Абстрактная или высшая алгебра - область математики, сосредоточена на изучении свойств аксиоматически внедренных алгебраических структур. В современной научной литературе называется просто алгебра. Признак «абстрактная» подчеркивает, что объектами изучения являются абстрактные структуры, такие как группы, кольца, поля и модули, в отличие от алгебраических выражений, изучаемых в элементарной «школьной» алгебре.
Абстрактная алгебра сформировалась на протяжении второй половины 19 и первой четверти 20 века и была впервые систематически изложена в монографии «Moderne Algebra» Ван дер Варден ( 1930 г.). Алгебраическая точка зрения вызвала чрезвычайно большое влияние на развитие многих областей математики в 20 веке, в частности теории чисел, топологии, алгебраической геометрии и функционального анализа.
Краткий исторический очерк
Примерно ко второй половине 19 века в алгебраических исследованиях больше внимания придавалось конкретным объектам, которые изучались методами, специально приспособленными к ситуации, чем общим концепциям. Приведем следующие примеры:
кольцо остатков целых чисел ( Л. Эйлер )
группа всех перестановок корней уравнения четвертой степени ( Ж. Лагранж )
кольца полиномов одной переменной с целыми коэффициентом и гауссовых целых ( К. Гаусс ).
Но впоследствии на первый план вышли собственно структуры группы, кольца и т.п. Это позволяет рассматривать, например, любую группу подстановок G < S N как абстрактную группу, то есть как множество с операциями, удовлетворяет определенной системе аксиом, и доказывать общие теоремы о группах, которые, в частности, касаются конкретной группы G ( Н. Абель, Э. Галуа ). Именно внедрение общей аксиоматической точки зрения на алгебраические объекты следует считать началом абстрактной алгебры как независимого дисциплины. Впоследствии были даны аксиоматические определения поля, кольца, векторного пространства, алгебры Ли, т. и было начато исследование всех этих структур.
Огромный вклад в развитие абстрактной алгебры в 1890-1930 г.г. сделали Д. Гильберт, Э. Артин и Э. Нетер, применивших аксиоматический метод для изучения коммутативных колец и модулей над ними и получили ряд серьезных результатов. Эти исследования по абстрактной алгебре, с некоторыми предыдущими исследованиями Л. Кронекера, Р. Дедекинда было впервые систематически преподнесен в чрезвычайно влиятельной монографии «Современная алгебра» («Moderne Algebra») Ван дер Варден, первое издание которой появилось в 1930-31 г.г.
Начиная с работ Д. Гильберта по теории интегральных операторов в начале 20 в. и Дж. фон Неймана из колец операторов в 1930 г.г., методы абстрактной алгебры нашли плодотворное применение в анализе, а впоследствии и в других областях математики. Потребности новой физики, прежде всего, квантовой теории, вызвали как распространение некоторых алгебраических идей вне алгебры, напр. группы, операторов из некоммутативных умножением, т.е. некоммутативных кольца, так и дальнейшее развитие самой алгебры.
В середине 20 века, происходя из идей алгебраической топологии, алгебраические структуры начали розглядадаты с позиций теории категорий ( С. Ейленберг - С. Маклейн ). Это дало возможность изучать не только структуры одного типа, образующих категорию, но и определенные отображения между категориями, так называемые функторы, и, наиболее абстрактно, естественные преобразования между функторами. Непревзойденным мастером категорнои алгебры был А. Гротендик, который применил ее для создания основ современной алгебраической геометрии и теории топосов.
Немало исследований в алгебре за последние 40-50 лет принадлежат к нескольким хорошо устроенных основных отраслей, таких как теория групп, коммутативна алгебра, или теория колец. С более новых подразделений абстрактной алгебры отметим алгебраическую комбинаторику, что на это время превратилась в самостоятельную дисциплину, приближенные к топологии теорию операд и гомотопические алгебру, и, наконец, теорию квантовых групп, внедренных В. Дринфельд, сравнительно новый раздел алгебры, потерпевшего бурного развития в течение последних двух десятилетий.
Основные структуры современной алгебры
Множество
Группа
Кольцо
Модуль над кольцом
Поле
Векторное пространство
Алгебра над кольцом
Алгебра (кольцо) Ли
Многие алгебраических структур возникают как подклассы перечисленных выше, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам, например, булевы алгебры, коммутативные группы или кольца. Другие, такие как частично упорядоченные множества, решетки, Пуассона алгебры и алгебры Хопфа имеют еще и дополнительные операции. Есть также немало структур, которые не нашли широкого применения вне алгебры, например перхоти.
Подразделения абстрактной алгебры
Теория групп занимается изучением свойств абстрактных групп и их изображений.
Теория колец рассматривает произвольные (некоммутативных) кольца и ассоциативные алгебры.
Линейная алгебра рассматривает линейные пространства и линейные операторы между ними.
Коммутативна алгебра изучает свойства коммутативных колец и модулей над ними. Она имеет плотные связи с алгебраической геометрией и алгебраической теории чисел. До коммутативной алгебры можно отнести теорию полей и теорию Галуа.
Дифференциальная алгебра изучает алгебраические свойства систем диференцийних уравнения.
Гомологической алгебры изучает категории модулей с помощью комплексов, или дифференциальных градуированих модулей.
Универсальная алгебра, которая близка к математической логике, рассматривает произвольные алгебраические структуры, заданные системой аксиом.
Теория категорий позволяет изучать различные алгебраические концепции и взаимодействие между ними в наиболее абстрактном смысле.
Теория групп широко применим как в математике, например, в геометрии, топологии, гармоническом анализе и теории дифференциальных уравнений, так и за ее пределами, в таких отраслях как кристаллография, квантовая физика и квантовая химия. Линейная алгебра играет немаловажную роль почти во всех областях математики, а также в математической экономике. Из других разделов абстрактной алгебры, гомологической алгебры и теория категорий имеют плодотворные связи с алгебраической топологией.