Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и операций образования сложной функции.
Например, функция
является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: степенной и тригонометрической с помощью операции сложения.
Функция
является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: , , , , , с помощью конечного числа алгебраических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций образования сложной функции.
Примеры неэлементарных функций: функция Дирихле (рис.7); функция y=[x] (читается «y равно антье x») – целая часть от значений аргумента x (рис.8).
Функция Дирихле:
определена на всей числовой прямой; множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. График ее изобразить невозможно. На рис.7 приведено лишь схематическое изображение функции Дирихле.
Функция y=[x] задана для вещественных значений x (x є R), а множество ее значений состоит из целых чисел (y є Z) (рис.7).
Рис.7 Рис.8
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Функция называется алгебраической, если над ее аргументом проводится конечное число алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление). Алгебраические функции тесно связаны со степенными. К ним относятся:
- Многочлен (полином) – целая рациональная функция Pn(x):
.
Здесь – постоянные числа (коэффициенты); nÎN – степень многочлена. Функция определена на всей числовой оси.
К целым рациональным относятся распространенные линейная (степень n=1) и квадратичная (n=2) функции.
- Дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов Pn(x)/ Qm(x):
- Иррациональная функция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.
Неалгебраические (трансцендентные) функции получают из показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций.