1}.
Для линейной функции x[n] = n
x[n] = {0, 1, 2, … , n}.
Для экспоненциальной функции
.
Аналогами производных для дискретных нормированных функций являются разности. Так, аналогом первой производной, характеризующей скорость изменения дискретной функции, является разность первого порядка, или первая разность, определяемая выражением
(5.3)
Разность второго порядка, или вторая разность,
(5.4)
Соответственно разность порядка m определена как
(5.5)
На основании применения метода полной математической индукции m-я разность выражается формулой
(5.6)
где - биномиальный коэффициент.
По аналогии с разностями определяются суммы, которые могут рассматриваться как аналоги интегралов. Сумма Xn (n=1, 2, 3, …) равна
(5.7)