Министерство образования республики Беларусь
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
Кафедра конструирования и технологии РЭС
Контрольная работа
По курсу " Теоретические основы САПР "
Выполнил
Номер зачетной книжки
Проверил
Новополоцк 2008
Задача №1. Оценка статического риска сбоя
Задание: для заданной схемы оценить риск статического сбоя по всем выходным переменным для заданного варианта изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
/>
Заданный вариант изменения вектора входных переменных:
X=(a,b,c) c (0,0,1) на (1,1,1)
Решение:
Для оценки риска статического сбоя необходимо разработать синхронную модель цифровой схемы в трехзначной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:
/>
При анализе трехзначных моделей значения всех переменных – входных и выходных вычисляются трижды:
Исходное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; исходное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;
Окончательное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; окончательное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;
Промежуточные значения входных переменных X=(a,b,c) определяются по следующему правилу: если исходное значение входной переменной совпадает с окончательным, то промежуточное равно исходному и окончательному. Если исходное значение входной переменной не совпадает с окончательным, т.е. имеет место переключение входного сигнала в течение такта модельного времени, то промежуточное равно 2 (неопределенное состояние переключения). Промежуточные значения выходных переменных Y=(e,g) рассчитываются по правилам трехзначной логики. Статический риск сбоя по выходной переменной имеет место в случае, если сочетание значений этой переменной в исходном, промежуточном и окончательном состоянии имеют вид 0-2-0 или 1-2-1.
Правила выполнения основных логических операций И, ИЛИ, НЕ в двоичной и трехзначной логике для произвольных переменных а и b приведены в таблице 1:
Таблица 1
a
1
2
1
2
1
2
b
1
1
1
2
2
2
/>
1
2
2
2
/>
1
2
1
1
1
2
1
2
/>
1
2
1
2
1
2
Результат анализа трехзначной модели заданной схемы приведен в таблице 2.
Таблица 2
Значения переменных
входные
выходные
a--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
1
1
1
1
1
1
Из таблицы 3 видно, что потребовалось два раза обращаться к каждому из пети уравнений модели, прежде чем результат второй итерации, совпадающий с результатом первой итерации, показал, что решение найдено.
Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d, е) с 00100 на 11101 для заданной схемы равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,1,1).
При использовании событийного метода вычисления на каждой итерации выполняются только по уравнениям активизированных элементов, т.е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на каждом шаге вычислительного процесса имеется своя группа активизированных элементов.
В заданном варианте изменения вектора входных переменных изменяются только значения переменных а, b и е, следовательно, на первой итерации при реализации событийного алгоритма анализа должны быть пересчитаны только выходные переменные f и h, в правые части уравнений которых входят аргументами b и d. Если по результатам вычисления значения f и h совпадут с начальным приближением, то решение будет найдено, если хотя бы одна из этих переменных изменится, то на второй итерации должны быть пересчитаны те выходные переменных, в правые части уравнений которых входят изменившиеся в результате первой итерации переменные. Процесс продолжается до тех пор, пока в результате очередной итерации значения рассчитываемых переменных не совпадут с их предыдущими значениями, т.е. до выполнения условия Yi=Yi-1.
Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 4.
Таблица 4
№
итерации
Начальное приближение Y0
Изменяющиеся переменные
Активизированные уравнения
e
g
p
f
h
q
1
1
1
1
2
3
4
5
6
/>
/>1
1
1
/>
1
/>
1
1
/>
1
1
b, d
f
g
h
q
p
-
4 и 5
2
5
6
3
6
-
Результат
1
1
Как видно из таблицы 4, на 6-ой итерации результат расчета переменной q совпал с ее предыдущим значением, следовательно решение найдено. продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d) с 0110 на 0011 при расчете по событийному методу для заданной схемы совпадает с результатом анализа по методу простой итерации и равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,0,0,1).
Однако, при вычислении по методу простой итерации, потребовалось на каждой итерации вычислять все выходные переменные, т.е. объем вычислений составил 6×6=36 операций. Тот же результат при использовании событийного метода потребовал значительно меньшего объема вычислений, а именно выполнения 8 операций. Таким образом, трудоемкость событийного метода значительно меньше.
Задача №3. Анализ цифровых схем по методам Зейделя
Задание: выполнить анализ заданной схемы по методам Зейделя для заданного изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
/>
Заданный вариант изменения вектора входных переменных:
X=(a,b,c,d,e) меняет свое значение с 00100 на 11101
Математическая модель заданной схемы имеет вид:
/>
При реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов вектора Yiв правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора Yi-1, а те элементы вектора Yi, которые уже вычислены к данному моменту, т.е. итерации выполняются по формуле:Yi=y(Yi,Yi-1, X).
Результат вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось значение начального приближения вектора выходных переменных Y, полученное в задаче 2.
Таблица 5
№
итерации
Начальное приближение Y0
g
p
f
h
q
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
/>
Задача №4. Моделирование аналоговых схем (метод узловых потенциалов)
Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Задание: для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь», записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа.
Решение:
В методе узловых потенциалов в вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений ветвей U с вектором узловых потенциалов:
A×I=0;
ATj+U=0,
где А – матрица «узел-ветвь»; AT — транспонированная матрица «узел-ветвь»; I – вектор токов ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы — ветвям схемы. В столбце i-той ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1 соответствует узлу, в который ток i-той ветви втекает, а -1 соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве опорного).
С1
С2
С3
С4
С5
С6
R1
R2
R3
R4
R5
E1
1
-1 продолжение
--PAGE_BREAK--
+1
2
-1
-1
+1
3
+1
-1
-1
4
-1
+1
5
-1
+1
-1
6
-1
+1
7
+1
+1
-1
-1
Рисунок 14
Запишем топологические уравнения по закону токов Кирхгофа
в общем виде:
A×I=0;
в развернутой матричной форм
/>
в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на матрицу «узел-ветвь»:
/>
Запишем топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:
в общем виде:
ATj+U=0;в развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):
/>
в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-ATj:
/>
Таким образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода узловых потенциалов в виде двух систем уравнений — по закону токов Кирхгофа и по закону напряжений через узловые потенциалы.
Задача №5. Моделирование аналоговых схем (метод переменных состояния)
Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Теория, методы и примеры решения: раздел 3.3.2.3 курса лекций.
Задание: для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода переменных состояния: построить граф, нормальное фундаментальное дерево и матрицу контуров и сечений. Записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа. Записать окончательную математическую модель схемы в виде системы уравнений, в которой ёмкостные токи и индуктивные напряжения выражены явно и заменены производными переменных состояния.
Решение:
Базисными координатами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы энергии в элементах электрической схемы. К таким переменным относятся независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения, что и в табличном методе:
Ux+MUвд=0; Iвд=MТIx=0.
Матрицу М контуров и сечений в методе переменных состояния формируют на основе построения нормального дерева графа схемы. Нормальным деревом называют фундаментальное дерево, в которое включение ветвей производится не произвольно, а в следующем порядке: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные, источников тока. Использование нормального дерева облегчает дальнейшее преобразование исходных уравнений с целью получения нормальной формы Коши.
В графе схемы, приведенной на рисунке 12, построенное фундаментальное дерево является нормальным. Топологические уравнения в общем виде и в развернутой матричной форме были получены при решении задачи 6. Топологические уравнения в виде системы уравнений по законам Кирхгофа, полученные с использованием матрицы контуров и сечений, построенной в задаче №6, имеют вид:
/>
Для получения окончательной ММС используют компонентные уравнения. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IС и индуктивные напряжения UL через переменные состояния. Далее, заменяя IC и UL производными переменных состояния, получают окончательную ММС.
Запишем компонентные уравнения (уравнения сопротивления, емкости и индуктивности) в общем виде:
/>/>/>
В заданной схеме нет индуктивных ветвей, поэтому уравнение индуктивности нам не понадобится.
В левых частях уравнений второй системы необходимо заменить ICjна Сj×dUCj/dt, а в правые части вместо IRiподставить величины URi, выраженные из уравнений первой системы путем деления на Ri. Окончательная форма ММС по методу переменных состояния имеет вид:
/>
Таким образом, с использованием метода переменных состояния получена окончательная полная ММС заданной схемы, объединяющая в себе компонентные и топологические уравнения схемы.