Гомоморфизм | Мономорфизм | Эпиморфизм | Изоморфизм | Автоморфизм в алгебре

Определение. Отображение  называется гомоморфизмом, если . Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.
Примеры:
                1) , .  - гомоморфизм.
2) , .  - гоморфизм.
3)  - группу аффинных преобразования -мерного пространства отобразим на  - группу линейных преобразований -мерного пространства. Будем ставить аффинному преобразованию в соответствие его дифференциал, т.е.  - аффинное преобразование перейдет в . Это будет гомоморфизмом.
4) Пусть есть группа , возьмем элемент . Автоморфизм сопряжения с помощью элемента : . Этот автоморфизм нетривиален (не тождественный), если найдется  такой, что .
Определение. Группа называется абелевой (коммутативной), если .
Предложение. Если  - гомоморфизм, то  и .
Здесь  - единичный элемент группы ,  - единичный элемент группы .  - обратный к  элемент группы ,  - обратный к  элемент группы .
Доказательство.
                1) Т.к. , то . Имеем
.
2) , следовательно .
Предложение. Гомоморфизм  является мономорфизмом тогда и только тогда, когда из  следует , т.е. полный прообраз единицы равен единице.
Доказательство.
 Если  мономорфизм и . Т.к.  и  инъективно, то .
 Пусть  (полный прообраз) и . Тогда
. По условию , т.е. . Следовательно  - инъективно, т.е. является мономорфизмом.
Определение. Пусть отображение  - гомоморфизм групп. Тогда ядром этого отображения называется множество , т.е. полный прообраз единицы.
По предыдущему предложению получаем, что  - мономорфизм тогда и только тогда, когда .
Упражнение. Пусть  - гомоморфизм групп, доказать, что  является подгруппой в .
Определение. Подгруппа  в группе  называется нормальной (обозначается ), если , т.е. если .
Предложение. Пусть  - подгруппа в , тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) ;
2) ;
3) каждый правый смежный класс совпадает с левым, т.е. .
Доказательство.
                 Очевидно.
 Надо доказать, что , пусть , тогда . Поэтому , следовательно . Обратно аналогично: , следовательно  и .
 Мы имеем, что . Возьмем произвольный элемент , тогда , т.е. , но тогда . Мы получили, что . Теперь покажем, что таким образом можно получить любой элемент из , т.е. что . Если , то , следовательно , но тогда . Следовательно .
Пример:
При помощи этого предложения можно доказать, что  не является нормальной подгруппой в , т.к. ее левые и правые смежные классы не совпадают.
Теорема. Пусть  - гомоморфизм, тогда .
Доказательство.
Сначала докажем, что  является подгруппой в .
Если , то и , т.к. .
Если , то и , т.к. .
Теперь докажем нормальность этой подгруппы.
, следовательно  и .
Примеры:
1) , . Тогда .
2) , . Тогда .
3) , . Тогда .
Предложение. Если  - гомоморфизм и , тогда .
Доказательство.
                .
Определение. Пусть , фактор группа  - это множество смежных классов  по  с операцией .
Теорема.  - группа.
Доказательство.
Сначала докажем, что операция определена корректно. Пусть  и , покажем, что . Имеем  и , тогда . Причем , следовательно .
Ассоциативность операции: .
Единичный элемент: .
Обратный элемент: .
Отображение ,  называется естественным эпиморфизмом.
Теорема. Отображение - эпиморфизм и .
Доказательство.
, т.к. , то у любого смежного класса есть прообраз, следовательно, это эпиморфизм. Т.к. , то .
Теорема (о гомоморфизме). Пусть  - гомоморфизм групп, тогда  (изоморфно).
Доказательство.
Построим изоморфизм : , . Эта отображение определено корректно, т.к. .
Докажем, что это гомоморфизм:
.
Докажем биективность, т.е. что это изоморфизм. Т.к. , это отображение биективно.
Пример:
Покажем, как при помощи этой теоремы доказать изоморфность . Нам нужно задать гомоморфизм  такой, чтобы . Например . Тогда по теореме о гомоморфизме будем иметь, что .
Лекция 3 (17.09.2001)
Теорема. Циклическая группа порядка  изоморфна группе .
Доказательство.
Пусть . Зададим гомоморфизм  следующим образом: . Это гомоморфизм, т.к. . Тогда по теореме о гомоморфизме имеем .
Упражнение. Бесконечная циклическая группа изоморфна группе .
Определение. Пусть  - группа.  - произвольное множество.  действует на , если есть отображение , т.е. которое паре  ставит в соответствие некоторый элемент . Причем  и .
Примеры:
                1)  действует на  - -мерном комплексном пространстве, по следующему правилу: пусть  - базис, в нем вектор  имеет координаты , тогда .
2) Пусть  - подгруппа в , тогда  действует на  по правилу .
3) Пусть  и . Имеем естественное действие симметрической группы на множестве .
4) Пусть  и  - многочлены от  неизвестных. Действие определим по правилу .
5)  действует на  сопряжением . Т.к.  и , то это действительно будет действием.
Предложение. Пусть  действует на  и , тогда отображение  является биекцией на множестве .
Доказательство.
Для доказательства этого факта на достаточно указать обратное отображение. Им будет отображение . Оно действительно будет обратным, т.к.  и . Следовательно, это биекция.
Определение. Пусть  действует на  и . Орбита  - это множество . Стабилизатор  - это множество .
Упражнение. Доказать, что  является подгруппой в .
Определение. Пусть - группа . Централизатор  - это множество . Класс сопряженных элементов, содержащий  - это множество .
Примеры:
1) При действии  на  - -мерном пространстве будет всего две различные орбиты: все ненулевые векторы (орбита любого ненулевого вектора), ноль (орбита нуля).
2) При действии подгруппы  на группе  имеем  и .
3) При действии  на себе сопряжением имеем , .
Предложение. Если орбиты пересекаются, то они совпадают.
Доказательство.
Пусть .  имеем , следовательно .  имеем . Аналогично имеем .
Предложение. .
Доказательство.
Допустим, что , но тогда . Следовательно существует биекция между множеством орбит и множеством левых смежных классов  по . Следовательно  - это число различных смежных классов, а по теореме Лагранжа это равно .
Следствие. .
Упражнение. Доказать, что если , то .
Определение. Пусть  действует на . Элемент  называется неподвижным (инвариантным) относительно этого действия, если , т.е. если .
Примеры:
1) При действии симметрической группы на многочлены неподвижными являются симметрические многочлены.
2) При действии  на себе сопряжением имеем, что элемент  неподвижен тогда и только тогда, когда . Множество всех неподвижных элементов группы называется центром группы  (обозначается ).
Упражнение.  - нормальная абелевая подгруппа в .
Теорема. Пусть -поле, тогда .
Доказательство.
Пусть , если она неподвижна, то . Распишем это равенство:
.
В левой матрице на месте  стоит элемент , а в правой , следовательно , а остальные элементы нули. Т.к. это верно для любых , то матрица  диагональная и по диагонали стоят одинаковые числа, т.е. .
Упражнение. Найдите центры групп  и .
Теорема. При  .
Доказательство.
Возьмем  - любую не единичную подстановку. Разложим ее в произведение независимых циклов:
1) Пусть в этом разложении есть два цикла, т.е. . Возьмем подстановку , тогда .
2) Пусть в этом разложении есть хотя бы один цикл длины 3, т.е. , . Возьмем подстановку , тогда .
3) Пусть в этом разложении есть только один цикл длины 2, т.е. . Т.к. мы работаем в группе  при , то найдется . Возьмем подстановку , тогда .
Оставшийся случай - ни одного цикла - это и будет единичная подстановка. Следовательно неподвижной может быть только единичная подстановка.
Упражнение. Докажите, что .
Теорема. Две подстановки из  сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое цикловое строение, т.е. наборы длин циклов у них одинаковые.
Доказательство.
                . Пусть , тогда  . Т.к. , то и , следовательно, эти циклы независимые и мы получили такое же цикловое строение.
. Покажем на примере, как по данным двум подстановкам  и  найти подстановку , такую что . Пусть  и , тогда  , следовательно .
Определение. Группа  называется -группой, если ее порядок является степенью простого числа .
Теорема. Если  - -группа, то .
Доказательство.
Разобьем  на классы сопряженных элементов (они не пересекаются) . Одноэлементные классы состоят из одного центрального элемента. Если  - не одноэлементный класс, то  - делится на . Имеем, что , где  отвечает всем одноэлементным классам, а  - не одноэлементным. Следовательно , следовательно .
Следствие. Группа порядка  ( просто) абелева.
Доказательство.
Если , то по теореме  или .
1) Пусть , тогда . Следовательно  циклическая, т.е. . Пусть , тогда  и пусть , тогда , т.к. . Имеем, что  (элементы  и  перестановочны с  и друг с другом, т.к. они центральные). Следовательно  - абелева и , т.е. , получили противоречие с тем, что .
2) Если , то , следовательно, группа  абелева.
Лекция 4 (24.09.2001)
Теорема (1-ая теорема Силова). Пусть  - группа порядка , где  - простое число, тогда в группе  существует подгруппа порядка .
Доказательство.
Доказательство проведем по индукции по порядку группы.
База индукции.
Если  утверждение очевидно, в качестве подгруппы можно взять саму группу.
Индуктивный переход.
1) Пусть в группе  существует нецентральный элемент, т.е. . Пусть  - класс сопряженных элементов, содержащий . Т.к. , то , кроме того , где  - это централизатор элемента . Мы знаем, что  всегда является подгруппой.
1а) Пусть , тогда  и . Тогда по предположению индукции (т.к. ) в , а значит и в , есть подгруппа порядка .
1б) Пусть , т.е. . Разобьем группу  на непересекающиеся классы сопряженных элементов. , . Т.к. , то .
Лемма. Пусть  - конечная абелева группа и  - простое число, делящее , тогда в  есть элемент порядка .
Доказательство.
Проведем индукция по порядку .
База индукции: если  утверждение очевидно.
Индуктивный переход.
1) Если порядок какого-нибудь элемента делится на , то пусть , тогда .
2) Пусть порядок любого элемента не делится на . Возьмем произвольный (не единичный) элемент . Рассмотрим , тогда  - делится на . По предположению индукции , т.ч. . Рассмотрим  в . Пусть  - естественный гомоморфизм , тогда . По теореме о гомоморфизме , тогда . Т.е.  делит . Т.е. порядок  делится на , что противоречит предположению пункта 2. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Мы имеем, что , причем  - абелева группа. По лемме в  существует элемент  порядка . Пусть , тогда  и  (т.к.  - центральный элемент). Тогда . По предположению индукции в  есть подгруппа  порядка . Рассмотрим естественный гомоморфизм , рассмотрим полный прообраз подгруппы : , т.е.  и . По теореме о гомоморфизме  и .
2) Если в  нет нецентральных элементов, то , т.е. является абелевой группой. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, применив лемму, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. .
Определение. Пусть  - конечная группа и , где  - простое число и . Тогда подгруппа в  порядка  называется силовской -подгруппой.
Теорема (2-ая теорема Силова). Пусть  - конечная группа,  - простое число, делящее порядок группы. Тогда любая -подгруппа (подгруппа порядка ) содержится в некоторой силовской, кроме того любые две силовские подгруппы сопряжены.
Доказательство.
Пусть  - -подгруппа в ,  - силовская -подгруппа. Пусть . Определим действие:  действует на  на правилу: если , то .  - не делится на . Орбита . , где  - некая функция от . Разобьем  на непересекающиеся орбиты действия . Если все орбиты не одноэлементные, то , что неверно. Следовательно, существует одноэлементная орбита, т.е. существует , такой что , что равносильно условию , но  - силовская подгруппа.
Если  - силовская, то , т.к. они имеют одинаковый порядок. Следовательно две силовские подгруппы сопряжены.
Теорема (3-я теорема Силова). Пусть  - число различных силовских -подгрупп в . Тогда  делит  и .
Доказательство.
Пусть  - множество всех силовских -подгрупп в , тогда . На  группа  действует сопряжением, т.е. если  и , то . По 2-ой теореме Силова множество  является орбитой любой силовской -подгруппы. Т.е. при таком действии существует всего одна орбита и , следовательно, .
Пусть , рассмотрим действие  в  сопряжением.  снова разбивается на орбиты, и порядок каждой из них делит  и потому является степенью числа . Но  инвариантно относительно этого действия, т.е.  - это одноэлементная орбита. Пусть есть еще какая-нибудь одноэлементная орбита, например, , т.е. . Пусть .
Лемма. Множество  является подгруппой в  и .
Доказательство.
Пусть  и . Тогда
 и
, т.е.  - действительно является подгруппой.
Пусть  и , где  и , тогда
, т.е. . Лемма доказана.
Завершим доказательство теоремы. Рассмотрим эту подгруппу . Тогда , т.е. . Пусть  - естественный гомоморфизм. Тогда . Но если , то , где  и , тогда , следовательно . В этом случае  делит , т.е.  - степень числа . Следовательно  - степень числа  и . Т.к.  - силовская, что . Но . Аналогично получаем, что и . Но по предположению  и  различны, получили противоречие.
Итак в  только одна одноэлементная орбита (), значит порядок любой другой орбиты делится на , следовательно, .
Приложения теорем Силова.
1) Возьмем группу , найдем силовские -подгруппы. мы знаем, что , т.е.  и силовская -подгруппа имеет порядок . Одна из силовских подгрупп - это подгруппа , остальные ей сопряжены, т.е. равны .
2) Рассмотрим группу . . Ее силовские 2-подгруппы (всего их 3): , , . Ее силовская 3-родгруппа (она всего одна): .
3) Рассмотрим группу . . Силовских 2-подгрупп всего может быть либо 1, либо 3. Возьмем . Рассмотрим подгруппы , , , … Они все силовские и среди них есть различные, следовательно всего существует три силовские 2-подгруппы. Силовские 3-подгруппы (всего их 4): , ,  и .
Упражнение. Докажите, что если  - наименьшее простое число, делящее  и  - подгруппа индекса  (существует всего  различных смежных классов  по ), то .