Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины , k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности . Полученные точки соединяются отрезками прямых. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (рис.1).
Рис.1
Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одной из форм закона распределения.
Пример 1.Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.
Решение. Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид:
X
p
Многоугольник распределения изображен на рис. 2.
Рис.2
Пример 2.Построить ряд распределения числа очков, выпавших при броске кубика.
Решение. Случайная величина X принимает следующие значения: X=1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствующие выпадениям «единицы», «двойки», «тройки», «четверки», «пятерки», «шестерки» на верхней грани кубика. Так как все эти события равновозможны, то соответствующие значениям случайной величины вероятности равны . Значит, ряд распределения запишется в таком виде:
X
p
Задача 1. Построить ряд распределения числа выпавших гербов при двух бросках монеты.
Решение. Случайная величина – количество выпавших гербов при двух подбрасываниях монеты может принимать три значения: 0, 1 и 2. Значение =0 соответствует тому, что герб не выпал ни разу, значение =1 соответствует выпадению герба и решки или решки и герба, значение =2 – выпадению двух гербов. Соответствующие вероятности можно найти по формуле Бернулли, но еще легче по теоремам умножения и сложения вероятностей:
; ; .
Проверка: .
Ряд распределения запишется в виде:
X
p
Задача 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд и многоугольник распределения числа попаданий в мишень.
Решение. Случайная величина Х – число попаданий в мишень при трех выстрелах. Возможные значения Х: =0, =1, =2, =3. Вероятность того, что произойдут k попаданий (k=0, 1, 2, 3) при трех выстрелах подсчитывается по формуле Бернулли:
(0£ k£ 3),
где вероятность попадания при одном выстреле p=0,6 , q - вероятность промаха, q=1–0,6=0,4.
=== 0,064;
===3= 0,288;
===3= 0,432;
=== 0,216.
Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
X
p
0,064
0,288
0,432
0,216
Можно проверить, что, действительно, =0,064+0,288+0,432+ +0,216=1.
Многоугольник распределения числа попаданий при трех выстрелах изображен на рис. 3.
Рис. 3
Распределения случайных величин в задачах 1 и 2 являются частными случаями биномиального распределения вероятностей при n = 2 и n = 3.