Пошукова робота на тему:
Наближене розв’язування рівнянь: графічне відокремлення коренів, методи проб, хорд і дотичних. Дотична і нормаль до кривої.
План
Дотична і нормаль до плоскої кривої
Наближене розв’язування рівнянь
Графічне відокремлювання коренів
Методи проб, хорд і дотичних
Інтерполювання
ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ.
НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ
1. Дотична і нормаль до плоскої кривої
Якщо /> є рівняння кривої, а точка /> є точка дотику, то рівняння дотичної має вигляд
/>, (7.1)
де />.
Пряма, яка проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної, називається нормаллю до кривої. Використаємо умову перпендикулярності двох прямих, тоді для нормалі одержимо рівняння
/>. (7.2)
Приклади.
1. Скласти рівняння дотичної та нормалі до параболи /> в довільній її точці />.
Р о з в ’ я з о к. Диференціюємо рівняння параболи: />, звідки />, тому />.
Рівняння дотичної до параболи
/>;
рівняння нормалі до параболи
/>/>.
2. Скласти рівняння дотичної та нормалі до циклоїди
/>.
Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо
/>.
Рівняння дотичної до циклоїди в точці />, що відповідає значенню параметра />:
/> (дотична);
/> (нормаль).
Дотична і нормаль кривої, побудовані в довільній її точці />, в перетині з віссю /> утворюють прямокутний трикутник /> (рис. 7.1).
Катети цього трикутника /> і/>та відрізки />і />часто використовуються в різних питаннях геометрії і дістали спеціальні позначення і назви:
/>— довжина дотичної;
/> — довжина нормалі;
/> — піддотична;
/> -піднормаль.
/>/>
Рис.7.1
Ці відрізки можуть бути виражені через значення /> та/>в точці />:
/> , або />;
/>, або />;
/>, або />;
/>, або />.
Враховуючи, що як />, так і /> можуть мати від’ємні значення, одержані формули перепишемо:
/>. (7.3)
2. Наближене розв’язування рівнянь />
Розглянемо рівняння /> і нехай />— його дійсний корінь, тобто /> Геометрично рівність /> означає, що графік функції /> проходить через точку /> осі /> Далі ми будемо розв’язувати задачу про знаходження з наперед />заданою точністю наближеного значення кореня /> рівняння />Спочатку розглянемо питання про відокремлення коренів рівняння.--PAGE_BREAK--
Корінь /> рівняння /> відокремлений, якщо знайдено відрізок ( позначимо його /> ), в якому, крім />, немає інших коренів цього рівняння.
Задача відокремлення коренів рівняння /> розв’язується просто, якщо побудова графіка функції /> не є важкою. Дійсно, маючи графік функції />, легко виділити відрізки, в кожному із яких знаходиться лише один корінь розглядуваного рівняння, або, що те саме, виділити відрізки, на кожному із яких є лише одна точка перетину кривої /> з віссю/>
Відділити корені рівняння /> при умові, що />— диференційована функція, можна не лише графічно. Нехай на кінцях деякого відрізка /> функція /> має значення різних знаків. Тоді за властивістю неперервних функцій ця функція на інтервалі /> по меншій мірі один раз обертається в нуль, тобто рівняння />має по меншій мірі один корінь.
Якщо похідна /> зберігає знак на відрізку />, то внаслідок монотонності функції /> рівняння />на інтервалі /> має єдиний корінь.
У цьому випадку числа /> та /> є наближеними значеннями кореня /> відповідно з нестачею і з надлишком. Ці інтервали можна звужувати, тоді границі їх будуть давати все точніші наближення для коренів рівняння.
Нехай корінь /> рівняння /> відокремлений, тобто є відрізок />, на якому, крім />, немає інших коренів цього рівняння.
Відшукаємо значення /> з будь-якою точністю за таких допущень: функція /> має на відрізку /> неперервні похідні до другого порядку включно і, крім того, похідні /> і /> зберігають знаки на цьому відрізку. Із цих умов випливає, що />— монотонна функція на відрізку />, яка на кінцях має різні знаки, а також, що крива /> опукла або вгнута (рис.7.2).
/>
/>
Рис.7.2
Уточнимо корінь /> рівняння />способами хорд і дотичних. Зміст цих способів полягає в тому, що точка перетину кривої /> з віссю /> замінюється точкою перетину з віссю/>відповідно хорди ( в методі хорд ) і дотичної (в методі дотичних ).
7.2.1.Метод хорд
Напишемо рівняння хорди/>:
/>
і покладемо в нього />. Знайдемо />— абсцису точки перетину
хорди /> з віссю />:
/>
Із умов, яким задовольняє функція />, випливає, що />Позначимо через /> точку кривої />, відповідну/>(рис.7.3).
Розглянемо хорду /> та знайдемо її точку перетину з віссю />
/>
при цьому />
Продовжуючи цей процес, означимо послідовність />:
/>
Послідовність />— монотонна, обмежена і збіжна. Можна довести, що />.
Абсолютна похибка />-го наближення />оцінюється за нерівністю
/>
де />— найменше значення /> на відрізку />Тому можна зупинити процес /> тоді, коли /> стане менше допустимої похибки результату.
3. Метод дотичних
Проведемо дотичну до кривої /> в точці />(рис.7.4 ). продолжение
--PAGE_BREAK--
Саме в цій точці збігаються знаки функції /> та /> (дотична
до кривої в точці /> може перетнути вісь /> за межами відрізка
/> ).
/>
Рис.7.3 Рис.7.4
Знайдемо точку перетину цієї дотичної з віссю />. Рівняння дотичної запишемо у вигляді:
/>.
Покладемо в цьому рівнянні />. Знайдемо />— абсцису точки перетину дотичної з віссю />:
/>,
Значенню /> відповідає точка кривої />. Абсциса точки перетину дотичної до кривої /> в точці /> з віссю /> буде
/>.
Продовжуючи цей процес, знайдемо
/>.
Послідовність/>— монотонна і обмежена. Можна довести, що />.
Абсолютна похибка />-го наближення може бути оцінена за нерівністю
/>.
Якщо потрібно обчислити корінь рівняння />з
абсолютною похибкою, не більшою від заданого числа /> то закінчуємо обчислення при
/>.
Зауваження.На практиці часто використовують обидва методи. Одним методом одержують наближення шуканого кореня з нестачею, а другим – з надлишком.
Яким саме методом одержується наближення кореня з нестачею, а яким – з надлишком, залежить від функції />. Якщо врахуємо, що кожна послідовність /> та />— монотонна, то легко знаходити корінь з заданою точністю, оскільки знаки, що збігаються в наближеннях /> та /> (в наближеннях /> та />) є правильними.