(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1
+ x2
+ … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A =
~
.
RgA = 2.
A* =
RgA* = 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А =
;
= 2 + 12 = 14 не равно 0; RgA = 2;
A* =
RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.