Принятие решений в СМО

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра САПР и ПК Семестровая работа по теории принятия решений Принятие решений в системах массового обслуживания. Выполнила Любимова Ольга Группа ИВТ-365 Проверила

Заболеева-Зотова А.В. Волгоград 2004г. Содержание 1. Введение 2. Классификация СМО, их основные элементы, принятие решений 3. Обслуживание с ожиданием . 4. Определение стационарного решения . 5. Выводы 6. Список использованных материалов 31 Введение Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания

в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием.

Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания. В теории систем массового обслуживания в дальнейшем просто -CMО обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе. Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами

или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах. Системами массового обслуживания могут быть телефонные станции, аэродромы, билетные кассы, ремонтные мастерские, склады и базы снабженческо-сбытовых организаций и т.д. В теории СМО рассматриваются такие случаи, когда поступление требований происходит через случайные

промежутки времени, а продолжительность обслуживания требований не является постоянной, т.е. носит случайный характер. В силу этих причин одним из основных методов математического описания СМО является аппарат теории случайных процессов . Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания

требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации каким образом достичь определенного уровня обслуживания максимального

сокращения очереди или потерь требований при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств. Принятие решений о каких-либо действиях дело очень сложное. Перед предпринимателями, руководителями и другими ответственными лицами постоянно возникают такие вопросы принятия решений в условиях неточной информации, наличия определенного риска. Исследование ситуации всегда производится с точки зрения интересов одного человека основного субъекта,

которого называют лицом, принимающим решение ЛПР. Процесс подготовки и принятия решений ЛПР, организация их выполнения и контроля составляют сущность управления операцией. Управление - есть процесс формирования рационального разумно обоснованного поведения исследуемых систем в данных ситуациях. Основная цель управления состоит в том, чтобы обеспечить максимальную эффективность использования активных средств в операции при решении поставленной задачи.

ЛПР управляет операцией в доступных ему пределах, выбирая стратегии из их допустимого множества. Критерий эффективности - есть правило, позволяющее сопоставлять стратегии, характеризующиеся различной степенью достижения цели, и осуществлять направленный выбор стратегий из множества допустимых. Существует много критериев эффективности. Как правило, каждая система имеет свои особенности и соответственно свой вид критерия эффективности. Так, например, если используется концепция оптимизации деятельности

системы предприятия, фирмы, то могут использоваться следующие критерии эффективности - критерий наибольшего результата - критерий наибольшего среднего результата - критерий наибольшей вероятностной гарантии результата, когда эффективность системы есть вероятность того, что реальный результат операции примет значение не ниже требуемого - критерий наибольшего гарантированного результата, когда при случайном его характере исходом операции гарантированным итогом вероятностно-гарантированным называют такой уровень, не ниже

которого будет получен реальный результат с заданной вероятностью. Несомненно, что при функционировании исследуемой системы большую роль играет и стоимость достижения максимальной эффективности операций. Это значит, что для систем далеко не все равно, какой ценой получен тот или иной результат выполнения операции. Поэтому выражение для критерия эффективности должно быть дробью, в числителе которой стоит эффективность операции, а в знаменателе - стоимость достижения указанной

в числителе эффективности операции. Таким образом, формируется показатель эффективностьстоимость. Проблема принятия решения связана с выбором направления варианта действий для достижения цели операции. Для этого необходимо решить ряд типовых задач, подготавливающих основное решение. В широком смысле решение - есть процесс выбора одного рационального варианта действий или некоторого их подмножества из множества возможных. Такой выбор осуществляет

ЛПР. которое наделено определенными правами и полномочиями и несет всю полноту ответственности за последствия принимаемых решений. В качестве частных задач при принятии решений можно назвать следующие - структуризация исходной информации - анализ неопределенности - формирование исходного множества стратегий - моделирование исходов операции - моделирование цели операции - моделирование предпочтений. Классификация СМО, их основные элементы, принятие решений.

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований. По составу СМО бывают одноканальные с одним обслуживающим устройством и многоканальными с большим числом обслуживающих устройств. Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности. По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания

системы делятся на три группы 1 с неограниченным временем ожидания с ожиданием, 2 с отказами 3 смешанного типа. В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью врач, обслуживающий пациентов телефон-автомат с одной будкой

ЭВМ, выполняющая заказы пользователей. В этом случае перед нами встает вопрос о принятии большого количества однотипных решений, которые допускают риск, т. к. существует постоянная составляющая неопределенности. Врач не может точно знать, с какой болезнью приходит к нему следующий пациент. Варианты решения выписать больничный, назначить лекарства, отправить к другому врачу должны опять-таки быть оптимизированы больничный на определенное время до полного выздоровления, определенный минимальный

набор лекарств только необходимые для вылечивания данной болезни, специальность другого врача например, если к терапевту придет больной с проблемами в сердце, то терапевт может послать его на обследование в кардиологу и т.п данной ситуации врач выступает с роли эксперта, который на своем опыте и знаниях принимает решения. От этих решений очень многое зависит. Неправильный их выбор может отразиться на здоровье больного, членов его семьи и других его окружающих

людей. Из классических критериев принятия решений к данной ситуации следует подобрать такой критерий, который был бы рассчитан на достаточно большое количество применений, который бы учитывал компетенцию эксперта или экспертной группы, а также учитывал некоторую априорную вероятность совершения события. Т. е. человек со сломанной рукой вряд ли пойдет к окулисту, значит вероятность попадания такого больного на прием окулиста 0,00001. Из выбора классических критериев критерии

Минимакса, Байеса-Лапласа, Сэвиджа предпочтителен скорее всего критерий Байеса-Лапласа матрица решений eij дополнится одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из альтернатив. Выбирается же решения варианты, в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца. Из производных критериев критерии Гурвица, Ходжа-Лемана, Гермейера в условиях наличия экспертной группы можно с достаточно малым риском применить

критерий Гурвица где величину С-весовой множитель степени оптимизма, будет определять эксперт, либо Ходжа-Лемана где v-степень доверия решению, будет определять экспертная группа. Для критерия Гурвица формула расчета будет выглядеть так ir ij 1- C ij , Для критерия Ходжа-Лемана рассчитывается решение по формуле ir n 1-n ir, 0 n 1. В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему.

Классическим примером системы с отказами может служить работа сотовой телефонной станции. В этом случае решением будет подключить оптимальное количество распределительных станций, чтобы сократить количество отклоненных заявок. Здесь возможен однократный расчет, исключающий риск, как самый простой в реализации минимаксный критерий eir ir, В системах смешанного типа поступившее требование, застав все устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени.

Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему. Пусть организуется работа общественного транспорта в новом городе с сетью предприятий, жилыми массивами и т.д. Необходимо в этой ситуации принять решения по каким маршрутам и какие транспортные средства направить В каких местах сделать остановки, как изменять частоту следования машин в зависимости от времени суток Определить приемлемую стоимость проезда и т. п. Опять, неправильный, вернее не совсем оптимизированный,

вариант решения может повлиять на жизнь всего города. Конечно, и в этом случае можно принять решение на основе интуиции эксперта ЛПР, но гораздо разумнее будут решения, если они будут подкреплены математическими расчетами. Эти предварительные расчеты помогут избежать заведомо проигрышных вариантов, дорогостоящего поиска нужного решения на ощупь. В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование,

застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь. Основными элементами СМО являются входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, каналы и выходящий поток требований. Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и

нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями.

При принятии решений в такого рода случаях неизбежен риск. Т. к. полностью условия принятия решения нам неизвестны, достичь оптимального результата возможно только при большом количестве расчетов или применений решения. Таким образом, среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями считаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований. Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим. Простейший поток обладает такими важными свойствами 1

Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады. 2 Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного

числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца. 3 Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного

поступления двух или более требований вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю. При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований где среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца. Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько

клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания. Почему такое предположение в ряде важных случаев оказывается верным, дает ответ общая теорема А.Я.Хинчина, которая представляет теоретическую и практическую ценность. Эта теорема имеет место в случае, когда входящий поток можно представить в виде суммы большого числа

независимых потоков, ни один из которых не является сравнимым по интенсивности со всем суммарным потоком. Применение этой теоремы на практике можно продемонстрировать, на следующем примере поток судов дальнего плавания в данный грузовой порт, связанный со многими портами мира, можно считать близким к простейшему. Это дает нам право считать поток прибытия судов в порт распределенным согласно процесса Пуассона. Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой

данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих

устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку . Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания. Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда

плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений. При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна где v - интенсивность обслуживания одного требования одним

обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения , 1 где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством. Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным где n - количество обслуживающих устройств.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v. 2 где a - коэффициент загрузки - интенсивность поступления требований в систему v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством. Из 1 и 2 получаем, что Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени,

произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством. Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств n должно быть строго больше коэффициента загрузки требование установившегося или стационарного режима работы СМО . В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех

обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти. Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки Обслуживание с ожиданием СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - разомкнутые и замкнутые.

Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Принятие решений будет производится постоянно, периодически, т.е. очень большое количество раз. Причем вероятность поломки станка в данном случае будет известна априорно, исходя из срока допустимой эксплуатации и срока работы станка. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле. Выбор распределения 1 для описания длительности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точностью описывает ход интересующего нас процесса.

Распределение 1 играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим его свойством При показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось. Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая

определенная величина. Предположение же 1 приводит к тому, что значительная доля требовании нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением 1. Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение

Эрланга, плотность распределения которого дается формулой где 0, a k целое положительное число. Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k- независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение 1. Обозначим для случая распределения 1 через время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна Это равенство даст нам способ оценки параметра по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

Процесс обслуживания как марковский случайный процесс. В указанных предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Я уже упоминала о вычислительной простоте. Теперь отмечу более принципиальное соображение. В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состояний в момент t

в системе находятся k требовании k0, 1, 2, Если k rn, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k - приборов свободны. Если k m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Обозначим через состояние, когда в системе находятся k требований. Таким образом, система может находиться в состояниях Обозначим через вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии .

Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент наша система находилась и состоянии . Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что происходило до момента . Действительно, дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент моментами появления

новых требований длительностью обслуживания требований, поступивших после . В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента . Так как поток требований простейший, то прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента . Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после , никак не зависит от того,

что и как обслуживалось до момента . Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении.

Составление уравнений. Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности . Одно из уравнения очевидно, a именно для каждого t 2 Найдм сначала вероятность того, что и момент t.h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны

за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило. Остальные возможности, как-то были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность оh, как легко в этом убедится. Вероятность первого из указанных событий равна , вероятность второго события . Таким образом . Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдм теперь к составлению уравнений для при . Рассмотрим отдельно два различных случая и . Пусть в начале . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент th. Эти состояния таковы В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна В момент t система находилась в состоянии , за время h поступило новое

требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную оh. Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство

Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 4 Подобные же рассуждения для приводят к уравнению 5 Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений 2-5. Е решение представляет определенные технические трудности. Определение стационарного решения. В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся

решение для . В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введм для них обозначения . Заметим дополнительно, что при . Заметим, что уравнения 3, 4, 5 для стационарных вероятностей принимают следующий вид 6 при 7 при 8 К этим уравнениям добавляется нормирующее условие 9 Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введм обозначения при при

Система уравнений 6-8 в этих обозначениях принимает такой вид при Отсюда заключаем, что при всех т.е. при 10 и при 11 Введм для удобства записи обозначение . Уравнение 10 позволяет заключить, что при 12 При из 11 находим, что и, следовательно, при 13 Остатся найти . Для этого в 9 подставляем выражения из 12 и 13. В результате так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных

скобках, сходится только при условии, что 14 то при этом предположении находим равенство 15 Если условие 14 не выполнено, т.е. если , то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения , расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из 12 и 13, при всех оказывается . Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к по вероятности. Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что

обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам. Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод за четырхчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени.

В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так как при проведенном подсчете принимается равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр.

Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие 14 выполнено. Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания.

Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдт t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство 16 Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые

для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m1 и m2 найдем простые формулы для . Несложные преобразования приводят к таким равенствам при m1 1 17 а при m2 18 Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна 19 Эта формула для m1 принимает особенно простой вид 20 при m2 21 В формуле 19 может принимать любое значение от 0 до m исключительно.

Так что в формуле 20 1, а в 21 2. Определение функции распределения длительности ожидания. Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований.

Ясно, что при имеет место равенство Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов равна Если все приборы заняты обслуживанием и ещ имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания,

то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия стационарность, отсутствие последействия и ординарность выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна это можно показать и простым подсчетом Итак, и, следовательно, Но вероятности известны поэтому Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду .

Из формул 18 и 19 следует, что поэтому при m 22 Само собой разумеется, что при t Функция имеет в точке t1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми. Средняя длительность ожидания. Формула 22 позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле 23 Дисперсия величины равна Формула 23 дат среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна 24 Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро

возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т1 и рассматриваем лишь самые малые значения т т1 и т2. При т1 в силу 20 При р0,1 0,3 0,5 0,9 значение а приблизительно равно 0,011 0,267 0,500 1,633 8,100. При m2 в силу 24 При 0,1 1,0 1,5 1,9 значение а приблизительно равно 00003 0,333 1,350 17,537. Приведнные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания,

уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчте загрузки оборудования в системах массового обслуживания. Выводы В этой работе я постаралась раскрыть понятия, приводящие к системе массового обслуживания и математическому обоснованию принятий решений. Также здесь были описаны типичные элементы, из которых

состоят системы массового обслуживания принятие решений при входящем потоке, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток. Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами 1. Количество заявок в системе которая рассматривается как СМО должно быть достаточно велико массово. 2. Все заявки, поступающие на вход

СМО, должны быть однотипными. 3. Для расчетов по формулам необходимо знать законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки. Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими. 4. Структура СМО, т.е. набор поступающих требований и последовательность обработки заявки, должна быть жестко зафиксирована. 5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки .

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее сильное влияние на размерность и сложность математической модели. 6. Количество используемых приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО. Список использованных материалов 1. Е. С. Вентцель. Исследование операций. Москва, 2001г 2. Г. И. Ивченко,

В. А. Каштанов. Теория массового обслуживания. Москва, 1982г. 3. Э.Мушик, П. Мюллер Исследование операций.Задачи, принципы, методологии Москва, 1980г. 4. О. Н. Андрейчикова. Интеллектуальные системы для поддержки процессов принятия решений. Волгоград, 1996г 5. С Роберт Пиндайк Теория игр и стратегии конкуренции.

Москва, 2000г. 6. www.hse.ru Бизнес и банки. Принятие решений. 7. www.iu5.bmstu.ru Модели теории массового обслуживания для описания полиграфических систем. 8. www.kibernetiki.fastbb.ru Принятие решений в системах массового обслуживания.