--PAGE_BREAK--Вычислив разность превышений между указанными точками, найдем:
h32 = S12(ctg(z12 + δz12) – ctg(z13 + δz13)) + EQ \F(S12;R) (H2ctg(z12 + δz12) – H3ctg(z13 + δz13)) – ΔSEQ \B(1 + EQ \F(H3;R)) ctg(z13 + δz13) – EQ \F(ΔS(2S12 + ΔS);2R) + EQ \F(h'122 — h'132;R) + l1 – l2 + S12(U12–U13+Um13–Um12) – ΔS(U13–Um13) + ΔE12 – ΔE13 (1.19)
Формула тригонометрического нивелирования через точку с использованием непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится аналогично с условием, что
D13 = D12 + ΔD (1.20)
h32 = EQ \R(;(R+H1+i1)2 + 2(R+H1+i1)D12 cos(z12+ δz12) + D122) – ‑ EQ \R(;(R+H1+i1)2+D122+2(R+H1+i1)D12cos(z13+δz13)+ΔD(ΔD+2D12+2(R+H1+i1)cos(z13+δz13))) + + D12(sin(z12+δz12)(U12–Um12) — sin(z13+δz13)(U13–Um13)) + ΔD(U13–Um13) sin(z13+δz13) + + ΔE12 – ΔE13 + l3 – l2 (1.21)
При соблюдении равноплечья члены, содержащие ΔS и ΔD обращаются в ноль, формула существенно упрощается.
Сравнив формулы способов тригонометрического нивелирования можно сделать вывод, что способ двухстороннего нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит минимальное количество величин, необходимых для вычисления превышений. Раньше, с точки зрения производственного применения способ двухстороннего тригонометрического нивелирования являлся более предпочтительным.
Однако с использованием ЭВМ для вычисления предпочтение можно отдать способу тригонометрического нивелирования через точку.
1.3. Погрешности тригонометрического нивелирования в зависимости от точности измеренных расстояний Для подсчета суммарных величин погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования воспользуемся формулой вычисления средней квадратической ошибки:[4]
EQ \R(;EQ \B(EQ \F(dF;dx))EQ \S(2;0)mx2 +EQ \B(EQ \F(dF;dy))EQ \S(2;0)my2 + EQ \B(EQ \F(dF;dz))EQ \S(2;0)mz2 + … + EQ \B(EQ \F(dF;du))EQ \S(2;0)mu2) (1.22)
Полные формулы погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования получим из формул (1.8), (1.9), (1.16), (1.17), (1.19), (1.21).
Для одностороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеем:
mh2 = EQ \B(EQ \B(1 + EQ \F(Н2;R)) ctg(z12 + δz12) + EQ \F(S12;R) + (U12 – U12))EQ \S(2; ) ms2 + EQ \B( EQ \F(S12ctg(z12 + δz12);R))EQ \S(2; ) mH2 + EQ \B( EQ \F(-S12H2ctg(z12 + δz12);R2))EQ \S(2; ) mR2 + EQ \B( EQ \F(S12EQ \B(1 + EQ \F(Н2;R));sin2(z12 + δz12)))EQ \S(2;;; )(m2Z12 + m2δZ12) + S122(m2U12 + m2Um12) + m2ΔE12 + m2i + m2l (1.23)
Для одностороннего тригонометрического нивелирования по непосредственно измеренным наклонным расстояниям:
mh2 = EQ \B(EQ \F(D12+(R+H1+i1)cos(z12+δz12);EQ \R(;(R+H1+i1)2+D122 +2(R+H1+i1)D12 cos(z12+δz12)))+(U12–Um12) sin(z12+ δz12))EQ \S(2; )mD2+ +EQ \B(EQ \F((R+H1+i1)+Dcos(z12+δz12);EQ \R(;(R+H1+i1)2+D122 +2(R+H1+i1)D12 cos(z12+δz12)))–1)EQ \S(2; )·(mR2+mH2)+ +EQ \B(EQ \F(–(R+H1+i1)+D12sin(z12+δz12);EQ \R(;(R+H1+i1)2+D122 +2(R+H1+i1)D12 cos(z12+δz12)))+(U12–Um12) D12cos(z12+δz12))EQ \S(2; )(mR2+mH2)+ +EQ \B(EQ \F((R+H1+i1)+D12cos(z12+δz12);EQ \R(;(R+H1+i1)2+D122 +2(R+H1+i1)D12 cos(z12+δz12))))EQ \S(2; )mi2+(D12sin(z12+δz12))2(mEQ \S(2;U12)+mEQ \S(2;U12))+ +mEQ \S(2;ΔE12)+ mEQ \S(2;l) (1.24)
Формула полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеет вид:
mEQ \S(2;h)=EQ \B(EQ \B(1+EQ \F(H1+H2;2R))tgEQ \F((z21+δz21)‑(z12+δz12);2) + EQ \B(EQ \F(U12+U21;2) — Um12))EQ \S(2; )mEQ \S(2;S)+ 2EQ \B(EQ \F(tgEQ \F((z21+δz21)‑(z12+δz12);2);2R))EQ \S(2;;; ) mEQ \S(2;H) + +EQ \B(EQ \F(S12(H1+H2)tgEQ \F((z21 + δz21)‑(z12 + δz12);2);2R2))EQ \S(2;;; )mEQ \S(2;R)+2EQ \B(EQ \F(S12EQ \B(1+EQ \F(H1+H2;2R));2cos2EQ \F((z21 + δz21)‑(z12 + δz12);2)))EQ \S(2;;; )EQ \B(mEQ \S(2;Z) + mEQ \S(2;δZ))+ +2EQ \B(EQ \F(S12;2))EQ \S(2; ) mEQ \S(2;U12) +SEQ \S(2;12)mEQ \S(2;Um)+ mEQ \S(2;ΔE12)+2EQ \B(EQ \F(mi;2))EQ \S(2; )+2EQ \B(EQ \F(ml;2))EQ \S(2; ) (1.25)
Аналогично формулу полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по наклонным расстояниям можно получить подставив в формулу (1.22) (1.17)
Формулу полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку по горизонтальным проложениям получим подставив (1.19) в (1.22).
Формула полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится путем подстановки (1.21) в (1.22).
Сравнение величин предвычисленных средних квадратических ошибок определения превышений различными способами тригонометрического нивелирования в зависимости от отдельных источников ошибок выполним применительно к принятому подразделению рельефа местности на следующие районы (см. табл. 1.1.):
Плоскоравнинные 89° ≤ z ≤ 91°
Всхолмленные 86° ≤ z ≤ 94°
Горные 80° ≤ z ≤100°
Особые случаи 60° ≤ z ≤120°
К особым случаям относятся построения геодезического обоснования таких сооружений как фуникулеры, подъемники, канатные дороги, когда допускается включать в сеть стороны с зенитными расстояниями от 60° до 120°.
Для сопоставления точностей различных способов тригонометрического нивелирования все расчеты выполним для конкретных величин горизонтальных проложений равных 0,2, 0,6, 1,0, 1,5 2,0, 2,5, 3,0км.
Значения каждого из указанных горизонтальных проложений остаются неизменными для предельных зенитных расстояний, характеризующих район работы.
В расчетах участвуют указанные величины горизонтальных проложений и соответствующие им непосредственно измеренные наклонные расстояния, величины которых предвычисляются по формуле: D=S·cosecZ.
Для этого расчета принимается относительная ошибка определения горизонтальных проложений не более 1/50000, а погрешность непосредственного измерения длин линий от 0,1 до 6 км ± 10 мм.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 1. Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от точности определения расстояний для различных способов тригонометрического нивелирования
* 1 – способ одностороннего тригонометрического нивелирования; 2 –двухстороннего; 3 – через точку.
Для тригонометрического нивелирования через точку принимается:
EQ \F(ΔS;S) = EQ \F(ΔD;D) ≤ EQ \F(1;10) (1.26)
В этом случае средняя квадратическая ошибка определения неравноплечья, при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний определится:
mΔD = 10EQ \R(;2) мм (1.27)
а при использовании горизонтальных проложений:
mΔD = EQ \F(ΔSEQ \R(;2);50000) (1.28)
С целью упрощения выводов для тригонометрического нивелирования примем, что измеренные зенитные расстояния симметричны относительно горизонта, то есть:
90° — z12 ≈ z13 — 90° (1.29)
Величину средней квадратической ошибки определения разности зенитных расстояний в тригонометрическом нивелировании через точку устанавливают из следующих соображений:
В общем случае зенитные расстояния вычисляются как полуразность при круге право – R и круге лево – L.[5]
То есть в измерение z входят случайные погрешности двух визирований, двух контактирований уровня и двух отсчетов по лимбу.
В двухстороннем тригонометрическом нивелировании разность зенитных расстояний можно вычислить только как
Δz = z12 – z21 (1.30)
В результате чего средняя квадратическая ошибка вычисления будет равна:
mΔz = mzEQ \R(;2 ) (1.31)
где mz = 3",5.
Использовать для вычисления Δz отсчеты взятые при одном круге теодолита не представляется возможным из-за того, что при наблюдениях на соседних пунктах место зенита вертикального круга не остается постоянным.
В тригонометрическом нивелировании через точку разность зенитных расстояний можно вычислить по формулам (1.32) вследствие того, что при наблюдениях направлений 12 и 13 нет причин, которые могли бы при существующей методике измерений вызвать изменение места зенита.
Δz = L12 – L13 ,
Δz = R12 – R13 (1.32)
Величина Δz вычисляемая по этой формуле из одного полуприема содержит случайные погрешности двух визирований, двух контактирований уровня и двух отсчетов по лимбу. Поэтому, точность ее определения равняется точности измерения зенитного расстояния. А так как количество полуприемов в два раза больше числа приемов, то величина Δz из полуприёмов будет определена с погрешностью
mΔz = EQ \F(mz;EQ \R(;2 )) = 2",5 (1.33)
Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от точности измерения зенитных расстояний приведены в таблице 1.2.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 2. Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от точности измерения зенитных расстояний
1.4. Влияние угла земной рефракции на точность определение превышений при различных способах тригонометрического нивелирования Рассмотрим влияние погрешностей учета углов земной рефракции на точность определения превышений в различных способах тригонометрического нивелирования.
Зависимость точности определения превышений от величин средних квадратических ошибок учета углов земной рефракции аналогична зависимости точности определения превышений от средних квадратических ошибок измерения зенитных расстояний.
Учет угла земной рефракции с помощью стандартного коэффициента не отображает всего многообразия рельефа и распределения вертикального температурного градиента при одностороннем тригонометрическом нивелировании. При тригонометрическом нивелировании через точку и одновременном двухстороннем с значительной мере компенсируется систематическая часть ошибки в определении угла земной рефракции, зависящая от общего состояния атмосферы. При неодновременном двухстороннем тригонометрическом нивелировании компенсация происходит значительно слабее.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 3. Величины средних квадратических ошибок определения превышений в зависимости от погрешностей учета углов земной рефракции
продолжение
--PAGE_BREAK--Для одновременного двухстороннего и тригонометрического нивелирования через точку, согласно рефракционной гипотезы:
δΔz12 = δΔz21 ,
δΔz12 = δΔz13 (1.34)
Остаточное влияние рефракции mδΔz, в этом случае равно ± 2",5.
Для неодновременного двухстороннего тригонометрического нивелирования
δΔz12 ≈ δΔz12 (1.35)
Величины средних квадратических ошибок определения превышений в зависимости от погрешностей учета углов земной рефракции с учетом (1.26) и (1.29) приведены в таблице 1.3.
1.5. Влияние погрешностей в определении абсолютных отметок точек на точность определения превышений Рассмотрим влияние погрешностей в определении абсолютных отметок точек на точность вычисления превышений различными способами тригонометрического нивелирования.
В двухстороннем тригонометрическом нивелировании с использованием непосредственно измеренных наклонных расстояний погрешности в определении абсолютных отметок точек не влияют на точность, т.к. в исходной формуле (1.17) нет величины Н.
Для непосредственного вычисления величин погрешностей превышений из-за ошибок в определении абсолютных отметок точек принимают величину средней квадратической ошибки отметки равной 0,1км, для всех способов тригонометрического нивелирования. Определение абсолютных отметок точек с точностью 0,1 км не вызывает никаких затруднений, так как использование простейших барометров – анероидов обеспечивает принятую точность даже без учета метеорологических факторов.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 4. Средние квадратические ошибки превышений в зависимости от погрешностей определения абсолютных отметок
Для тригонометрического нивелирования с использованием измеренных наклонных расстояний величины ошибок превышений за счет погрешностей в величинах Н очень малы (mh/H ≤ 0,1мм).
Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от погрешностей определения абсолютных отметок приведены в таблице 1.4.
1.6. Влияние погрешностей определения уклонений отвеса на точность определения превышений Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от уклонений отвеса приведены для различных районов работ в таблице 1.5.
Приведенные величины характеризуют как действие погрешностей в определении уклонений отвеса, так и величину ошибок превышения происходящую из-за неучета уклонения отвеса при одностороннем и двухстороннем тригонометрическом нивелировании.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 5. Влияние погрешностей определения уклонений отвеса на точность определения превышений
Величины уклонений отвеса по линиям 12, 13 равны между собой при одинаковых азимутах линий. При расположении линий 12, 13 в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку 1 величины уклонений отвеса по линиям равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Вычисленные величины погрешности превышений в зависимости от погрешностей учета уклонений отвеса приведены в таблице 1.6.
В тригонометрическом нивелировании через точку величины mh/R независимо от того, будут ли использоваться горизонтальные проложения или непосредственно измеренные наклонные расстояния, не будут превышать для плоскоравнинного района 1 мм, для всхолмленного – 2,5мм, для горного – 5 мм.
По данным этой таблицы хорошо прослеживается зависимость величин ошибок превышений, вычисленных с использованием горизонтальных проложений от зенитных расстояний. Тогда как при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний эта зависимость существует в меньшей мере и только в одностороннем тригонометрическом нивелировании.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 6. Величины погрешности превышений в зависимости от погрешностей учета уклонений отвеса
Уклонения отвеса, представленные через погрешности в определении R, не влияют на двухстороннее тригонометрическое нивелирование с измерением наклонных расстояний.
В тригонометрическом нивелировании через точку с использованием горизонтальных проложений, ошибки превышений, возникающие под влиянием уклонений отвесных линий, несколько больше зависят от величин зенитных расстояний, чем при использовании непосредственно измеренных наклонных длин.
Ослабление влияния уклонений отвеса в тригонометрическом нивелировании через точку происходит только в случае, когда А12 – А12
Данные таблиц 1.5 и 1.6 характеризуют порядок величин погрешностей превышений имеющих место при неучете уклонений отвесных линий.
1.7. Влияние непараллельности уровенных поверхностей на определяемое превышение Рассмотрим влияние непараллельности уровенных поверхностей на определяемое превышение.
Из формулы (1.10) видно, что поправка ΔЕ не зависит от способа тригонометрического нивелирования, зенитного расстояния и от того используются непосредственно измеренные наклонные расстояния или горизонтальные проложения. Эта поправка состоит из двух частей:
аномальной – равной
EQ \I(12;; EQ \F(g – γ;γ)dH); ρ (1.36)
и нормальной
EQ \F(0,0052;ρ") (Н2 – Н1)(В2 – В1)sin2Bm (1.37)
Величины нормальной части поправки ΔЕ для всех районов работ при S
Величины погрешностей превышений за счет неучета непараллелльности уровенных поверхностей приведены в таблице 1.7.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 7. Величины погрешностей превышений за счет неучета непараллелльности уровенных поверхностей
1.8. Сравнение погрешностей определения превышений различными способами тригонометрического нивелирования Для выяснения возможной точности каждого из существующих способов тригонометрического нивелирования, необходимо вычислить средние квадратические значения ошибок превышений.
Сравнение величин погрешностей превышений для различных способов тригонометрического нивелирования выполним только для измеренных результатов.
Величины средних квадратических ошибок определения превышений в зависимости от погрешностей источников, входящих в формулы, приведены в таблице 1.8.
Таблица STYLEREF 1 \s 1. SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 8. Величины средних квадратических ошибок определения превышений в зависимости от погрешностей источников входящих в формулы
Анализ данных, приведенных в таблице, позволяет считать тригонометрическое нивелирование через точку наиболее оптимальным и точным способом нивелирования.
1. При его выполнении в сетях триангуляции происходит ослабление влияния уклонения отвеса и непараллельности уровенных поверхностей.
2. Экономится время за счет того, что определяется превышение между точками, находиться с инструментом на которых нет необходимости.
3. Измерения зенитных расстояний по направлениям выполняется в один и то же момент времени, за счет чего происходит значительное ослабление рефракционных воздействий.
4. Возможно повышение точности измерения зенитных расстояний вследствие уменьшения длин сторон до наблюдаемых пунктов.
2. Геодезические методы определения превышений центров пунктов государственной геодезической сети Различают три способа тригонометрического нивелирования:
продолжение
--PAGE_BREAK--