Выполнить преобразование Z2 = 1100012 → Z8. Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8 = 23, следовательно, r = 3) и каждая тройка в соответствии с таблицей 4.1. переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:
Следовательно, 1100012 = 618. Аналогично, разбивая Z2 на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим 1100012= 3116.
Теорема 2. Для преобразования целого числа Zp → Zq в том случае, если системы счисления связаны соотношением р = qr, где r - целое число большее 1, достаточно каждую цифру Zp заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q, дополняя его при необходимости незначащими нулями слева до группы в r цифр.
Доказательство:
Пусть исходное число содержит две цифры, т.е.
Для каждой цифры справедливо: 0 ≤ ai ≤ р - 1 и поскольку р = qr, 0 ≤ ai ≤ qr-1, то в представлении этих цифр в системе счисления q максимальная степень многочленов (4.1) будет не более r - 1 и эти многочлены будут содержать по r цифр:
Тогда
причем, число Zq содержит 2r цифр. Доказательство легко обобщается на случай произвольного количества цифр в числе Zp.
Пример 4.7 Выполнить преобразование D316 → Z2.
Переходы Z8 → Z16 и Z16 → Z8, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например, 1238 = 0010100112 = 5316.