В аксиоматической семантике алгебраического подхода система (5.1) интерпретируется как набор аксиом в рамках некоторой формальной логической системы, в которой есть правила вывода и/или интерпретации определяемых объектов.
Для интерпретации системы (5.1) вводится понятие аксиоматического описания (S,E) - логически связанной пары понятий: S - сигнатура используемых в системе (5.1) символов функций f1,f2,...,fm и символов констант (нульместных функциональных символов) c1,c2, ..., cl, а E - набор аксиом, представленный системой (5.1). Предполагается, что каждая переменная xi, i=1,...,k, и каждая константа ci, i=1,...,l, используемая в E, принадлежит к какому-либо из типов данных t1,t2,...,tr, а каждый символ fi, i=1,...,m, представляет функцию, типа
ti1 * ti2 * ... * tik -> ti0.
Такое аксиоматическое описание получит конкретную интерпретацию, если будут заданы конкретные типы данных ti=ti', i=1,...,r, и конкретные значения констант ci=ci', i=1,...,l. В таком случае говорят, что задана одна конкретная интерпретация A символов сигнатуры S, называемая алгебраической системой
A=(t1', ... ,tr', f1', ... ,fm', c1', ... ,cl'),
где fi', i=1,...,m, конкретная функция, представляющая символ fi. Таким образом аксиоматическое описание (S,E) определяет класс алгебраических систем (частный случай: одну алгебраическую систему), удовлетворяющих системе аксиом E, т.е. превращающих равенства системы E в тождества после подстановки в них fi', i=1,...,m, и ci', i=1,...,l, вместо fi и ci соответственно.
В программировании в качестве алгебраической системы можно рассматривать, например, тип данных, при этом определяемые функции представляют операции, применимые к данным этого типа. Так К. Хоор построил аксиоматическое определение набора типов данных [5.4], которые потом Н. Вирт использовал при создании языка Паскаль.
В качестве примера рассмотрим систему равенств
УДАЛИТЬ(ДОБАВИТЬ(m,d))=m,
ВЕРХ(ДОБАВИТЬ(m,d))=d,
УДАЛИТЬ(ПУСТ)=ПУСТ,
ВЕРХ(ПУСТ)=ДНО,
где УДАЛИТЬ, ДОБАВИТЬ, ВЕРХ - символы функций, а ПУСТ и ДНО - символы констант, образующие сигнатуру этой системы. Пусть D, D1 и М - некоторые типы данных, такие, что mM, dD, ПУСТM, ДНОD1, а функциональные символы представляют функции следующих типов:
УДАЛИТЬ: M -> M,
ДОБАВИТЬ: M * D -> M,
ВЕРХ: M -> D1.
Данная сигнатура вместе с указанной системой равенств, рассматриваемой как набор аксиом, образует некоторое аксиоматическое описание.
С помощью этого аксиоматического описания определим абстрактный тип данных, называемый магазином, задав следующую интерпретацию символов ее сигнатуры: пусть D - множество значений, которые могут быть элементами магазина, D1=D | {ДНО}, а M - множество состояний магазина,
M={d1,d2, ... ,dn | diD, i=1,...,n, ni0},
ПУСТ={}, ДНО - особое значение (зависящее от реализации магазина), не принадлежащее D. Тогда указанный набор аксиом определяют свойства магазина.
С аксиоматической семантикой связана логика равенств (эквациональная логика), изучаемая в курсе "Математическая логика". Эта логика содержит правила вывода из заданного набора аксиом других формул (равенств).