Предметомданного реферата является определение объекта исследования и изложение в общихчертах содержания геоморфологии в терминах теории множеств, математическойлогики и топологии. Использован имеющийся опыт применения элементов теориимножеств и математической логики в геологии (Косыгин, Воронин и др., 1964, 1965и др.; Геология и математика, 1967) и географии (Родоман, 1967).
Начнемс математического определения объекта изучения геоморфологии — земной поверхности,понимая под нею поверхность литосферы или поверхность раздела литосферы сгидро- и атмосферами. В масштабах макромира, изучаемого в геоморфологии,дискретным, молекулярно-атомарным строением оболочек Земли можно пренебречь ирассматривать их как сплошную среду, т.е. как бесконечно большое множествоматериальных точек, каждая из которых имеет исчезающе малые размеры. Словомножество можно понимать здесь в смысле, придаваемом ему и в обыденной речи, ив математике. Но вообще, если в обыденной речи под множеством понимаетсябольшое число объектов, то в математике это совокупность любого числаоднородных в каких-либо отношениях объектов, или элементов произвольнойприроды. Множество материальных точек s Землиобозначим через S. Отношение принадлежности элемента s к множеству S можно записатьсловесно: «s принимает значения на множестве S», или «из множества S», либо символически: />, где />— знак принадлежности.
МножествоS материальных точек Земли существует вфизическом пространстве, которое в геоморфологии допустимо рассматривать какньютоново пространство. Положение каждой точки p этого пространства определяется тремя действительными (т.е.рациональными или иррациональными) числами x, y, z. Тройка чисел (x, y, z) называется вектором, потому что вдекартовой системе координат X, Y, Z ее можно рассматривать как три координатырадиус-вектора Op точки p. Координата x может принимать значения из множества Xдействительных чисел, отложенных на оси X; следовательно, />. Аналогично />, />. Множество всех векторов(x, y, z) называется прямым произведением множеств/>и записываетсяв виде />.Это есть вместе с тем множество /> всех точек /> ньютонова пространства, и такимобразом: />.Вообще в математике прямое произведение трех множеств действительных чиселназывается трехмерным евклидовым пространством; произведение n множеств действительных чисел, где n — целое число, называется n-мерным евклидовым пространством. Евклидово пространствопредставляет собой частный случай метрических пространств. Так называютпространства, в которые можно ввести метрику, определив тем или иным образомрасстояние между элементами пространства. В евклидовом пространстве это естьрасстояние между точками в обычном понимании.
Чтобывнести метрику во множество S материальныхточек Земли, образуем прямое произведение /> этого множества и множества P точек физического пространства. Это есть множество всехвекторов />, у которых первой компонентной служиткакая-либо материальная точка s Земли, авторой компонентой — какая-либо точка pфизического пространства. Однако не все векторы />, входящие в произведение />, реально существуют. Например, извозможных векторов />, />, />, где /> — одна и та же материальная точка,а p1, p2, p3 — различные точки физическогопространства, может реально существовать только один вектор, допустим />.
Выделимиз множества векторов />, образующих произведение />, только те, которыеотвечают реальному нахождению данной материальной точки Земли в данной точкефизического пространства. Совокупность этих факторов образует подмножество R множества /> векторов />:
/>(1)
где/> — знаквключения подмножества во множество. Выражение (1) представляет собой запись отношениясоответствия между множествами S и P (или заданного на множествах S и P), первое изкоторых называется областью определения, а второе — областью значенийсоответствия. Множество S материальныхточек s Земли отображается соответствием (1) вомножество P точек p физического пространства. Точки p, удовлетворяющие этому соответствию, называются образами точки s, последние,в свою очередь, являются прообразами точек p. Соответствие представляет собой обобщение понятия функции,описывая не только однозначные зависимости, когда каждому элементу из областиопределения (аргументу) соответствует один, и только один, элемент из областизначений (функция этого аргумента), но и многозначные зависимости, когдакаждому элементу из области определения соответствует более чем один элемент изобласти значений, как это имеет место, например, для стохастических связей.
Посколькукаждая материальная точка Земли совпадает с одной, и только одной, точкойфизического пространства, соответствие (1) является функциональным, однозначнымот S к P. Его можно сделать взаимнооднозначным, выделив из множества P подмножество Ps техточек физического пространства, с которыми совпадают материальные точки Земли,и сузив область значений соответствия (1) на это подмножество. В результатеполучим соответствие: />. Установив взаимнооднозначноесоответствие между множествами S и Ps, получаем возможность внести во множествоS метрику из пространства P, или, иначе говоря, определять расстояния между материальнымиточками Земли как расстояния между точками евклидова пространства.
Теперьможно воспользоваться понятием об окрестности некоторой точки s множества S. Так называютмножество точек s, которые находятся внутри сферыпроизвольного радиуса r с центром вданной точке. Выделим из множества Sматериальных точек Земли подмножество L точек l литосферы и подмножество A точек a гидро- и атмосферы. Всякая точка l литосферы, сколь угодно малая окрестность которой содержиттолько точки множества L, называетсявнутренней точкой множества L. Аналогичнымобразом определяются внутренние точки множества A.Множество M точек m, окрестности которых содержат точки как множества L, так и множества A,называется в топологии границей между множествами L и A.
Границумежду множествами можно не включать ни в одно из них, а можно присоединить клюбому из этих множеств. Вещество литосферы обладает гораздо меньшей подвижностью,чем вещество гидро- и атмосфер. Поэтому границу между множествами L и A удобнееприсоединить к множеству L, рассматриваяее как внешнюю границу литосферы —земную поверхность. Но в таком виде этаграница, обладая и геометрическими, и вещественными свойствами, являетсяобъектом изучения не только геоморфологии, но также геологии и почвоведения.Если четко определять объект изучения геоморфологии и отделить его от объектовизучения геологии и почвоведения, то приходится принять, что задачей геоморфологииявляется изучение только геометрических, но не вещественных свойств земной поверхности.В математической формулировке это означает, что объектом изучения геоморфологииследует считать не саму границу множества L, а ее отображение в пространство P, т.е. поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,прообразом которой является множество M точеквнешней границы литосферы. Такой подход нисколько не исключает рассмотрение вгеоморфологии вещественных свойств земной поверхности, которые вводятся врассмотрение ниже в числе рельефообразующих факторов. Вместе с тем такой подходне исключает рассмотрения в геологии геометрических свойств земной поверхностикак ограничения геологических тел. Приведенное определение объектагеоморфологии можно вообще трактовать, как узкое, сохранив наряду с нимпринятое сейчас более широкое определение и дав последнему математическую трактовкув виде пространства возможных состояний рельефа, о котором будет идти речьниже.
Свойстваземной поверхности как таковой описываются геометрическими характеристиками g1, g2…, gk, принимающими значения соответственно намножествах G1, G2…, Gk. Ряд геометрических характеристик земнойповерхности, например, высоту, уклон, кривизну, практически можно относить к точкеповерхности. Вместе с тем эти характеристики могут быть измерены и выраженыколичественно, принимая, таким образом, значения на множестве действительныхчисел. Но рельеф представляет собой, в терминах теории систем, сложную,иерархически, ярусно построенную систему, у которой элементы высшего яруса,вступая в определенные отношения между собой, образуют элементы низшего яруса —больших размеров. В рельефе элементами самого высокого яруса — самых малыхразмеров — являются точки земной поверхности. Из точек строятся элементы (вгеоморфологическом смысле) форм рельефа, из элементов форм – сами формы, изформ – типы рельефа. Обобщенный в кибернетике опыт изучения сложных системпоказывает, что для них количественное выражение свойств элементов и отношениймежду элементами часто оказывается невозможным. Поэтому для описания состояниясложных систем приходится прибегать к качественным характеристикам, принимающимзначения на конечных множествах. Так, если в каждой точке склона степеньвыпуклости или вогнутости определяется количественно второй производной /> высоты H по расстоянию x ипринимает значения на множестве действительных чисел, то склоны как элементырельефа делят на выпуклые, />, прямолинейные, />, вогнутые />, т.е. дают имхарактеристику, принимающую значения на конечном трехэлементном множестве.Другой пример: различая холмистый, низкогорный, среднегорный и высокогорныйрельеф, мы даем типам рельефа качественную характеристику, принимающую значенияна упорядоченном четырехэлементном множестве. Характеристики рельефа могутпринимать значения на множествах функций, аппроксимирующих его очертания,корреляционных или спектральных функций, описывающих типы рельефа, и др.
Вследствиеиерархического строения рельефа, область (участок) земной поверхности,допускающая экспериментальное определение характеристик рельефа, далеко невсегда может рассматриваться в данном масштабе как точка. Но этот общий случайавтор исследовать не стал.
Геометрическиехарактеристики рельефа изменяются не только в пространстве, но и во времени. Поэтомунеобходимо ввести в рассмотрение множество T элементов t времени. Мыпривыкли и в обыденной жизни, и при научных наблюдениях над современнымипроцессами измерять время и полагать, что его элементы принимают значения намножестве действительных чисел. Однако реальное время, существующее независимоот наших измерений, не имеет собственной метрики и представляет собой множествособытий, упорядоченное отношением нестрогого порядка «раньше — позже» (Уитроу,1964). Этому определению удовлетворяет относительное геологическое время,элементами которого являются конечные промежутки. Занумеруем множествопромежутков прошлого времени числами натурального ряда 0, 1, 2, 3… Натуральныйряд чисел и множества любой природы, которые могут быть поставлены во взаимнооднозначноесоответствие с ним, называются счетными множествами (в отличие от несчетныхмножеств, к которым принадлежит, например, множество действительных чисел).Таким образом, относительное геологическое время принимает значения на конечныхподмножествах счетного множества.
Изменениярельефа вызываются рельефообразующими факторами, описываемыми характеристиками,которые обозначим />. Эти характеристики, подобногеометрическим характеристикам рельефа, могут принимать значения на множестведействительных чисел (сила тяжести, коэффициент трения, температура), наконечных множествах (типы горных пород, климата, растительности), на множествефункций (гранулометрический состав, обеспеченность расходов реки).
Образуемпрямое произведение введенных в рассмотрение множеств:
/>(2)
Введемсокращенные обозначения:
/>;/>,(3)
где/> — знакпроизведения множеств, m и n — индексы, которые могут принимать значения от 1 до k или lсоответственно. Запись можно сделать еще более короткой, если множествам,входящим в произведение (2), дать единообразные обозначения: />. В этих обозначенияхбудем иметь
/>,(4)
гдеQu — любое из названных выше множеств.Образуем из этих множеств необходимое для дальнейших построений множество />. Такоемножество (в этом случае />), элементами которого являютсяопять-таки множества (в этом случае Qu),называют системой множеств.
Используя(3) и (4), можно написать
/>(5)
Прямоепроизведение множеств представляет собой, согласно определению, в данном случаемножество векторов вида (p, t, m, g1, g2, …, gk, b1, b2, …, bl). Каждый из этих векторов описывает состояние, которое, вообщеговоря, может принять некоторая точка рельефа в некоторый момент времени,находясь под воздействием определенного сочетания рельефообразующих факторов.Множество этих векторов будем называть пространством W возможных состояний рельефа[1]. Какбыло сказано выше, это пространство можно рассматривать в качестве объектаизучения геоморфологии в том широком понимании, какой придается ему в настоящеевремя.
Вгеоморфологии изучаются как сами множества, из которых построено пространство W, так и отношения на этих множествах. Особенно важнымпредставляется изучение отношений
/>(6)
соответствиямежду подпространствами /> (область определения соответствия)и /> (областьзначений соответствия) пространства состояний, поскольку отношения соответствияописывают связи между явлениями. В соответствии (6), во-первых, /> и />, т.е. множества /> и />, входящие вобласти определения и значений соответствия, выбираются соответственно изподсистем /> и/> системы /> множеств, изкоторых строится пространство W возможныхсостояний; во-вторых, />, т.е. одно и то же множество неможет входить и в область определения, и в область значений соответствия;в-третьих, />,т.е. соответствие (6) может быть задано не на всех, а только на некоторыхмножествах из системы />. Геоморфологический смысл, которыйможет быть вложен в соответствия вида (6), станет понятным из приводимых вдальнейшем примеров.
Системамножеств />,из которых строится пространство W, можетвключать, в зависимости от решаемых задач, те или иные из введенных врассмотрение множеств. Однако, чтобы не потерялись объекты изучениягеоморфологии, в построении пространства W должны участвовать либо множество M материальных точек рельефа, либо хотя бы одно из множеств Gm, на которых принимают значения геометрическиехарактеристики рельефа. В символах математической логики это условие запишетсятак:
/>,(7)
Здесь/> (перевернутаябуква Е) — квантор существования, читаемый как «существует хотя бы один», /> — логическийсоюз «или» разделительное, требующий выполнения одного, и только одного изсвязываемых им высказываний. В целом, условие (7) читается как «существует хотябы одно такое множество Qu (входящее в систему /> множеств, из которыхстроится пространство состояний W), котороеудовлетворяет высказыванию, заключенному в квадратные скобки, представляя собойлибо множество M, либо множество Gm».
МножестваGm могут входить как в область значений, таки в область определения соответствия (6). Пусть мы имеем условие:
/>(8)
Здесь/> (перевернутаябуква А) — квантор общности, имеющий смысл слова «все». Выражение (8) читаетсякак «все множества /> должны представлять собой толькомножества Gm», т.е. областью значений соответствия (6)при соблюдении условия (8) могут быть только те множества, на которых принимаютзначения геометрические характеристики рельефа. Множества, на которых принимаютзначения рельефообразующие факторы, элементы пространства и времени, могутвходить только в область определения соответствия (6). Иначе говоря,соответствиями, удовлетворяющими условию (8), выражаются зависимости очертанийрельефа от местоположения, времени, рельефообразующих факторов, а такжевзаимосвязи геометрических характеристик рельефа. Ясно, что установление такогорода соответствий относится к задачам геоморфологии, сюда же отнесемсоответствия, удовлетворяющие приводимому ниже условию (10).
Вдругих случаях геометрические характеристики рельефа могут входить в областьопределения соответствия (6), определяя собой либо значения геологических,гидрологических, биогеографических и прочих факторов, которые в задачах,удовлетворяющих условию (8), рассматривались как рельефообразующие, либо (вгеохронологических исследованиях) время. Этим случаям отвечает условие:
/>,(9)
где/> —логический союз «и», означающий, что должны выполняться оба связываемые имвысказывания. Примерами задач такого рода могут служить: установлениезависимости характеристик потока от формы ложа, дешифрование геологическогостроения по очертаниям рельефа, измерение времени скоростью денудации.Отнесение такого рода задач к геоморфологии или к смежным к ней наукам в тойили иной мере условно. Те из задач, которые можно отнести к геоморфологии, мыбудем называть ее пограничными задачами. Таким образом, условие (9) являетсянеобходимым, но недостаточным точно так же, впрочем, как и условие (8),которому могут удовлетворять пограничные задачи смежных с геоморфологией наук.
Впостроении пространства состояний рельефа непременно, в явном или неявном виде,должно участвовать множество T элементоввремени t. В неявном виде, принимая значения наодноэлементном множестве, оно присутствует, когда изучается состояние рельефа вфиксированный, современный или прошлый момент или промежуток времени. В такихслучаях среди рассматриваемого множества элементов времени любые два элемента /> и /> совпадают: />. Явно время вводитсяпри изучении развития рельефа. При этом мы, очевидно, должны иметь условие,противоположное предыдущему, а именно: />.
Впределах внутренних задач геоморфологии, определяемых условием (8), а такжеприводимым ниже условием (10), можно либо не учитывать, либо учитыватьрельефообразующие факторы. В первом случае имеет место условие />, во втором />. Здесь /> — знаклогического отрицания «не», который, будучи поставлен перед кванторомсуществования />, отрицает его, так что /> означает «не существует».
Накладываяна пространство (5) и соответствия (6) приведенные условия, можно поставитьосновные задачи геоморфологии и выделить разделы науки, в которых они решаются.
Впределах внутренних задач геоморфологии, т.е. при выполнении условий (8) или(10), логическое обоснование получают четыре раздела геоморфологии — геометрия,статика, кинематика и динамика рельефа, ранее выделявшиеся интуитивно(Девдариани, 1966).
Геометриярельефа:
/>.
Изучаютсяочертания рельефа в фиксированный момент или промежуток времени. Наиболее частовстречающейся задачей геометрии рельефа является установление соответствий вида/>, где под P понимается двумерное (карта) или одномерное (профиль)евклидово пространство. В частности, обозначив координаты точки земнойповерхности в трехмерном пространстве />, и положив />, получим соответствие />, под которым содинаковым правом можно понимать и карту в горизонталях, и аппроксимирующую еефункцию />.
Другаязадача геометрии рельефа состоит в установлении зависимостей между различнымигеометрическими характеристиками рельефа, т.е. соответствий вида />. Примером такогосоответствия, сформулированного в качественной форме, может служитьутверждение, что с возрастанием высоты (принимающей значения на упорядоченноммножестве G1) уклоны (принимающие значения наупорядоченном множестве G2)преимущественно (это слово указывает на неоднозначность соответствия, еговероятностный характер) возрастают.
Статика рельефа: />.
Изучаются зависимости очертаний рельефа от рельефообразующихфакторов в фиксированный момент или промежуток времени. Очевидно, что такиезависимости имеют геоморфологический смысл, если рельеф достиг устойчивогоравновесия (например, предельного профиля) и более не изменяется во времени.
Кинематика рельефа: />.
Изучаются изменения состояния рельефа во времени вне зависимостиот вызывающих эти изменения рельефообразующих факторов. При этом могутиспользоваться два метода описания движения: а) Локальный метод, когдаобъектами наблюдения служат элементы pфизического пространства (например, точки на карте), в которых с течениемвремени t изменяются геометрические характеристикирельефа g1, g2, …, gk. Соответствие (6) получает вид
/>.(10)
Здесьзнак /> обозначаетлогическое отношение эквивалентности, смысл которого состоит в том, что первоевысказывание, утверждающее присутствие в области определения соответствия (6)множества M, требует осуществления второговысказывания, гласящего, что областью значений соответствия является толькомножество P, и наоборот. Выражение (10) являетсяупоминавшимся выше вторым наряду с (8) условием, определяющим внутренние задачигеоморфологии.
Динамикарельефа: />.
Изучаетсяразвитие рельефа при активном или пассивном воздействии рельефообразующихфакторов. Примером в терминах континуальной математики может служить уравнениеразвития продольного профиля реки: />, где H — высота точки профиля, A —постоянная, зависящая от его начальных очертаний; они представляют собойгеометрические характеристики рельефа, принимающие значения на множествах G1 и G2соответственно; t — время, принимающее значения намножестве T; F(x) — функция расстояния x, принимающего значения в одномерном евклидовомпространстве P; m — постоянная, зависящая от рельефообразующих факторов,принимающих значения на множествах B1, B2, …, Bl; e — основание натуральных логарифмов. Все перечисленные характеристикипринимают значения из множества действительных чисел, и приведенное уравнениепредставляет собой конкретную форму функционального соответствия /> в многомерном евклидовом пространстве состояний />
Рассмотримбесконечную упорядоченную последовательность элементов времени:
/>
Знак/> указывает,что стоящий перед ним элемент предшествует элементу, стоящему после. Для элементовмножества действительных чисел знак /> равносилен знаку — знаку >(больше). Для элементов времени /> означает раньше, а /> позже. В указаннойпоследовательности важнейшую грань образует момент (или промежуток) времени tн, в который произведены (или начаты) наблюдения за состояниемрассматриваемой системы. Для последующих элементов времени, />, состояния рельефа определяютсяметодами интерполяции и экстраполяции, а для предыдущих, /> — восстанавливаютсяисторическим и методами, на основании сохранившихся свидетельств прошлыхсостояний. В соответствии с этим в каждом из разделов геоморфологии следуетразличать задачи:
изучениясовременного и прогнозирование будущего рельефа, определяемые условием />;
изученияпрошлого рельефа, определяемые в кинематике и динамике рельефа условием />, а в геометриии статике рельефа — условием />.
Пограничныезадачи геоморфологии делятся на пограничные задачи геометрии рельефа, когда />, и пограничныезадачи кинематики рельефа, когда /> при соблюдении, разумеется условия(9).
Список литературы
Журнал«Геоморфология», А.С. Девдариани, №1, 1971г., с.46-55.
Авторомбыла использована литература:
Геологияи математика. «Наука», Новосибирск, 1967.
ДевдарианиА.С. Итоги науки. Геоморфология, вып.1. Математические методы. Изд. ВИНИТИ, М.,1966.
КосыгинЮ.А., Воронин Ю.А., Соловьев В.А. Опыт формализации некоторых тектонических понятий.Геол. и геофиз., 1964, №1.
КосыгинЮ.А., Воронин Ю.А. Геологическое пространство как основа структурныхпостроений. Статья 1. Геол. и геофиз., 1965, №9.
РодоманБ.Б. Математические аспекты формализации порайонных географическиххарактеристик. Вестн. МГУ. География, 1967, №2.
СтинродН., Чинн У. Первые понятия топологии. «Мир», М., 1967.
УитроуДж. Естественная философия времени. «Прогресс», М., 1965.
ШихановичЮ.А. Введение в современную математику. «Наука», М., 1965.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/