Рассмотрим теперь дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть в некоторой точке с координатами напряженность поля (рис.1.1.16) равна .Построим около точки прямоугольный бесконечно малый параллелепипед объемом . Объемная плотность заряда в нем равна и зависит от координат выбранной точки поля: .
Поток вектора через правую грань (1) равен:,
а через левую (2):,
Поэтому поток вдоль оси равен
Таким же образом для верхней и нижней грани получим: ,
для задней и передней: .
По теореме Гаусса , причем - заряд, заключенный внутри объема (ввиду малости можно считать что внутри параллелепипеда всюду одинакова), , тогда
, или
Сумма, стоящая в левой части, называется дивергенцией вектора ,
, или
-дивергенция вектора напряженности равна объемной плотности зарядов, создающих поле, деленной на . Это выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она характеризует поле в точке. Электрические заряды являются источниками и стоками поля вектора . Линии вектора начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Если - это источник поля , если - сток поля. Если , то в данной точке нет зарядов, линии не прерываются.