Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда rω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2) во всем интервале частот.
Интегрирование дает:
Введем обозначение:
тогда выражение для энергетической светимости R примет следующий вид:
Это и есть закон Стефана-Больцмана.
М. Стефан на основе анализа опытных данных пришел в 1879 г. к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени температуры.
Л. Больцман в 1884 г. нашел из термодинамических соображений, что такая зависимость энергетической светимости от температуры справедлива лишь для абсолютно черного тела.
Постоянная σ носит название постоянной Стефана-Больцмана. Ее экспериментальное значение:
Вычисления по теоретической формуле дают для σ результат очень хорошо согласующийся с экспериментальным.
Отметим, что графически энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т), это иллюстрирует рисунок 2.1.
Рис. 2.1
Максимум графика спектральной плотности энергетической светимости φ(λ,Т) при повышении температуры смещается в область более коротких волн (рис. 2.2). Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум. Определив положение этого максимума, мы получим закон его перемещения с изменением температуры.
Рис. 2.2
Как известно из математики, для исследования функции на максимум надо найти ее производную и приравнять к нулю:
Подставив сюда φ(λ,Т) из (1.23) и взяв производную, получим три корня алгебраического уравнения относительно переменной λ. Два из них (λ = 0 и λ = ∞) соответствуют нулевым минимумам функции φ(λ,Т). Для третьего корня получается приближенное выражение:
Введем обозначение:
тогда положение максимума функции φ(λ,Т) будет определятся простой формулой:
Это и есть закон смещения Вина.
Он назван так в честь В. Вина, теоретически получившим в 1894 г. это соотношение. Постоянная в законе смещения Вина имеет следующее численное значение:
Итоги лекции N 2
1. Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, что все попытки получить на основе классической физики зависимость φ(λ,Т) - спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела потерпели неудачу.
2. Эту проблему решил в 1900 г. М. Планк на основе своей гипотезы квантов: заряд, совершающий колебания с частотой v, может получить или отдавать энергию порциями или квантами. Величина кванта энергии:
здесь h = 6,626 ·10-34 - постоянная Планка, величина Дж·с также называется постоянной Планка ["аш" с чертой], ω - круговая (циклическая) частота.
3. Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет следующий вид (см. (2.4):
здесь λ - длина волны электромагнитного излучения, Т - абсолютная температура, h - постоянная Планка, с - скорость света в вакууме, k - постоянная Больцмана.
4. Из формулы Планка следует выражение для энергетической светимости R абсолютно черного тела:
которое позволяет теоретически вычислить постоянную Стефана-Больцмана (см. (2.5)):
теоретическое значение которой хорошо совпадает с ее экспериментальным значением:
в законе Стефана-Больцмана (см.(2.6)):
5. Из формулы Планка следует закон смещения Вина, определяющий λmax - положение максимума функции φ(λ,Т) в зависимости от абсолютной температуры (см. (2.9):
Для b - постоянной Вина - из формулы Планка получается следующее выражение (см. (2.8)):
Постоянная Вина имеет следующее значение b = 2,90 ·10-3 м·К.
ЛЕКЦИЯ N 3