Каждый компонент векторного критерия присваивается вес и в этом случае альтернатива превосходит , если . Это наиболее сильное решающее правило, оно позволяет упорядочить альтернативы в любых случаях. Недостаток свертывания векторного критерия в скалярный, состоит в том, что к единой шкале сводятся качественно-различные характеристики объектов, т.е. с помощью этого критерия можно выбрать наилучшие характеристики, т.к. критерий с одной стороны сильный, а с другой имеет недостатки.
Сведение задачи к поиску экстремума единственной цели в условиях ограничения
При использовании этого подхода чаще всего поиск выглядит следующим образом:
1. последовательно считают переменной одну из целей и оптимизируют ее, а остальные цели рассматриваются, как ограничения. В результате оптимизации по каждой компоненте критерия выделяется множество альтернатив и из этого множества альтернатив пытаются выделить лучшую альтернативу. При этом часто возникают ситуации, когда в результате решения задачи этим способом получается множество альтернатив, к которым нужно применять дополнительный критерий или выполнить субъективный выбор. Все это — недостаток этого критерия.
Лексикографический метод решения задач с векторным критерием
Этот метод предполагает, что компоненты векторного критерия можно упорядочить некоторым иерархическим способом, т.е. есть некоторая главная компонента , менее главная компонента и т.д.:
Вначале выделяем множество лучших альтернатив с помощью компоненты — наиболее важная компонента векторного критерия.
Обычно выделяется некоторое подмножество компонент. Затем к выделенному подмножеству, альтернативу применяется следующая по важности компонента векторного критерия.
Если в результате применяется последний компонент векторного критерия выделяется не одна альтернатива, а множество альтернатив, то лучшую альтернативу из оставшихся выделяют с помощью дополнительного критерия или делают субъективный выбор.
Этот метод применяется широко, но он предполагает иерархию целей и в общем случае не гарантирует единственное решение.
Задачи с векторным критерием не имеют универсальных методов решения. В каждом случае нужно исходить из смысла задачи и исходя из этого смысла применять тот или иной способ решения задачи.
Лекция № 7
Теоретико–игровые модели принятия решений
Пример: Как должен действовать человек, чтобы его выигрыш был максимален, при условии, что среда враждебна.
y1
y2
y1
x1
x2
x3
В этом случае применим :
Элементы теории игр:
Теория игр — это раздел математики, изучающей методы принятия решений в конфликтной ситуации.
Игра — математическая модель конфликтной ситуации, в которой определены участники конфликта — игроки, их возможные действия — стратегии, получаемая ими информация, условия окончания игры и правила изменения заинтересованности каждого игрока.
Партия игры — случай розыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала до конца.
Основное направление в классификацию игр:
— количество игроков;
— количество стратегий;
— характер взаимоотношений между игроками;
— характер выигрышей;
— вид функций выигрышей;
— количество ходов и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n-игроков.
По количеству стратегий:
— конечные игры;
— бесконечные игры.
По характеру взаимодействия игроков:
— коалиционные игры;
— бескоалиционные игры.
По характеру выигрышей:
— игры с нулевой суммой (антагонистические игры);
— игры с ненулевой суммой.
В играх с нулевой суммой, сумма выигрыша всех игроков в каждой партии равно нулю, т.е. общий капитал игроков не меняется, а перераспределяется между игроками.
По виду функции выигрышей игры делятся на:
— матричные;
— биматричные и др.
Матричная игра — это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которых задаются выигрыши первого игрока в виде матрицы.
Изучение матричных игр
Биматричная игра — конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которых выигрыш каждого игрока задается матрицами отдельно.
y1
…
yi
…
ym
x1
a11
a1j
a1m
xi
aij
xn
anm
Стратегии первого и второго игрока называется чистыми стратегиями.
Партия игры разыгрывается следующим образом:
первый игрок — выбирает некоторую стратегию ;
второй игрок — , причем игроки не знают, какие стратегии выбирают из противники.
После выбора стратегий первый игрок получает выигрыш , если >0, а второй игрок проигрывает (и наоборот — первый игрок проиграл, если <0), т.е. выигрыш первого игрока равняется проигрышу второго и наоборот. Сумма выигрыша первого и второго игрока равны нулю — это антагонистическая игра.
Пример: Предприятие выпускает два вида периодических информационно-рекламных изданий и . Для постоянно действующей выставки-продажи вычислительных средств, каждые две недели, расходы на производство и реализацию продукции не должны превышать $40000, себестоимость издания , а отпускная цена 12$.
Себестоимость , а отпускная цена 8$. Если продукция не реализуется в течении первых двух недель, то она устаревает и продается следующие две недели по цене в 4 раза меньше отпускной — 3$ и 2$. Реализация продукции и зависит т вида вычислительной техники, поступившей на выставку.
При вычислительной техники специального назначения реализуется 1000 единиц продукции и 6000 . При вычислительной техники развлекательно-бытового назначения реализуется 4000 и 1200 . Причем на продажу этих изданий в обеих случаях тратится 2000$.
Не обходимо определить оптимальные стратегии фирмы, выпускающей и , условия. когда неизвестно какой ассортимент выставки-продажи будет в ближайшие две недели.
Таким образом имеем два игрока:
1. Фирма:
две стратегии:
— специальное назначение;
— развлекательные назначения.
2. Неопределенность рынка:
две стратегии:
— вычислительная техника специального назначения;
— вычислительная техника развлекательного назначения.
y1 y2
таким образом, получим матрицу:
1. Фирма ориентируется на вычислительную технику специального назначения и на рынке преобладает вычислительная техника специального назначения:
Р — прибыль;
Z — сумма выручки за реализацию продукции;
С — затраты на производство и реализацию продукции.
Расчеты будем производить на две недели:
, затраты те же, но на рынке другие условия и будем рассчитывать:
, т.е. фирма несет убытки.
— фирма применяет вторую стратегию и рынок тоже (развлекательно-бытовая)
4. затраты — 40000$
на рынке — вычислительная техника специального назначения;
на фирме —
— матричная игра двух игроков
Подходы игрока к решению матричных игр
Стратегия игрока называется оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает игроков наибольшим гарантируемым выигрышем при любых возможных стратегиях другого игрока.
— гарантирует некоторое число α
Число α называется нижней чистой ценой игры и показывает какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии при всевозможных стратегиях второго игрока.
Действия второго игрока может гарантировать его проигрыш не больше числа β.
β — чистая верхняя цена игры и это число показывает какой максимальный выигрыш за счет своей стратегии может получить первый игрок.
Или какой минимальный проигрыш может гарантировать себе второй игрок, т.е. выигрыш первого игрока при оптимальной стратегии обоих игроков находится между α и β:
Теорема: Для матричной игры с любой матрицы А справедливо соотношение, что .
Доказательство: Возьмем в дополнительном столбце матрицы А элемент равный α находится в некоторой і-й строке, тогда (минимальному элементу этой строки — фиксированное).
Возможность второго случая — элемент равняется максимальному элементу, рассматриваемого столбца (столбца j0). В этом случае этот элемент выносится в дополнительную строку, (т.к. он обеспечивает эту возможность).
— элемент не является максимальным элементом столбца. В этом случае имеется некоторые элементы, которые больше α и он попадает в эту дополнительную строку .
Лекция № 8