Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая а, пересекающая плоскость {file504},называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любойпрямой плоскости, проходящей через точку О пересечения прямой a и плоскости{file504}. Теорема. Если прямая а перпендикулярна двумпрямым b и с, плоскости {file504}, проходящимчерез точку О пересечения а и {file504},то а перпендикулярна {file504}. {file505} Пусть дана прямая a и две прямые b и с, лежащие в плоскости {file504}:а _|_ b, a _|_ с (рис. 29), О — точка пересечения b и с. Пусть х — другая(отличная от b и с) прямая, лежащая в {file504}и проходящая через точку О. Надо доказать, что a _|_ x. Проводом в плоскости {file504} произвольнуюпрямую l, пересекающую прямые b и с и не проходящую через точку О. ОбозначимВ = l{file506}b, С = l {file506}си X = l {file506}х. Берем на а две точкиА₁и А₂,так что OА₁= ОА₂(А₁и А₂— по разные стороны от {file504}. Рассмотримобразовавшиеся треугольники. 1. {file507}А₁ОВ= {file507}А₂ОВкак прямоугольные треугольники с ранными катетами. Значит, А₁В= А₂В. 2. {file507}А₁ОС= {file507}А₂ОСпо аналогичной причине. Отсюда А₁С= А₂С. 3. {file507}А₁СВ= {file507}А₂СВпо трем сторонам. Значит, < А₁BC= < А₂BC. 4. Обратимся к треугольникам А₁BXи А₂BX.В них А₁B= А₂B,ВХ — общая, < А₁BX= < А₂BX(по первому признаку). Отсюда следует, что А₁X= А₂X.Значит, {file507}А₁XА₂- равнобедренный, О — середина А₁А₂.Значит, ОX - медиана, а тогда и высота, равнобедренного треугольника.Следовательно, a _|_ х.