Содержание
Введение
1 Постановка задачи
2 Математические и алгоритмические основы решения задачи
3 Программная реализация решения задачи
4 Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.
/>,
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой /> уравнение сводится к квадратному уравнению /> с последующим решением двух двучленных уравнений /> и /> (/> и /> — корни соответствующего квадратного уравнения).
Если /> и />, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
/>,
/>.
Если />, /> то биквадратное уравнение имеет два действительных корня /> и мнимых сопряженных корня:
/>.
Если /> и />, то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
Случай />, /> аналогичен разобранному.
/>,
/>
Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.
1. Постановка задачи
Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, придем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.
Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.
Пример 1.
Решить уравнение
x4+4x2-21=0.
Решение:
Положив x2 = y, получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1= -7, y2=3.
Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим
/>,
которые являются корнями заданного биквадратного уравнения..
Ответ: />.
Пример 2.
Решить биквадратное уравнение.
2х4– 5х2+2=0
Решение:
Обозначим х2=t. Тогда х4=(х2)2=t2и уравнение примет вид:
2t2–5t+2=0
D=(–5)2 – 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,
t1=(5+3) / 4=2 и t2=(5 – 3) / 4=1 / 2.
Так как t=x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений
х1=2 и х2=1/2.
Имеем />
Ответ:/>
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
Рассмотрим биквадратное уравнение
ax4+ bx2+ c = 0.
Введем подстановку
y = x2.
Получим квадратное уравнение общего вида
ay2+ by + c = 0.
Таким образом, для решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе двух уравнений второй степени:
y = x2
ay2+ by + c = 0.
Решим квадратное уравнение относительно переменной «y». Получим три возможных варианта решений:
дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;
дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;
дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.
В первом случае, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay2+ by + c = 0, не имеет решения.
Последние два случая соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт, что первое уравнение системы ax2= y имеет смысл только при значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay2+by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того, если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay2+by +c = 0 отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения. --PAGE_BREAK--
И только в том случае, когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.
Словесное описание алгоритма решения задачи:
Ввести a, b, c.
Присвоить d = b2— 4ac
Если d
Присвоитьy1 = (-b — SQRT(d)) / (2*a)
Присвоитьy2 = (-b + SQRT(d)) / (2*a)
Если y1
Если y1=0 перейти к 9
Если y1>=0 и y2
Присвоить x1 = SQRT(y2)
Присвоить x2 = -x1
Выдать «x1=»;x1, «x2=»;x2
Перейти к 16
Присвоить y2 = y1
Перейти к 9
Выдать «Действительных решений нет»
Закончить
3. Программная реализация решения задачи
Файл UBikvur.h
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef UBikvurH
#define UBikvurH
//---------------------------------------------------------------------------
#include
#include
#include
#include
#include «HandTuning.h»
#include
#include
//---------------------------------------------------------------------------
class TfrmBikvur: public TForm
{__published: // IDE-managed Components
THandTuning *htA;
THandTuning *htB;
THandTuning *htC;
TButton *btnCalc;
TListBox *lbxX;
TLabel *Label1;
TLabel *Label2;
TButton *btnExit;
TButton *btnClear;
TMainMenu *MainMenu1;
TMenuItem *N1;
TMenuItem *N2;
TMenuItem *N3;
TMenuItem *N4;
TMenuItem *N5;
TLabel *Label3;
TLabel *Label4;
TLabel *Label5;
void __fastcall btnCalcClick(TObject *Sender);
void __fastcall btnExitClick(TObject *Sender);
void __fastcall btnClearClick(TObject *Sender);
private: // User declarations
list __fastcall Bikvur(double a, double b, double c);
public: // User declarations
__fastcall TfrmBikvur(TComponent* Owner);};
//---------------------------------------------------------------------------
extern PACKAGE TfrmBikvur *frmBikvur;
//---------------------------------------------------------------------------
#endif
ФайлUBikvur.cpp
//---------------------------------------------------------------------------
#include
#include
#include
#pragma hdrstop
#include «UBikvur.h»
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma link «HandTuning»
#pragma resource "*.dfm"
TfrmBikvur *frmBikvur;
//---------------------------------------------------------------------------
list __fastcall TfrmBikvur::Bikvur(double a, double b, double c)
{double y1, y2;
list x;
//вычислене d дискриминанта
double d = b * b — 4 * a * c;
//корни существуют, если d >= 0
if(d >= 0)
{y1 = (-b — sqrt(d)) / 2 * a;
y2 = (-b + sqrt(d)) / 2 * a;}
if(d
{Application->MessageBoxA(L«Действительных корней нет», L«Информация», MB_OK + MB_ICONINFORMATION);
return x;}
//вычисление корней биквадратного уравнения
else
{if(y1 >= 0 && y2 >= 0)
{x.push_back(sqrt(y1));
x.push_back(-sqrt(y1));
x.push_back(sqrt(y2)); продолжение
--PAGE_BREAK--
x.push_back(-sqrt(y2));}
else
{if(y1 = 0)
{x.push_back(sqrt(y2));
x.push_back(-sqrt(y2));}
else
{x.push_back(sqrt(y1));
x.push_back(-sqrt(y1));}}}
return x;}
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TfrmBikvur::TfrmBikvur(TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TfrmBikvur::btnCalcClick(TObject *Sender)
{lbxX->Clear();
list res = Bikvur(htA->Value, htB->Value, htC->Value);
int i = 1;
while(!res.empty())
{lbxX->Items->Add(«x» + IntToStr(i) + " = " + FormatFloat(«0.000», res.front()));
res.pop_front();
i++;}}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TfrmBikvur::btnExitClick(TObject *Sender)
{this->Close();}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TfrmBikvur::btnClearClick(TObject *Sender)
{htA->Value = 0;
htB->Value = 0;
htC->Value = 0;
lbxX->Clear();}
//---------------------------------------------------------------------------
4. Пример выполнения программы
Пример 1.
/>
Рисунок 1 – Решение биквадратного уравнения />
Пример 2.
/>
Рисунок 2 – Решение биквадратного уравнения />
Пример 3.
/>
Рисунок 3 – Решение биквадратного уравнения />
Пример 4.
/>
Рисунок 4 – Решение биквадратного уравнения />
Пример 5.
/>
Рисунок 5– Решение биквадратного уравнения />
Пример 6.
/>
Рисунок 6 – Очистка из пункта меню
Пример 7.
/>
Рисунок 7 – Выход из программы
Заключение
В рамках данной курсовой работы была поставлена задача: построить алгоритм и реализовать программный продукт для нахождения корней биквадратного уравнения.
В результате проектирования был составлен принципиальный алгоритм для решения поставленной задачи. Далее он был детализован и реализован на ЭВМ. В конце, был проведён анализ полученных результатов, и сделаны необходимые выводы.
Программный продукт был реализован в среде визуального программирования CodeGear RadStudio 2009 под ОС типа Windows для IBM PC-совместимых компьютеров.
Созданный программный продукт позволяет решить поставленную задачу. Также можно указать о том, что программа имеет интуитивно понятный интерфейс, что дополнительно помогает пользователю с наибольшей результативностью использовать программу.
В заключение после анализа полученных результатов были сделаны выводы, согласно которым алгоритм работает и применим для поставленной задачи.
Список использованных источников и литературы
Архангельский, А.Я. Программирование в С++ Builder 6. [Текст] / А.Я.Архангельский. – М.: Бином, 2003. С. 1154.
Ахо, А… Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Электронный ресурс] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж… Ульман. – М.: Мир. 1999. С. 143.
Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.
Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.
Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.
Биквадратные уравнения [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://fio.ifmo.ru/archive/group34/c4wu2/pege3-2.htm
Павловская, Т.А. Программирование на языке высокого уровня. [Текст] / Т.А. Павловская. – М.: Питер, 2003. С. 461.
Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.