Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0) (1)
Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности S в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
(2)
Пусть поверхность задана уравнением
(3)
в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(4)
Условимся писать вместо .
Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:
, (5)
а уравнение нормали к в точке - так:
. (6)
Пример 1. Уравнение
(7)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).
Рис. 1
Левая часть уравнения (7) имеет частные производные
,
одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением
.
Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
.
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
в точке
Решение: Имеем
Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть
4x - 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):
Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу
Решение. Имеем
Тогда
Уравнение касательной плоскости запишем в виде
или .
Уравнение нормали имеет вид