Некоторые прикладные модели экономических процессов

4. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕCCОВ. 1. Целевая, функция потребления и моделирование поведения потребителей. В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской

деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления. Уровень удовлетворения материальных потребностей общества уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления UUY, где вектор переменных У 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений

UYC, где С меняющийся параметр, характеризующий значение уровень целевой функции потребления в качестве величины С может выступать, например, доход или уровень материального благосостояния В пространстве потребительских благ каждому уравнение UYC соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных

групп товаров продукты питания y1 и непродовольственные товары, включая услуги у2. Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям С см. рис. 1, где С1 С2 С.3 Рис. 1. Из основных свойств целевой функции потребления отметим следующие 1 функция UY является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при

неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему значению целевой функции потребления, а сам процесс максимизации этой функции на некотором ограниченном множестве допустимых векторов У можно интерпретировать как нахождение допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат 2 кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну

точку пространства благ товаров, услуг можно провести только одну поверхность безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния 3 кривые безразличия имеют отрицательный наклон каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми. Перейдем к вопросу моделирования поведения потребителей

в условиях товарно-денежных отношений на базе целевой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров исследуется поведение совокупности потребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор У у1,у2 уn, а цены на различные товары. через вектор

Р р1,р2, ,Ра- При величине дохода D потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению Предположим, что предпочтение потребителей на множестве товаров выражается целевой функцией потребления UY. Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме записи будет иметь вид UY max PYD У 1 Геометрическая интерпретация модели 1 для двух агрегированных групп товаров представлена на рис.2. Рис.2. Линия АВ в других вариантах

А1В1, А2В2 соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ А1ОВ1, А2ОВ2. Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением в других вариантах это точки К и Л .Легко заметить, что линии АВ и А1В1 соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам

на товары у1 и у2. Линия А2В2 соответствует большему размеру дохода. Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели 1. С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи 1 имеет вид LY,UYD-PY, Где множитель Лагранжа , является оптимальной оценкой дохода.

0бозначим частные производные функции UYчерез Ui UiUYyi. Эти производные интерпретируются как предельные полезные эффекты предельные полезности соответствующих потребительских благ и характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования 1-го блага товара на некоторую условную .малую единицу. Необходимыми условиями того, что вектор Y будет оптимальным решением , являются условия

Куна Таккера UiYpi i1,n, При этом UiYpi, если у 0 товар приобретается, 2 UiYpi,если yi0товар не приобретается,PYD. Последнее из соотношений 2 соответствует полному использованию дохода,и для этого случая очевидно неравенство 0. Из условий оптимальности2 следует, что UiYpi, yi0. Это означает, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров.

Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам. Функции покупательского спроса Функциями покупательского спроса далее будем называть их просто функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него.Такие функции применяются в аналитических моделях спроса и потребления и строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других

факторах. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов дохода и цен. Пусть в модели 1 цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи 1 будет векторная функция УYP,Z,компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода yifiP,Z. Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход.

Для двух товаров этот случай представлен на рис. 3. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у1, которое можно приобрести на имеющийся доход Z точка В, а по оси ординат то же самое для товара y2 точка А, то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно

самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки М1, М2, М3. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки 0, М1, М2, М3, является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен. Рис.3. Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются

при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые yifiZ называются кривыми Энгеля по имени изучавшего, их немецкого экономиста. Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный, товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет, например, спрос на одежду, фрукты и др.

Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 4а. Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой рис. 46. Так ведет себя спрос на предметы роскоши. Если рост значений спроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой рис.

4в. Например, такой характер имеет спрос на товары первой необходимости Рис.4. Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функции спроса функции Торнквиста для трех групп товаров первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши. Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид

YaiZZC1, и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел a1 кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии ya1, график функции является вогнутой кривой I на рис.5. Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой Ya2Z-b2ZC2, где Zb2. Эта функция также имеет предел а2, но более высокого уровня при этом спрос на эту

группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины b2 график функции вогнутая кривая II на рис. 5. Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид Ya3ZZ-b3ZC3, где Zb3. Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину b3, и далее быстро возрастает, так что график функции выпуклая кривая III на рис.

5. Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции степенные, S-образные и т.д. Рис.5 Важную роль в анализе, изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности .спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода при прочих не изменяющихся факторах. Вычисляется по формуле EiZdyidZZyi, где EiZ коэффициент эластичности для i-го товара группы товаров

по доходу Z yi cпрос на этот товар, являющийся функцией дохода yifZ. Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула дает следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода EiZС1ZC1. Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает,

на сколько процентов, изменится спрос на товар при изменении дохода на 1. Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода малоценные товары EiZ 0 товары с малой эластичностью

О EiZ 1 товары со средней эластичностью EiZ близки к единице товары с высокой эластичностью EiZ 1. К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относят такие, как хлеб, низкосортные товары. По результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей

и четвертой группы, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается. Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары, однако построить функции общего вида yiiР очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных

товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров yiipi. Для большинства товаров действует зависимость чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны разные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах изучения спроса важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо происходит переход с кривой

I на кривую II на рис. 6, и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат переход от точки А к точке В по одной и той же кривой I на рис. 6. Как уже отмечено выше, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен.

Этот коэффициент эластичности удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1. Для спроса yi на i-й товар относительно его собственной цены рi коэффициент эластичности исчисляется по формуле Epii dyidpipiyi. Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы товары с неэластичным спросом в отношении цены

Epii -1 товары со средней эластичностью спроса от цены Epii близки к -1 товар с высокой эластичностью спроса Epii -1. В товарах эластичного спроса повышение цены на 1 приводит к снижению спроса более чем на 1 и, наоборот, понижение цены на 1 приводит к росту покупок больше чем на 1. Если повышение цены на 1 влечет за собой понижение спроса менее чем на 1, то говорят, что этот товар

неэластичного спроса. Моделирование и прогнозирование покупательского спроса Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозирование его на краткосрочную и долгосрочную перспективу одна из важнейших задач служб маркетинга различных организаций и фирм. Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависят от многих факторов, как экономических, так и

естественных. К экономическим факторам относятся уровень производства предложения товаров и услуг обозначим этот фактор в общем виде П, уровень денежных доходов отдельных групп населения D, уровень и соотношение цен Р. К естественным факторам относятся демографический состав населения, в первую очередь размер и состав семьи S, а также привычки и традиции, уровень культуры, природно-климатические условия и т.д. Экономические факторы очень мобильны, особенно распределение населения по уровню денежных

доходов. Естественные же факторы меняются сравнительно медленно и в течение небольшого периода до 3-5 лет не оказывают заметного влияния на спрос. Исключение составляет демографический состав населения. Поэтому в текущих и перспективных прогнозах спроса все естественные факторы, кроме демографических, целесообразно учитывать сообща, введя фактор под названием время t. Таким образом, в общем виде спрос определяется в виде функции перечисленных выше факторов

Y f П, D, P, S, t. Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фактор дохода известно выражение спрос всегда платежеспособен, многие расчеты спроса и потребления осуществляются в виде функции от душевого денежного дохода у fD. Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на небольшой период времени связан с использованием так называемых структурных моделей спроса. При построении модели исходят из того, что для каждой экономической группы населения по статистическим

бюджетным данным может быть рассчитана присущая ей структура потребления. При этом предполагается, что на изучаемом отрезке времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а цены, размер семьи и прочие факторы принимаются неизменными. Изменение дохода, например его рост, можно рассматривать как перемещение определенного количества семей из низших доходных групп в высшие. Другими словами, изменяются частоты в различных интервалах дохода

они уменьшаются в нижних и увеличиваются в верхних интервалах. Семьи, которые попадают в новый интервал, будут иметь ту же структуру потребления и спроса, какая сложилась у семей с таким же доходом к настоящему времени. Таким образом, структурные модели рассматривают спрос как функцию только распределения потребителей по уровню дохода. Имея соответствующие структуры спроса, рассчитанные по данным статистики бюджетов, и частоты распределения

потребителей по уровню дохода, можно рассчитать общую структуру спроса. Если обозначить структуру спроса в группе семей со средним доходом Di через rDi, а частоты семей с доходом Di через wDi, то общая структура спроса R может быть рассчитана по формуле где п количество интервалов дохода семей. Структурные модели спроса один из основных видов экономико-математических моделей планирования и прогнозирования

спроса и потребления. В частности, широко распространены так называемые компаративные сравнительные структурные модели, в которых сопоставляются структуры спроса данного исследуемого объекта и некоторого аналогового объекта. Аналогом обычно считаются регион или группа населения с оптимальными потребительскими характеристиками. Наряду со структурными моделями в планировании и прогнозировании спроса используются конструктивные модели спроса. В основе их лежат уравнения бюджета населения, т.е. такие уравнения, которые

выражают очевидное равенство общего денежного расхода другими словами, объема потребления и суммы произведений количества каждого потребленного товара на его цену. Если Z, объем потребления, т количество разных видов благ, qi размер потребления i-го блага, рi, цена i-го блага, то конструктивная модель спроса может быть записана следующим образом Эти модели, называемые также моделями бюджетов потребителей, играют важную роль в планировании потребления.

Одной из таких моделей является, например, всем известный прожиточный минимум. К таким моделям относятся также рациональные бюджеты, основанные на научных нормах потребления, прежде всего продуктов питания, перспективные бюджеты например, так называемый бюджет достатка и др. В практике планирования и прогнозирования спроса кроме структурных и конструктивных моделей применяются также аналитические модели спроса и потребления, которые строятся в виде уравнений, характеризующих

зависимость потребления товаров и услуг от тех или иных факторов. В аналитических моделях функциональная зависимость принимает вполне определенный вид. Такие модели могут быть однофакторными и многофакторными.