Экономико -математическое моделиpование ЗАДАЧА 1 Задана следующаяэкономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух типов А и В. При этомиспользуется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовлениееденицы продукции и запасы сырья заданы в таблице Изделия Сырье 1 2 3 4 А 2 1 0 2 В 1 Запасы сырья 21 4 6 10
Выпуск изделия Априносит 3 денежные еденицы, В - 2 денежные единицы. Составить планпроизводства, обеспечивающий максимальную прибыль а составьтематиматическую модель задачи б поясните смыслцелевой функции и ограничении Решение а Математическаямодель 2x1 3x2 lt 21 x1 lt 4 x2 lt 6 2x1 x2 lt 10 x1 gt 0 x2 gt 0 б Суммарный расходкаждого вида сырья на весь выпуск недолжен превышать заданного ограничения.
Валоваяреализация сумма объемов реализации покаждому виду продукции в денежном выражении должна стремиться при заданных условиях к максиму в Решать будемсимплекс методом преобразуем неравенствав равенства, для этого введем четыре дополнительные переменные 2x1 3x2 x3 21 x1 x4 4 x2 x5 6 2x1 x2 x6 10 f 3x1 2x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6- gt max перепишем в видесистем 0 уравнений 0 21- 2x1 3x2 x3 0 4- x1 x4 0 6- x2 х5 0 10- 2х1 х2 х6 f 0- -3x1-2x2-0 x3-0 x4-0 x5-0 x6 Система уравненийможет быть записана в виде векторного равенства 0
В - А1х1 А2х2 А3х3 А4х4 А5х5 А6х6 В - свободные члены А1 А6 коэффициентыпри переменных х1 х6 Линейная форма имеетвид f c1x1 c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 c6x6 Векторы А3,А4, А5,А6составляют базис Составляем первуюсимплекс таблицу Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b a 3 A1 2 A2 0 A3 0 A4 0A5 0 A6 А3 0 21 10,5 2 3 1 0 0 0
A4 0 4 4 1 0 0 1 0 0 A5 0 6 0 0 1 0 0 1 0 A6 0 10 5 2 1 0 0 0 1 индексная строкаfj-сj 0 -3 -2 Решение х1 0,х2 0,х3 21,х4 4,х5 6,х6 10 f 0 Так как в индекснойстроке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A1 вводим в базис вместо вектора А4 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b a 3 A1 2 A2 0 A3 0 A4 0A5 0 A6 A3 0 13 4 1 3 0 3 1 -2 0 0
A1 3 4 0 1 0 0 1 0 0 А5 0 6 6 0 1 0 0 1 0 A6 0 2 2 0 1 0 -2 0 1 индексная строкаfj-сj 0 -0 Решение х1 4,х2 0,х3 13,х4 0,х5 6,х6 2 f 12 Так как в индекснойстроке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A2 вводим в базис вместо вектора А6 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0A5 0 A6 A3 0 7 1 3 4 0 0 1 4 0 -3
A1 3 4 4 1 0 0 1 0 0 А5 0 4 2 0 0 0 2 1 -1 A2 2 2 -1 0 1 0 -2 0 1 индексная строкаfj-сj 0 0 0 -2 Решение x1 4, x2 2 x3 7 x4 0 x5 4 x6 0 f 12 Так как в индекснойстроке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A4 вводим в базис вместо вектора А3 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0A5 0 A6 A4 0 13 4 0 0 1 4 1 0 -3 4
A1 3 21 4 1 0 -1 4 0 0 3 4 А5 0 1 2 0 0 -1 2 0 1 1 4 A2 2 51 2 0 1 1 2 0 0 -11 2 индексная строкаfj-сj 4 Решение x1 2,25, x2 5,5 x3 0 x4 1 3 4 x5 1 2 x6 0 f 17,75 В индексной строкенет отрицательных элементов, следовательно дальнейшее увеличение значениялинейной формы невозможно мы получилиоптимальную программуМаксимальная прибыльдостигается при изготовлении первого
вида продукции 2,25 у.е а второго 5,5 у.е. Так как нам не былозадано условие целочисленности, такие значения допустимы, например в качествеусловных едениц - тысячи тонн. ЗАДАЧА 2 Наити максимумфункции F при заданных ограничениях F x1 2x2 - gt max 3x1 x2 gt 3 1 3x1-x2 lt 0 2 x1-x2 gt 3 3 x1 gt 0 4 x2 gt 5 Решить графическимметодом Решение 1.Из условиязнакоположительности - первой допустимой областью решения
является перваячетверть декартовой системы координат 2. Построим областидопустимых значений, для этого построим линии для каждого из уравнений 3x1 x2 3 3x1-x2 0 x1-x2 3 и линию для функцииf x1 2x3. Наидем областьдопустимых значений 4. Как видно награфике области допустимых значений дляограничении 1 , 2 и 3 не пересекаются, значит система не имеет допустимыхрешений.
Ограничения противоречивы. 5.Для того чтобысистема была решаема, она должна быть например такой F x1 2x2 - gt max 3x1 x2 lt 3 3x1-x2 lt 0 x1-x2 lt 3 x1 gt 0 x2 gt 0 Тогда областьдопустимых решений - треугольник АВС И функция Fдостигает максимума в точке С 0 3 и F 6 ЗАДАЧА 3 Имеютсяследующие данные об урожайности зерновыхкультур Y в ц га количестве осадков Х1 в см выпавших в вегетационный период i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Yi 23 24 27 27 32 31 33 35 34 32 Xi 45 Требуется а Определитьпараметры уравнения регрессии б определитькоэффициент парной корреляции и проверить его статическую надежность 1. Количественные оценки связи между величинамислучайного процесса устанавливает регрессионный анализ. Связи между переменнымимогут линейные и нелинейные. В простейшем случае значения Y выражаются в виде линейной зависимости
Y a bX, где a и b - коэффициенты регрессии. Наиболее часто для расчетов коэффициентовприменяют метод наименьших квадратов. 2. По методу наименьших квадратов произведемрасчет коэффициентов уравнения регрессии из системы уравнении sum Yi n A B sum Xi sum XiYi A sum Xi B sum Xi2 имеем А sum Yi sum Xi2 - sum XiYi sum Xi n sum Xi2 - sum Xi 2 B n sum XiYi -sum Xi sum Yi n sum
Xi2 - sum Xi 2 A S2 S3-S4 S1 B n S4-S1 S2, n S3-S1 S1 n S3-S1 S1 где S1 SUM Xi S2 SUM Yi S3 SUM Xi2 S4 SUM XiYi n - общее числозамеров, в нашем случае это 2.В результатерасчета получено уравнение регрессии Y 8,917 0,583 Х 3.Подставив значенияX в уравнение найдем Y расчетное. 4.По значениямэкспериментальным и теоретическим строим графики.
5. Связь между двумя случайными величинами,которая определяется с некоторой вероятностью, называется корреляционной. Дляколичественной оценки линейной корреляции используется коэффициент парной корреляции r 10 S4-S1 S2 10 S3-S12 10 S5-S22 S5 SUM Yi2 r 0,9104 По таблице Чеддока найд м тесноту связи междудвумя явлениями, связь очень тесная 6.Качество уравненийрегрессии оценивают по его прогнозирующей способности. Уравнения хорошопрогнозируют т.е. адекватно описывают экспериментальныеданные,
если расхождения между экспериментальными и расчетными данныминаходятся в допустимых пределах. Для проверкиадекватности уравнения найдем среднюю относительную ошибку прогнозирования E E 100 SUM Yэi -Ypi 10 Yэi где Yэi -экспериментальное, Ypi - расчетное значение Е 4,434 Это сравнительнобольшое значение ошибки прогнозирования при полученном выше значении r. Внимательнопосмотрим на значения отклонений между фактическими и расчетными значениями
Y.Почти непрерывный рост уражайности после 8 года сменяется спадом. 10 год даетсамый большой прирост ошибкипрогнозирования. По всей видимости,для описания зависимости, лучше подошло бы не уравнение прямой, а уравнениепараболлы, так как после достижения определенного уровня осадков урожайностьначинает падать много воды - этотоже плохо для урожая см. последние значения Х и Y В 4 год такжесравнительно большое расхождение, это может
быть вызванно тем, что урожайность зерновых зависит не только отколичества осадков, но и от многих других факторов, например от количестватеплых дней. Просто было холодно. i X Y X2 XY Yрасч Y2 Y-Yрасч Y 1 25 23 625 575 23,5 529 0,0217 2 27 24 729 648 24,67 576 0,0279 3 30 27 900 810 26,42 729 0,0215 4 35 27 1225 945 29,33 729 0,0863 5 36 32 1296 1152 29,92 1024 0,0650 6 38 31 1444 1178 31,08 961 0,0026 7 39 33 1521 1287 31,67 1089 0,0403 8 41 35 1681 1435 32,83 1225 0,0620 9 42 34 1764 1428 33,42 1156 0,0171 10 45 32 2025 1440 35,17 1024 0,0991 е 358 298 13210 10898 298 9042 0,4434 среднее 35,8 29,8 Коэффициентырегрессии B 0,583 A 8,917 Уравнение регрессии
Y 8,917 0,583 Х Коэффициент парнойкорреляции R 0,91 Средняяотносительная ошибка прогнозирования E 4,43439 ЗАДАЧА 4Построить сетевуюмодель ремонта Вашей квартиры а определить критический путьб рассчитать поздние сроки окончания иначала событийв рассчитать ранние сроки окончания иначала событийг рассчитать резервы событийРешение 1. Делаем ремонт двухкомнатной квартиры улучшеннойпланировки жилая комната, детская,
кухня, ванна, туалет и коридор.2. Необходимосделать сменить обои во всех помещениях покрасить окна в зале и коридоре сделать подвесные потолки срассеяным светом в оттальных помещениях потолок покрывается краской КЧ покрасить входную дверь постелить по всей квартире линолиум3. Строим таблицуремонта и сетевой график4. Четырехсекторным методом рассчитываем параметры сетевого графика и определяем критическийпуть .5. Расчитываемпараметры сетевого графика и резервывремени