--PAGE_BREAK--
1.3. Использование законов распределения случайных величин
Для качественной оценки сложной системы удобно использовать результаты теории случайных процессов. Опыт наблюдения за объектами показывает, что они функционируют в условиях действия большого количества случайных факторов. Поэтому предсказание поведения сложной системы может иметь смысл только в рамках вероятностных категорий. Другими словами, для ожидаемых событий могут быть указаны лишь вероятности их наступления, а относительно некоторых значений приходится ограничиться законами их распределения или другими вероятностными характеристиками (например, средними значениями, дисперсиями и т.д.).
Для изучения процесса функционирования каждой конкретной сложной системы с учетом случайных факторов необходимо иметь достаточно четкое представление об источниках случайных воздействий и весьма надежные данные об их количественных характеристиках. Поэтому любому расчету или теоретическому анализу, связанному с исследованием сложной системы, предшествует экспериментальное накопление статистического материала, характеризующего поведение отдельных элементов и системы в целом в реальных условиях. Обработка этого материала позволяет получить исходные данные для расчета и анализа.
Законом распределения случайной величины называют соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Существует несколько законов распределения случайных величин.
1.3.1. Равномерное распределение
Данный вид распределения применяется для получения более сложных распределений, как дискретных, так и непрерывных. Такие распределения получаются с помощью двух основных приемов:
a) обратных функций;
b) комбинирования величин, распределенных по другим законам.
Равномерный закон – закон распределения случайных величин, имеющий симметричный вид (прямоугольник). Плотность равномерного распределения задается формулой:
т.е.на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность сохраняет постоянное значение (Рис.1).
Рис.1 Функция плотности вероятности и характеристики равномерного распределения
В имитационных моделях экономических процессов равномерное распределение иногда используется для моделирования простых (одноэтапных) работ, при расчетах по сетевым графикам работ, в военном деле – для моделирования сроков прохождения пути подразделениями, времени рытья окопов и строительства фортификационных сооружений.
Равномерное распределение используется, если об интервалах времени известно только то, что они имеют максимальный разброс, и ничего не известно о распределениях вероятностей этих интервалов.
1.3.2. Дискретное распределение
Дискретное распределение представлено двумя законами:
1) биноминальным, где вероятность наступления события в нескольких независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:
, где
n – количество независимых испытаний
m – число появления события в n испытаниях.
2) распределением Пуассона, где при большом количестве испытаний вероятность наступления события очень мала и определяется по формуле:
, где
k – число появлений события в нескольких независимых испытаниях
— среднее число появлений события в нескольких независимых испытаниях.
1.3.3. Нормальное распределение
Нормальное, или гауссово распределение, — это, несомненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов непрерывных распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания.
Непрерывная случайная величина t имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами т и > О, если ее плотность вероятностей имеет вид (Рис.2, Рис.3):
где т — математическое ожидание M[t];
— среднеквадратичное отклонение.
Рис.2, Рис.3
Функция плотности вероятности и характеристики нормального распределения
Любые сложные работы на объектах экономики состоят из многих коротких последовательных элементарных составляющих работ. Поэтому при оценках трудозатрат всегда справедливо предположение о том, что их продолжительность – это случайная величина, распределенная по нормальному закону.
В имитационных моделях экономических процессов закон нормального распределения используется для моделирования сложных многоэтапных работ.
1.3.4. Экспоненциальное распределение
Оно также занимает очень важное место при проведении системного анализа экономической деятельности. Этому закону распределения подчиняются многие явления, например:
1 время поступления заказа на предприятие;
2 посещение покупателями магазина-супермаркета;
3 телефонные разговоры;
4 срок службы деталей и узлов в компьютере, установленном, например, в бухгалтерии.
Функция экспоненциального распределения выглядит следующим образом:
F(x)=при 0
— параметр экспоненциального распределения, >0.
Экспоненциальное распределение являются частными случаями гамма — распределения.
На Рис.4 приведены характеристики гамма-распределения, а также график его функции плотности для различных значений этих характеристик.
Рис. 5 Функция плотности вероятности гамма-распределения
В имитационных моделях экономических процессов экспоненциальное распределение используется для моделирования интервалов поступления заказов, поступающих в фирму от многочисленных клиентов. В теории надежности применяется для моделирования интервала времени между двумя последовательными неисправностями. В связи и компьютерных науках – для моделирования информационных потоков.
1.3.5. Обобщенное распределение Эрланга
Это распределение, имеющее несимметричный вид. Занимает промежуточное положение между экспоненциальным и нормальным. Плотность вероятностей распределения Эрланга представляется формулой:
P(t)= при t≥0; где
K-элементарные последовательные составляющие, распределенные по экспоненциальному закону.
Обобщенное распределение Эрланга применяется при создании как математических, так и имитационных моделей.
Это распределение удобно применять вместо нормального распределения, если модель свести к чисто математической задаче. Кроме того, в реальной жизни существует объективная вероятность возникновения групп заявок в качестве реакции на какие-то действия, поэтому возникают групповые потоки. Применение чисто математических методов для исследования в моделях эффектов от таких групповых потоков либо невозможно из-за отсутствия способа получения аналитического выражения, либо затруднено, так как аналитические выражения содержат большую систематическую погрешность из-за многочисленных допущений, благодаря которым исследователь смог получить эти выражения. Для описания одной из разновидностей группового потока можно применить обобщенное распределение Эрланга. Появление групповых потоков в сложных экономических системах приводит к резкому увеличению средних длительностей различных задержек (заказов в очередях, задержек платежей и др.), а также к увеличению вероятностей рисковых событий или страховых случаев.
1.3.6. Треугольное распределение
Треугольное распределение является более информативным, чем равномерное. Для этого распределения определяются три величины — минимум, максимум и мода. График функции плотности состоит из двух отрезков прямых, одна из которых возрастает при изменении X от минимального значения до моды, а другая убывает при изменении X от значения моды до максимума. Значение математического ожидания треугольного распределения равно одной трети суммы минимума, моды и максимума. Треугольное распределение используется тогда, когда известно наиболее вероятное значение на некотором интервале и предполагается кусочно-линейный характер функции плотности.
На Рис.5 приведены характеристики треугольного распределения и график его функции плотности вероятности.
Рис.5 Функция плотности вероятности и характеристики треугольного распределения.
Треугольное распределение легко применять и интерпретировать, однако для его выбора необходимы веские основания.
В имитационных моделях экономических процессов такое распределение иногда используется для моделирования времени доступа к базам данных.
1.4. Планирование имитационного компьютерного эксперимента
Имитационная модель независимо от выбранной системы моделирования (например, Pilgrim или GPSS) позволяет получить два первых момента и информацию о законе распределения любой величины, интересующей экспериментатора (экспериментатор – это субъект, которому нужны качественные и количественные выводы о характеристиках исследуемого процесса).
1.4.1. Кибернетический подход к организации экспериментальных исследований сложных объектов и процессов.
Планирование эксперимента можно рассматривать как кибернетический подход к организации и проведению экспериментальных исследований сложных объектов и процессов. Основная идея метода состоит в возможности оптимального управления экспериментом в условиях неопределенности, что родственно тем предпосылкам, на которых базируется кибернетика. Целью большинства исследовательских работ является определение оптимальных параметров сложной системы или оптимальных условий протекания процесса:
1. определение параметров инвестиционного проекта в условиях неопределенности и риска;
2. выбор конструкционных и электрических параметров физической установки, обеспечивающих наиболее выгодный режим ее работы;
3. получение максимально возможного выхода реакции путем варьирования температуры, давления и соотношения реагентов – в задачах химии;
4. выбор легирующих компонентов для получения сплава с максимальным значением какой-либо характеристики (вязкость, сопротивление на разрыв и пр.) – в металлургии.
При решении задач такого рода приходится учитывать влияние большого количества факторов, часть из которых не поддается регулированию и контролю, что чрезвычайно затрудняет полное теоретическое исследование задачи. Поэтому идут по пути установления основных закономерностей с помощью проведения серии экспериментов.
Исследователь получил возможность путем несложных вычислений выражать результаты эксперимента в удобной для их анализа и использования форме.
1.4.2. Регрессионный анализ и управление модельным экспериментом
В общем случае объект исследования можно представить как некоторый «черный ящик» (Рис.6), на входе которого действуют управляющие параметры xi, (i = 1, 2,...,k) и неконтролируемые возмущения zj, (j= 1, 2, ...,m). Выходом объекта исследования являются показатели качества или какие-либо другие характеристики объекта h
v (v = 1, 2,...,n).
Рис.6 Схема исследования системы или процесса
Если рассмотреть зависимость одной из характеристик системы ηv(xi), как функцию только одной переменной xi (Рис.7), то при фиксированных значениях xi будем получать различные значения ηv(xi).
Рис.7 Пример усреднения результатов эксперимента
Разброс значений ηv в данном случае определяется не только ошибками измерения, а главным образом влиянием помех zj. Сложность задачи оптимального управления характеризуется не только сложностью самой зависимости ηv (v = 1, 2, …, n), но и влиянием zj, что вносит элемент случайности в эксперимент. График зависимости ηv(xi) определяет корреляционную связь величин ηv и xi, которая может быть получена по результатам эксперимента с помощью методов математической статистики. Вычисление таких зависимостей при большом числе входных параметров xi и существенном влиянии помех zj и является основной задачей исследователя-экспериментатора. При этом чем сложнее задача, тем эффективнее становится применение методов планирования эксперимента.
Различают два вида эксперимента:
— пассивный;
— активный.
При пассивном эксперименте исследователь только ведет наблюдение за процессом (за изменением его входных и выходных параметров). По результатам наблюдений затем делается вывод о влиянии входных параметров на выходные. Пассивный эксперимент обычно выполняется на базе действующего экономического или производственного процесса, который не допускает активного вмешательства экспериментатора. Этот метод мало затратный, но требует большого времени.
Активный экспериментпроводится главным образом в лабораторных условиях, где экспериментатор имеет возможность изменять входные характеристики по заранее намеченному плану. Такой эксперимент быстрее приводит к цели.
Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа. Регрессионный анализ является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.
Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии и установление влияния факторов на зависимую переменную, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.
1.4.3. Ортогональное планирование второго порядка.
Ортогональное планирование эксперимента (по сравнению с неортогональным) уменьшает число опытов и существенно упрощает расчеты при получении уравнения регрессии. Однако такое планирование осуществимо только при возможности проведения активного эксперимента.
Практичным средством отыскания экстремума является факторный эксперимент. Основные достоинства факторного эксперимента — простота и возможность отыскания экстремальной точки (с какой-то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточно гладкая и нет локальных экстремумов. Следует отметить два основных недостатка факторного эксперимента. Первый заключается в невозможности поиска экстремума при наличии ступенчатых разрывов неизвестной поверхности и локальных экстремумов. Второй — в отсутствии средств описания характера поверхности вблизи экстремальной точки из-за использования простейших линейных уравнений регрессии, что сказывается на инертности системы управления, так как в процессе управления необходимо проводить факторные эксперименты для выбора управляющих воздействий.
Для целей управления наиболее подходит ортогональное планирование второго порядка. Обычно эксперимент состоит из двух этапов. Сначала с помощью факторного эксперимента отыскивается область, где существует экстремальная точка. Затем в районе существования экстремальной точки проводится эксперимент для получения уравнения регрессии 2-го порядка.
Уравнение регрессии 2-го порядка позволяет сразу определять управляющие воздействия, без проведения дополнительных опытов или экспериментов. Дополнительный эксперимент потребуется только в случаях, когда поверхность отклика существенно изменится под воздействием неконтролируемых внешних факторов (например, существенное изменение налоговой политики в стране серьезным образом повлияет на поверхность отклика, отображающую производственные затраты предприятия
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА.
В данном разделе мы рассмотрим, как можно применить вышеизложенные теоретические знания к конкретным экономическим ситуациям.
Главная задача нашей курсовой работы – определить эффективность предприятия, занимающегося коммерческой деятельностью
Для реализации проекта мы выбрали пакет Pilgrim. Пакет Pilgrim обладает широким спектром возможностей имитации временной, пространственной и финансовой динамики моделируемых объектов. С его помощью можно создавать дискретно-непрерывные модели. Разрабатываемые модели имеют свойство коллективного управления процессом моделирования. В текст модели можно вставлять любые блоки с помощью стандартного языка C++. Пакет Pilgrim обладает свойством мобильности, т.е. переноса на любую другую платформу при наличии компилятора C++. Модели в системе Pilgrim компилируются и поэтому имеют высокое быстродействие, что очень важно для отработки управленческих решений и адаптивного выбора вариантов в сверхускоренном масштабе времени. Полученный после компиляции объектный код можно встраивать в разрабатываемые программные комплексы или передавать (продавать) заказчику, так как при эксплуатации моделей инструментальные средства пакета Pilgrim не используются.
Пятая версия Pilgrim — это программный продукт, созданный в 2000 г. на объектно-ориентированной основе и учитывающий основные положительные свойства прежних версий. Достоинства этой системы:
• ориентация на совместное моделирование материальных, информационных и «денежных» процессов;
• наличие развитой CASE-оболочки, позволяющей конструировать многоуровневые модели в режиме структурного системного анализа;
• наличие интерфейсов с базами данных;
• возможность для конечного пользователя моделей непосредственно анализировать результаты благодаря формализованной технологии создания функциональных окон наблюдения за моделью с помощью Visual C++, Delphi или других средств;
•возможность управления моделями непосредственно в процессе их выполнения с помощью специальных окон диалога.
Таким образом, пакет Pilgrim является хорошим средством создания как дискретных, так и непрерывных моделей, имеет много достоинств и значительно упрощает создание модели.
Объектом наблюдения является предприятие, которое занимается реализацией выпускаемого товара. Для статистического анализа данных функционирования предприятия и сравнения полученных результатов сопоставлялись все факторы, влияющие на процесс выпуска и реализации товара.
Предприятие занимается выпуском товара небольшими партиями (размер этих партии известен). Имеется рынок, где эта продукция продается. Размер партии покупаемого товара в общем случае — случайная величина.
Структурная схема бизнес-процесса содержит три слоя. На двух слоях расположены автономные процессы «Производство» (Приложение А) и «Сбыт» (Приложение Б), схемы которых независимы друг от друга т.к. нет путей для передачи транзактов. Опосредованное взаимодействие этих процессов осуществляется только через ресурсы: материальные ресурсы (в виде готовой продукции) и денежные ресурсы (в основном через расчетный счет).
Управление денежными ресурсами происходит на отдельном слое — в процессе «Денежные операции» (Приложение В).
Введем целевую функцию: время задержки платежей с расчетного счета Трс.
Основные управляющие параметры:
1 цена единицы продукции;
2 объем выпускаемой партии;
3 сумма кредита, запрашиваемого в банке.
Зафиксировав все остальные параметры:
4 время выпуска партии;
5 число производственных линий;
6 интервал поступления заказа от покупателей;
7 разброс размеров продаваемой партии;
8 стоимость комплектующих изделий и материалов для выпуска партии;
9 стартовый капитал на расчетном счете;
можно минимизировать Трс для конкретной рыночной ситуации. Минимум Трс достигается при одном из максимумов среднего размера денежной суммы на расчетном счете. Причем вероятность рискового события – неуплаты долгов по кредитам — близка к минимуму (это можно доказать во время статистического эксперимента с моделью).
Первый процесс «Производство» (Приложение А) реализует основные элементарные процессы. Узел 1 имитирует поступления распоряжений на изготовление партий продукции от руководства компании. Узел 2 – попытка получить кредит. В этом узле появляется вспомогательный транзакт – запрос в банк. Узел 3 – ожидание кредита этим запросом. Узел 4 – это администрация банка: если предыдущий кредит возвращен, то предоставляется новый (в противном случае запрос ждет в очереди). Узел 5 осуществляет перечисление кредита на расчетный счет компании. В узле 6 вспомогательный запрос уничтожается, но информация о том, что кредит предоставлен, — это «шлагбаум» на пути следующего запроса на получение другого кредита (операция hold).
Основной транзакт-распоряжение проходит через узел 2 без задержки. В узле 7 производится оплата комплектующих, если на расчетном счете есть достаточная сумма (даже если кредит не получен). В противном случае происходит ожидание либо кредита, либо оплаты продаваемой продукции. В узле 8 транзакт становится в очередь, если все производственные линии заняты. В узле 9 осуществляется изготовление партии продукции. В узле 10 возникает дополнительная заявка на возврат кредита, если ссуда ранее была выделена. Эта заявка поступает в узел 11, где происходит перечисление денег с расчетного счета компании в банк; если денег нет, то заявка ожидает. После возврата кредита эта заявка уничтожается (в узле 12); в банке появилась информация о том, что кредит возвращен, и компании можно выдать следующий кредит (операция rels).
Транзакт-распоряжение проходит узел 10 без задержки, а в узле 13 он уничтожается. Далее считается, что партия изготовлена и поступила на склад готовой продукции.
Второй процесс «Сбыт» (Приложение Б) имитирует основные функции по реализации продукции. Узел 14 — это генератор транзактов-покупателей продукции. Эти транзакты обращаются на склад (узел 15), и если там есть запрашиваемое количество товара, то товар отпускается покупателю; в противном случае покупатель ждет. Узел 16 имитирует отпуск товара и контроль очереди. После получения товара покупатель перечисляет деньги на расчетный счет компании (узел 17). В узле 18 покупатель считается обслуженным; соответствующий ему транзакт больше не нужен и уничтожается.
Третий процесс «Денежные операции» (приложение В) имитирует проводки в бухгалтерии. Запросы на проводки поступают с первого слоя из узлов 5, 7, 11 (процесс «Производство») и из узла 17 (процесс «Сбыт»). Пунктирными линиями показано движение денежных сумм по Счету 51 («Расчетный счет», узел 20), счету 60 («Поставщики, подрядчики», узел 22), счету 62 («Покупатели, заказчики», узел 21) и по счету 90 («Банк», узел 19). Условные номера примерно соответствуют плану счетов бухгалтерского учета.
Узел 23 имитирует работу финансового директора. Обслуженные транзакты после бухгалтерских проводок попадают обратно в те узлы, откуда они поступили; номера этих узлов находятся в параметре транзакта t→updown.
Исходный код модели представлен в Приложении Г. Данный исходный текст строит саму модель, т.е. создает все узлы (представленные в структурной схеме бизнес-процесса) и связи между ними. Код может быть сгенерирован конструктором Pilgrim (Gem), в котором строятся процессы в объектном виде (Приложение Е).
Модель создаётся с помощью Microsoft Developer Studio. Microsoft Developer Studio – пакет программ для разработки приложений, базирующийся на языке С++.
Рис
.8
Загрузочная
форма
Microsoft Developer Studio
После присоединения к проекту дополнительных библиотек (Pilgrim.lib, comctl32.lib) и файлов ресурсов (Pilgrim.res), компилируем данную модель. После компиляции получаем уже готовую модель.
Автоматически создается файл отчета, в котором хранятся результаты моделирования, полученные после одного запуска модели. Файл отчета представлен в Приложении Д.
продолжение
--PAGE_BREAK--