--PAGE_BREAK--
Методика
прочностного
анализа
стержневых
конструкций
Методика прочностного анализа любой конструкции содержит следующие основные разделы:
1. Определение всех внешних сил и сил реакций.
2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня (бруса).
3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.
4. Построение графика (эпюры) деформации стержневойконструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жесткости
Проиллюстрируем вышесказанное на примере растяжения стержня.
Пусть мы имеем прямой стержень АВ длины Iпостоянного сечения (например, квадратного со стороной а), жестко закрепленный на одном конце и нагруженный осевой силой Fна другом (рис. 4, а).Стержень расположен горизонтально, собственным весом стержня пока пренебрегаем.
Выполним последовательно пункты методики прочностного анализа:
1. Определим величину реакции в заделке (саму заделку мысленно отбрасываем и заменяем силой реакции RAz, (рис. 4,6).Реакцию RAzнаправляем влево (если в результате получим ее величину отрицательной, значит, сила реакции направлена в противоположную сторону, т. е. вправо).
Все внешние силы и силы реакции направлены вдоль оси стержня, поэтому условие его статического равновесия в данном случае имеет вид (сумма проекций всех внешних сил и реакций связи на ось z):
-RAz+F= O.
Получаем величину реакцииRAz= F(заключаем, что выбранное направление силы реакции верно).
2. Применим метод сечений (РОЗУ) — рассекаем стержень в произвольном сечении I— I(рис. 4, а, б) и рассматриваем равновесие либо правой части 2, либо левой части 1, т. е. отбрасываем одну из частей. Действие внутренних силовых факторов, заменяем равнодействующей силой N в сечении площадью А:
Рис. 3.1.
Исследуемый элемент конструкции — а; расчетная схема — б; метод сечений — в; эпюра продольной силы — г; распределение нормальных напряжений по поперечному сечению — д; эпюра нормальных напряжений е; схема деформации стержня — ж; эпюра продольных деформаций — з; эпюра поперечных деформаций — и; эпюра продольных удлинений — к
Уравновешивание любой из частей показывает, что продольная (нормальная) сила Nравна Fи направлена от сечения (рис. 4, в), следовательно, по правилу знаков в сопромате считается положительной. Поскольку сечение 1-1 было выбрано произвольно, эпюра продольной силы по длине стержня будет постоянной (рис. 4, г, ордината – значение силового фактора).
3. Эксперимент показывает, что при рассматриваемом виде нагружения плоские сечения до деформации и после приложения нагрузки остаются плоскими (кроме краевых зон, величина которых сравнима с размером поперечного сечения). Отсюда можно сделать вывод, что интенсивность внутренних силовых факторов по поперечному сечению постоянна, т.е. нормальные напряжения одинаковы в любой точке поперечного сечения и равны (рис. 4, д):
sz= N/A=F/A
Как и эпюра продольной силы, эпюра нормальных напряжений неизменна по длине (рис. 4, е).
4. Процесс анализа деформации стержня при растяжении показывает, что весь стержень удлинится на Ñl(абсолютная деформация) и его поперечные размеры сократятся на Ñа. Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг другу и после нагружения, то относительная продольная деформация любого продольного отрезка при растяжении постоянна и в нашем случае равна (рис. 4, ж, з):
ez=Ñl/l
Относительная деформация — величина безразмерная (иногда задается в %).
Гипотеза упругости (физическая связь между напряжениями и деформациями) в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента (закон Гука при растяжении — сжатии) имеет вид:
sz= ez×Е,
где Е — модуль упругости материала (первого рода) или модуль Юнга — физическая характеристика, определяемая из опыта. В данной конкретной задаче (рис. 4, з) продольная деформация постоянна вдоль оси стержня и равна
ez=sz/Е = F/ЕА.
Величина ЕА – жесткость стержня на растяжение-сжатие. Эксперимент показывает, что отношение величин поперечной деформации к продольной для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала – коэффициент поперечной деформации):
m= -ey/ ez
Эпюра поперечной деформации представлена на рис. 4, и. Величина mдля широкого класса конструкционных материалов изменяется в диапазоне
0 £m£0,5
Полное удлинение стержня: при постоянном значении Nи площади сечения А равно:
Ñl=Fl/EA
На рис. 4, к представлена линейная эпюра изменения текущего значения Ñl(z) в зависимости от координаты z( в т. А жесткая заделка – перемещений нет).
Если наряду с внешними нагрузками имеется температурное воздействие, то согласно постулату о принципе независимости действия сил полная деформация есть суперпозиция силовой и температурной деформации, т.е.
ez= sz/Е + a×Ñt,
где a— коэффициент температурного расширения; Ñt– разность температур нагретого тела и исходного (обычно 20 0С). В нашем случае при нагреве растягиваемого стержня полная абсолютная деформация (или удлинение) равна:
Ñl= Fl/ЕА + a×l×Ñt.
Лекция 4. ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Основные механические характеристики материалов получают в результате специальных лабораторных исследований на испытательных машинах при нагружении стержней на растяжение и сжатие. Вид стержневых образцов и сами методы испытаний регламентированы государственными стандартами.
Испытания на растяжение образцов испытуемого материала производятся на специальных разрывных машинах. Образцы обычно бывают круглого (рис.1), реже — прямоугольного, сечения. На концах образцы имеют головки ввиде утолщения.
Рис. 1
Диаграмма растяжения
Рассмотрим типичную диаграмму испытаний, характерную для образцов из малоуглеродистых сталей, полученную при нормальной температуре и стандартных скоростях деформирования при нагружении (рис. 2).
Рис.2. Диаграмма испытаний, вид и характер деформации стандартных образцов
На диаграмме растяжения могут быть условно выделены четыре характерных участка для различных стадий деформирования образца:
ОА — участок упругости (пропорциональности), на котором видна прямопропорциональная зависимость между растягивающей силой и вызываемого ею удлинения (абсолютнойдеформации). На этом участке абсолютная деформация достаточно мала (до 0,02 %).
АВ — участок (или площадка) текучести, где деформации растут без заметного повышения нагрузки. Следует отметить, что у многих конструкционных металлов участок текучести отсутствует (дюралюминий, легированные стали и др.). Деформации текучести достигают 0,2 %.
ВС
— участокупрочнения, на котором отмечается новый, но более медленный, чем на первом участке, рост нагрузки. В конце этого участка на образце начинает образовыватьсяшейка — местное сужение образца, это намечается место будущего разрыва, а растягивающая сила Fдостигает максимального значения. Деформация при этом около 15% .
CD
— участокразрушения(местной пластической деформации), на котором удлинение всего образца уже происходит за счет местной деформации в зоне шейки, площадь которой существенно уменьшается. Поэтому для разрушениятребуется меньшее усилие. Отметим, что многие материалы разрушаются без заметногообразования шейки.
Диаграммадеформированияявляется базовой для характеристики материала в сопротивлении материалов и получается из диаграммы испытаний, когда размеры образца исключаются путем деления растягивающей силы на первоначальную площадь, а абсолютного удлинения на начальную длину образца. Строится зависимость s= ¦(e) — рис. 3, а. Неучет изменения поперечных размеров за счет эффекта Пуассона делает эту диаграмму в определенной мере условной.
Рис. 3 — Диаграмма деформирования с участком текучести — а; без него — б
На диаграмме деформирования сохраняются те же характерные участки. Соответственно им следующие характеристики материалов имеют названия:
s
пц
— предел пропорциональности;
s
т
— предел текучести;
s
b
— предел прочности;
s
k
— напряжение в момент разрушения.
Если материал не имеет выраженной площадки текучести, то предел текучести назначается по допуску на пластические деформации. Наиболее распространенным значением предела текучести sтявляется s02, где 0,2 означает, что остаточная деформация при этом значении равна 0,2 % (рис. 3, 6).
В качестве характеристик пластичности (наряду с sт) используются остаточное удлинение d(%) и остаточное сужение jk(%):
d=Ñl/l; jk=A– Ak/Ak,
где l, А0– первоначальная длина образца и площадь; lk, Ak– длина и площадь после разрушения (разрушенные части образца соединяются и производятся измерения).
Чем больше параметры dи jк, тем пластичнее материал. Тангенс угла наклона участков ОА, LNдиаграммдеформирования и будет модулем упругости материала (первого рода) или модулем Юнга: Е = tga(рис. 3). Размерность модуля упругости — это размерность напряжений, т. к. относительная деформация — величина безразмерная (в ряде случаев указывается в процентах). В технике принято и напряжения, и модуль упругости указывать в мегапаскалях — МПа (1 МПа = 106 Па, 1 Па = Н/м2, 1 МПа — 1 Н/мм2).
Условие прочности и жесткости
при растяжении (сжатии)
Расчетнапрочностьподопускаемымнапряжениям основан на том, что наибольшее расчетное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого (меньше — не более 10%, больше — не более 5%):
sр£[s].
В случае растяжения (или сжатия) стержня
sр= sz,
sz= N/A.
Допускаемое напряжение– это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жесткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.
Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения sпред:
[s]= sпред/ [n],
где [n]— нормативный коэффициент запаса, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного. В сопромате за sпред принимают для пластичных материалов sТ– предел текучести, а для хрупких sВ– предел прочности.
Фактический коэффициент запаса прочности(или рабочий коэффициент) для опасного сечения есть
n= sпред/ sр.
Можно проводить три вида расчетов:
1. Проверочный– по известным размерам и материалу стержня (заданы площадь сечения А и [s]) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку [N]
sр= N/A£[s].
2. Проектный – по известным нагрузкам (Nзадано) и материалу элемента — [s]) подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:
А ³N/ [s].
3. Определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А задано) и материалу конструкции ([s]— дано) найти допускаемую величину внешней нагрузки:
[N]£[s]×А.
Оценка жесткости стержневой конструкциипроводится на основе проверки условия жесткости при растяжении: Ñl
Величина допускаемой абсолютной деформации [Ñl]назначается отдельно для каждой конструкции.
Аналогично расчетам по условию прочности условие жесткоститакже предполагает три вида расчетов:
1) проверкажесткости данного элемента конструкции, т. е.проверка выполнения условия ;
2) расчетпроектируемогостержня,т. е. подбор его поперечных A³N×l/(E[Ñl]);
3. установка работоспособности данного стержня, т. е. подсчет допустимой нагрузки [N] = [l] ×EA/l.
Лекция 5. Решение
статически
определимых
задач
Перед рассмотрением конкретных примеров необходимо отметить, что в задачах на растяжение (сжатие) стержней внешние силы (и реакции связей) действуют вдоль оси стержня (или их равнодействующая приложена вдоль оси стержня), т. е. имеет место одноосное нагружение, поэтому и условие равновесия конструкции как твердого тела в пространстве сводится к равенству нулю суммы проекций всех внешних сил и сил реакций на эту ось, т. е.Fiz= 0
где i— общее число силовых факторов и реакций.
Известно, что для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия:
— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей равна нулю, например:Fiz= 0
— сумма проекций всех сил и сил реакций на другую ось плоскости действия сил равна нулю, пустьFiy= 0
-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки этой плоскости равна нулюmomA(Fi)=0
где т. А произвольна.
Иногда для плоскойсистемы сил бывает рациональнее принять три уравнения в другом виде, но «новые» уравнения суть следствия трех вышеназванных:
— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей плоскости равны нулю, например:Fiz= 0
-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки плоскости равна нулюmomA(Fi)=0
-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно другой точки плоскости равна нулюmomB(Fi)=0
(т. А и В выбираются из соображений рациональности составления уравнений равновесия).
Типичное моделирование условий закрепления концов стержней для плоской системы сил показано на рис. 1.
Рис. 1.Моделирование видов закрепления действием реактивных силовых факторов: шарнирно-подвижная опора — а (реакция вертикальная); шарнирно-неподвижная опора— б (направление реакции неизвестно, ищутся две ее составляющие RAy, RAz); жесткая заделка — в (три неизвестных силовых фактора — две силы и один момент); стержень, шарнирно закрепленный с двух концов — г (принято считать, что он работает на растяжение или сжатие)
В общем случае пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия для стержня:
— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно одной координатной оси равна нулю, например:Fiх= 0
— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно другой координатной оси равна нулю, например:Fiy= 0
— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно третьей координатной оси равна нулю, например:Fiz= 0
К ним добавляются три уравнения равенства моментов всех сил и реакций относительно этих координатных осей:
momx (Fi)=0
momy (Fi)=0
momz (Fi)=0
На рис. 2 представлено моделирование жесткого закрепления балки – заделка заменена шестью реактивными силовыми факторами.
Рис. 2. Замена жесткой заделки силовыми факторами — реактивными силами (RAx, RAy, RAz) и реактивными моментами (Мх, Мy, Мz= Т)
В статически определимых задачах число неизвестных реакций равно числу уравнений статики для анализируемого тела.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 1.Провести оценку влияния собственного веса на продольную деформацию стержня (рис. 3).
Пусть длина стержня I, площадь поперечного сечения А, собственный вес G, модуль упругости материала стержня Е.
Решение.
1. Условие равновесия (сумма проекций всех сил на ось z) позволяет определить реакцию в заделке (сила веса Gнаправлена вдоль оси z):
Fiz= 0; G-RAz=0; RAz=G
2. Применяем метод РОЗУ и определяем продольную силу в сечении 1 -1, она равна весу оставшейся части конструкции:
G′=G/l(l-z), N=G¢= G/l(l-z)
3. Нормальные напряжения при этом равны:
sz=s=N/A=G/l×A(l-z).
Максимальные нормальные напряжения, очевидно, будут в заделке при z= 0:
smax=Gl/lA=Gl/V=gl,
где V= Al— объем стержня, g— удельный вес.
Проведем численную оценку: имеем стержень из мягкой стали длиной l= 100 м, g= 106 0,0785 Н/м3, [s] =180 МПа. Тогда smax= 106 0,0785 100 = 7,85 106 Н/м2 = 7,85 МПа, что составляет меньше 5% от величины [s].
Таким образом, можно сделать вывод, что влияние собственного веса стержневой конструкции следует учитывать при очень длинных стержнях (например, для канатов подъемников).
Рис. 3. Расчетная схема стержня при оценки собственного веса
4. Оценим деформацию стержня:
ez=s/E=g(l-z)/E.
Текущее значение абсолютного удлинения ∆l(z):
∆l(z)=g/E¦z(l-z)dz
Полное абсолютное удлинение стержня при z=lравно:
∆l=gl2/2E=Gl/2EA
или удлинение стержня под действием собственного веса вдвое меньше, чем удлинение под действием такой же по величине, как вес, нагрузки, но приложенной к концу стержня .
Лекция 5. ИЗГИБ. УСТОЙЧИВОСИТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.
Возьмём прямолинейный призматический брус с продольной плоскостью симметрии (рис. 1); приложим в этой плоскости уравновешенные силы, действующие перпендикулярно к оси бруса. Брус под действием этих сил изогнётся, ось его искривится.
Рис. 1
Изгибомназывается деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки. В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.
Изгиб называется прямым, если внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.
Главной плоскостью сечения называется плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.
Изгиб называется косым, если внешние силы не лежат в главной плоскости сечения.
В зависимости от характера внутренних силовых факторов, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным.
Изгиб называется чистым, если в поперечном сечении балки (бруса) возникает один изгибающий момент МИ.
Изгиб называется поперечным, если под действием внешних сил в сечении балки (бруса) возникают изгибающий момент МИи поперечная сила Qy
Для наглядного представления деформации изгиба возьмём небольшой призматический резиновый стержень. Начертим на его грани две линии, параллельные друг другу и перпендикулярные к оси стержня. Приложим по его концам в плоскости симметрии два равных, но противоположно направленных момента (рис. 2, а). Стержень под действием изгибающих моментов прогнётся, начерченные прямые останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси стержня (рис. 2, б).
Видно, что плоские сечения взаимно поворачиваются одно относительно другого. Очевидно, такой поворот происходит вследствие растяжения одних волокон материала и сжатия других. Отсюда легко сделать заключение, что у балки имеется такой слой волокон, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Этот слой называется, нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью какого-либо поперечного сечения называется нейтральной осью (линия nn).
Кроме того, на той же резиновой модели легко заметить что продольное укорочение волокон на вогнутой стороне сопровождается удлинением в поперечном направлении, а продольное удлинение волокон на выпуклой стороне — сужением в поперечном направлении, т. е. явления протекают так же, как при простом растяжении и сжатии. Вследствие этого верхняя и нижняя стороны сечения, т. е. линии abи cd, искривятся, причём центр кривизны их будет один и тот же. Верхняя линия abудлинится, а нижняя cdукоротится.
Рис. 2
Вследствие удлинения одних волокон и укорочения других, вызываемых в брусе изгибающими моментами, в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия. Величина этих напряжений в данном поперечном сечении зависит от величины действующего в этом сечении изгибающего момента. Выше мы видели, что в случаях изгиба бруса силами, кроме изгибающего момента, в поперечных сечениях действуют ещё поперечные силы, стремящиеся произвести сдвиг бруса. Поперечные силы вызывают в брусе касательные напряжения, величина которых в сечении зависит от величины поперечной силы в данном сечении. Таким образом, в изгибаемом силами брусе возникают нормальные и касательные напряжения.
Прежде чем перейти к определению величин этих напряжений, рассмотрим способы определения изгибающих моментов и поперечных сил в различных поперечных сечениях изгибаемых брусьев.
Опоры и опорные реакции балок.Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа:
1)шарнирно-неподвижная опора,
2)шарнирно-подвижная опора
3)жёстко-защемляющая опора.
Шарнирно-неподвижная опора показана на фиг. 3, а. Конец балки опирается на каток О. Последний лежит на опорной подушке А, которая в свою очередь жёстко прикреплена к опорной плоскости N. Такая опора не даёт концу балки возможности передвигаться в каком-либо направлении, позволяя ему только поворачиваться относительно центра шарнира О.
В дальнейшем неподвижно-шарнирную опору будем изображать схематически, как указано на фиг. 3, б. Относительно реакции, возникающей в шарнирно-неподвижной опоре, известно только, что она лежит в плоскости действия нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление реакции нам неизвестны. Неизвестную по величине и направлению реакцию Rвсегда можно заменить двумя составляющими её реакциями: одной вертикальной А и другой горизонтальной Н. В этом случае вместо реакции, неизвестной по величине и направлению, получим две реакции, известные по направлению и неизвестные по величине. Таким образом, можно сказать, что шарнирно-неподвижная опора даёт две неизвестные по величине реакции.
Рис. 3
Шарнирно-подвижная опора показана на фиг. 4, а. Такая опора отличается от неподвижно-шарнирной тем, что у неё опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль оси последней по опорной плоскости N. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как указано на фиг. 4, б. Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь — она не дает возможности перемешаться концу балки в направлении, перпендикулярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора даёт лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению.
Рис. 4
Жёсткое защемление конца балки показано схематически на рис. 5. Такая опора препятствует всякому перемещению конца балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, она препятствует вращению конца балки.
В жёстком защемлении возникает реакция, неизвестная по величине и направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактивный момент, препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию Rможно всегда заменить двумя реакциями: одной вертикальной А и другой горизонтальной Н. На этом основании можно сказать, что на опоре, представляющей жёсткое защемление, возникают три неизвестные реакции: вертикальная реакция А, горизонтальная реакция Н и опорный момент m.
Рис. 5
В практике чаще всего силы, изгибающие балку, действуют перпендикулярно к оси балки. В этих-случаях число неизвестных реакций, возникающих на опорах, уменьшается, так как реакция вдоль оси балки в шарнирно-неподвижной опоре и в опоре, представляющей жёсткое защемление конца, делается равной нулю. Таким образом, для балок, изгибаемых нагрузками, перпендикулярными к оси балки, будем иметь: в шарнирно-неподвижной и шарнирно-подвижной опорах по одной неизвестной реакции А, направленной перпендикулярно к оси балки, в жёстком защемлении — две неизвестные реакции: реакцию А, перпендикулярную к оси балки, и реактивный момент m.
Определение опорных реакций балок.
В случае действия на балку сил, лежащих в одной плоскости, статика дает три уравнения равновесия:
т. е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, приложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси х и у были равны нулю.
Кроме того, должна быть равна нулю и сумма моментов всех сил.
Если силы, изгибающие балку, перпендикулярны к её оси, то уравнение ∑Х = 0 обращается в тождество и для определения реакций остаётся два уравнения статики:
Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее число реакций, возникающих на опорах, не превосходит двух, то последние могут всегда быть определены из двух уравнений статики.
Такие балки, реакции которых могут быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками. Статически определимые балки могут быть только следующих двух видов:
1) балка с одним жёстко-защемлённым и другим свободным концом (рис. 6, а) и
2) балка с одной шарнирно-неподвижной и другой шарнирно-подвижной опорами (рис. 6, б и 6, в).
Рис. 6
Балка, изображённая на фиг. 6, в, имеет свешивающиеся концы. Такую балку принято называть консольной, а свешивающиеся концы — консолями.
Балки, у которых общее число реакций опор больше числа уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми. В случае статически неопределимых балок реакции опор определяются из совместного решения уравнений статики и уравнений деформации балок.
Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки: МИ = ΣМ0(Fi).
Поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки: Qy= ΣFiy.
Значения поперечных сил и изгибающих моментов в различных сечениях балки могут быть неодинаковы, поэтому строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для определения поперечных сил и изгибающих моментов необходимо знать правила знаков.
Правила знаков для поперечных сил.
-поперечная сила считается положительной в том случае, если внешние силы поднимают левый конец балки или опускают правый (рис. 7, а).
-поперечная сила считается отрицательной в том случае, если внешние силы опускают левый конец балки или поднимают правый конец (рис. 7, б).
а б
Рис. 7
Правила знаков для изгибающих моментов.
-изгибающий момент считается положительным, если внешние силы, действующие на левый конец балки, поворачивают его по часовой стрелке, а действующие на правый — против часовой стрелки (рис. 8, а).
-изгибающий момент считается отрицательным, если внешние силы, действующие на левый конец балки, поворачивают его против часовой стрелки, а действующие на правый — по часовой стрелке (рис. 8, б).
3.3
3.4
а б
Рис. 8
Последовательность построения эпюр поперечных сил
и изгибающих моментов:
1. Под нагруженной балкой строим расчетно-графическую схему.
2. Используя три уравнения: ΣFix=0, ΣFiy= 0, ΣM(Fi) = 0, определяем реакции опор балки (обязательно выполнить проверку решения).
3. Используя метод сечений, определяем значения поперечных сил в характерных точках, т.е. точках, в которых приложены внешние нагрузки (при этом удобнее использовать прямое правило знаков, т.е. разбивать балку слева направо).
4. По полученным значениям поперечных сил строим эпюру Qyпод балкой проводим прямую, параллельную ее оси, и от этой прямой в характерных точках откладываем перпендикулярные поперечным силам отрезки, соответствующие выбранному масштабу.
5. Используя метод сечений, определяем величину Мив тех же характерных точках и по полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов.
Характерные особенности построения эпюр
Qy
; Ми
1. На участке балки, где действуют сосредоточенные силы, эпюра Qyочерчивается прямой, параллельной оси балки, а эпюра Ми— наклонной прямой.
2. На участке балки, где действует распределенная нагрузка, эпюра Qyочерчивается наклонной прямой, а эпюра Ми— параболой выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.
3. В точке балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Qyнаблюдается скачок на величину этой силы, а на эпюре Ми— излом.
4. В точке балки, где приложен внешний момент, на эпюре Qyне наблюдается никаких изменений, а на эпюре Минаблюдается скачок на величину внешнего момента.
При деформации изгиба возникает нормальное напряжение. Напряжения одинаковы в сечении балки по ширине, но изменяются по высоте балки.
Условие прочности при изгибе: рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.
где Wx— осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба).
Осевой момент сопротивления сечения определяется по формулам:
а) для круга (рис. 9, а)
б) для кольца (рис. 9, 6)
в) для прямоугольника (рис. 9, в)
а б в
Рис. 9 продолжение
--PAGE_BREAK--